2021-2022學年福建省中考四模數學試題含解析

2021-2022學年福建省中考四模數學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．小手蓋住的點的坐標可能為（）A． B． C． D．2．據史料記載，雎水太平橋建于清嘉慶年間，已有200余年歷史．橋身為一巨型單孔圓弧，既沒有用鋼筋，也沒有用水泥，全部由石塊砌成，猶如一道彩虹橫臥河面上，橋拱半徑OC為13m，河面寬AB為24m,則橋高CD為（）A．15m B．17m C．18m D．20m3．在銀行存款準備金不變的情況下，銀行的可貸款總量與存款準備金率成反比例關系．當存款準備金率為7.5%時，某銀行可貸款總量為400億元，如果存款準備金率上調到8%時，該銀行可貸款總量將減少多少億（）A．20 B．25 C．30 D．354．有五名射擊運動員，教練為了分析他們成績的波動程度，應選擇下列統(tǒng)計量中的（）A．方差 B．中位數 C．眾數 D．平均數5．如圖，點A，B為定點，定直線l//AB，P是l上一動點．點M，N分別為PA，PB的中點，對于下列各值：①線段MN的長；②△PAB的周長；③△PMN的面積；④直線MN，AB之間的距離；⑤∠APB的大?。渲袝S點P的移動而變化的是（）A．②③ B．②⑤ C．①③④ D．④⑤6．如圖，平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC的邊OA在x軸正半軸上，BC∥x軸，∠OAB＝90°，點C（3，2），連接OC．以OC為對稱軸將OA翻折到OA′，反比例函數y＝的圖象恰好經過點A′、B，則k的值是（）A．9 B． C． D．37．如圖，已知直線AB、CD被直線AC所截，AB∥CD，E是平面內任意一點（點E不在直線AB、CD、AC上），設∠BAE=α，∠DCE=β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度數可能是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④8．鄭州某中學在備考2018河南中考體育的過程中抽取該校九年級20名男生進行立定跳遠測試，以便知道下一階段的體育訓練，成績如下所示：成績（單位：米）2.102.202.252.302.352.402.452.50人數23245211則下列敘述正確的是（）A．這些運動員成績的眾數是5B．這些運動員成績的中位數是2.30C．這些運動員的平均成績是2.25D．這些運動員成績的方差是0.07259．射擊訓練中，甲、乙、丙、丁四人每人射擊10次，平均環(huán)數均為8.7環(huán)，方差分別為，，，，則四人中成績最穩(wěn)定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁10．方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝0 B．x＝3 C．， D．，11．在實數|﹣3|，﹣2，0，π中，最小的數是（）A．|﹣3| B．﹣2 C．0 D．π12．如圖，BC⊥AE于點C，CD∥AB，∠B＝55°，則∠1等于（）A．35° B．45° C．55° D．25°二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13．已知一組數據，，﹣2，3，1，6的中位數為1，則其方差為____．14．袋中裝有一個紅球和二個黃球，它們除了顏色外都相同，隨機從中摸出一球，記錄下顏色后放回袋中，充分搖勻后，再隨機摸出一球，兩次都摸到紅球的概率是_____．15．計算：a6÷a3=_________．16．甲乙兩人8次射擊的成績如圖所示(單位：環(huán))根據圖中的信息判斷，這8次射擊中成績比較穩(wěn)定的是______(填“甲”或“乙”)17．一個三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊長是方程x2-10x+21=0的根，則三角形的周長為______________.18．一次函數y=kx+b的圖象如圖所示，當y＞0時，x的取值范圍是_____．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19．（6分）如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點M，P，N分別為DE，DC，BC的中點．（1）觀察猜想圖1中，線段PM與PN的數量關系是，位置關系是；（2）探究證明把△ADE繞點A逆時針方向旋轉到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸把△ADE繞點A在平面內自由旋轉，若AD＝4，AB＝10，請直接寫出△PMN面積的最大值．20．（6分）體育老師為了解本校九年級女生1分鐘“仰臥起坐”體育測試項目的達標情況，從該校九年級136名女生中，隨機抽取了20名女生，進行了1分鐘仰臥起坐測試，獲得數據如下：收集數據：抽取20名女生的1分鐘仰臥起坐測試成績（個）如下：3846425255435946253835455148574947535849（1）整理、描述數據：請你按如下分組整理、描述樣本數據，把下列表格補充完整：范圍25≤x≤2930≤x≤3435≤x≤3940≤x≤4445≤x≤4950≤x≤5455≤x≤59人數（說明：每分鐘仰臥起坐個數達到49個及以上時在中考體育測試中可以得到滿分）（2）分析數據：樣本數據的平均數、中位數、滿分率如下表所示：平均數中位數滿分率46.847.545%得出結論：①估計該校九年級女生在中考體育測試中1分鐘“仰臥起坐”項目可以得到滿分的人數為；②該中心所在區(qū)縣的九年級女生的1分鐘“仰臥起坐”總體測試成績如下：平均數中位數滿分率45.34951.2%請你結合該校樣本測試成績和該區(qū)縣總體測試成績，為該校九年級女生的1分鐘“仰臥起坐”達標情況做一下評估，并提出相應建議．21．（6分）為了保證端午龍舟賽在我市漢江水域順利舉辦，某部門工作人員乘快艇到漢江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸邊的賽道AB由西向東行駛．在A處測得岸邊一建筑物P在北偏東30°方向上，繼續(xù)行駛40秒到達B處時，測得建筑物P在北偏西60°方向上，如圖所示，求建筑物P到賽道AB的距離（結果保留根號）．22．（8分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點D．過點D作EF⊥AC，垂足為E，且交AB的延長線于點F．求證：EF是⊙O的切線；已知AB＝4，AE＝1．求BF的長．23．（8分）為實施“農村留守兒童關愛計劃”，某校結全校各班留守兒童的人數情況進行了統(tǒng)計，發(fā)現各班留守兒童人數只有1名、2名、3名、4名、5名、6名共六種情況，并制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖：求該校平均每班有多少名留守兒童？并將該條形統(tǒng)計圖補充完整；某愛心人士決定從只有2名留守兒童的這些班級中，任選兩名進行生活資助，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求出所選兩名留守兒童來自同一個班級的概率．24．（10分）如圖，已知△ABC，分別以AB,AC為直角邊，向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，∠EAB=∠DAC=90°，連結BD,CE交于點F，設AB=m，BC=n.（1）求證：∠BDA=∠ECA．（2）若m=，n=3，∠ABC=75°，求BD的長.（3）當∠ABC=____時，BD最大，最大值為____（用含m，n的代數式表示）（4）試探究線段BF,AE,EF三者之間的數量關系。25．（10分）解不等式組：，并把解集在數軸上表示出來.26．（12分）如圖，拋物線交X軸于A、B兩點，交Y軸于點C，．（1）求拋物線的解析式；（2）平面內是否存在一點P，使以A，B，C，P為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在直接寫出P的坐標，若不存在請說明理由。27．（12分）已知函數y=（x＞0）的圖象與一次函數y=ax﹣2（a≠0）的圖象交于點A（3，n）．（1）求實數a的值；（2）設一次函數y=ax﹣2（a≠0）的圖象與y軸交于點B，若點C在y軸上，且S△ABC=2S△AOB，求點C的坐標．

參考答案一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1、B【解析】

根據題意，小手蓋住的點在第四象限，結合第四象限點的坐標特點，分析選項可得答案．【詳解】根據圖示，小手蓋住的點在第四象限，第四象限的點坐標特點是：橫正縱負；分析選項可得只有B符合．故選：B．【點睛】此題考查點的坐標，解題的關鍵是記住各象限內點的坐標的符號，進而對號入座，四個象限的符號特點分別是：第一象限（＋，＋）；第二象限（?，＋）；第三象限（?，?）；第四象限（＋，?）．2、C【解析】連結OA，如圖所示:

∵CD⊥AB，

∴AD=BD=AB=12m.在Rt△OAD中，OA=13，OD=,所以CD=OC+OD=13+5=18m.故選C.3、B【解析】設可貸款總量為y，存款準備金率為x，比例常數為k，則由題意可得：，，∴，∴當時，（億），∵400-375=25，∴該行可貸款總量減少了25億.故選B.4、A【解析】試題分析：方差是用來衡量一組數據波動大小的量，體現數據的穩(wěn)定性，集中程度；方差越大，即波動越大，數據越不穩(wěn)定；反之，方差越小，數據越穩(wěn)定．故教練要分析射擊運動員成績的波動程度，只需要知道訓練成績的方差即可．故選A.考點：1、計算器-平均數，2、中位數，3、眾數，4、方差5、B【解析】試題分析：①、MN=AB，所以MN的長度不變；②、周長C△PAB=（AB+PA+PB），變化；③、面積S△PMN=S△PAB=×AB·h，其中h為直線l與AB之間的距離，不變;④、直線NM與AB之間的距離等于直線l與AB之間的距離的一半，所以不變；⑤、畫出幾個具體位置，觀察圖形，可知∠APB的大小在變化．故選B考點：動點問題，平行線間的距離處處相等，三角形的中位線6、C【解析】

設B（，2），由翻折知OC垂直平分AA′，A′G＝2EF，AG＝2AF，由勾股定理得OC＝，根據相似三角形或銳角三角函數可求得A′（，），根據反比例函數性質k＝xy建立方程求k．【詳解】如圖，過點C作CD⊥x軸于D，過點A′作A′G⊥x軸于G，連接AA′交射線OC于E，過E作EF⊥x軸于F，設B（，2），在Rt△OCD中，OD＝3，CD＝2，∠ODC＝90°，∴OC＝＝，由翻折得，AA′⊥OC，A′E＝AE，∴sin∠COD＝，∴AE＝，∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠OCD+∠AOE＝90°，∴∠OAE＝∠OCD，∴sin∠OAE＝＝sin∠OCD，∴EF＝，∵cos∠OAE＝＝cos∠OCD，∴，∵EF⊥x軸，A′G⊥x軸，∴EF∥A′G，∴，∴，，∴，∴A′（，），∴，∵k≠0，∴，故選C．【點睛】本題是反比例函數綜合題，常作為考試題中選擇題壓軸題，考查了反比例函數點的坐標特征、相似三角形、翻折等，解題關鍵是通過設點B的坐標，表示出點A′的坐標．7、D【解析】

根據E點有4中情況，分四種情況討論分別畫出圖形，根據平行線的性質與三角形外角定理求解.【詳解】E點有4中情況，分四種情況討論如下：由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，∴∠AE1C=β-α過點E2作AB的平行線，由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α,∠2=∠DCE2=β∴∠AE2C=α+β由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，∴∠AE3C=α-β由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，∴∠AE4C=360°-α-β∴∠AEC的度數可能是①α+β，②α﹣β，③β-α，④360°﹣α﹣β，故選D.【點睛】此題主要考查平行線的性質與外角定理，解題的關鍵是根據題意分情況討論.8、B【解析】

根據方差、平均數、中位數和眾數的計算公式和定義分別對每一項進行分析，即可得出答案．【詳解】由表格中數據可得：A、這些運動員成績的眾數是2.35，錯誤；B、這些運動員成績的中位數是2.30，正確；C、這些運動員的平均成績是2.30，錯誤；D、這些運動員成績的方差不是0.0725，錯誤；故選B．【點睛】考查了方差、平均數、中位數和眾數，熟練掌握定義和計算公式是本題的關鍵，平均數平均數表示一組數據的平均程度．中位數是將一組數據從小到大（或從大到?。┲匦屡帕泻?，最中間的那個數（或最中間兩個數的平均數）；方差是用來衡量一組數據波動大小的量．9、D【解析】

根據方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好可得答案．【詳解】∵0.45＜0.51＜0.62，∴丁成績最穩(wěn)定，故選D．【點睛】此題主要考查了方差，關鍵是掌握方差越小，穩(wěn)定性越大．10、D【解析】

先將方程左邊提公因式x，解方程即可得答案．【詳解】x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x1＝0，x2＝3，故選：D．【點睛】本題考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：配方法、直接開平方法、公式法、因式分解法等，熟練掌握并靈活運用適當的方法是解題關鍵．11、B【解析】

直接利用利用絕對值的性質化簡，進而比較大小得出答案．【詳解】在實數|-3|，-1，0，π中，|-3|=3，則-1＜0＜|-3|＜π，故最小的數是：-1．故選B．【點睛】此題主要考查了實數大小比較以及絕對值，正確掌握實數比較大小的方法是解題關鍵．12、A【解析】

根據垂直的定義得到∠∠BCE=90°，根據平行線的性質求出∠BCD=55°，計算即可．【詳解】解：∵BC⊥AE，∴∠BCE=90°，∵CD∥AB，∠B=55°，∴∠BCD=∠B=55°，∴∠1=90°-55°=35°，故選：A．【點睛】本題考查的是平行線的性質和垂直的定義，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等．二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分．）13、3【解析】試題分析：∵數據﹣3，x，﹣3，3，3，6的中位數為3，∴，解得x=3，∴數據的平均數=（﹣3﹣3+3+3+3+6）=3，∴方差=[（﹣3﹣3）3+（﹣3﹣3）3+（3﹣3）3+（3﹣3）3+（3﹣3）3+（6﹣3）3]=3．故答案為3．考點：3．方差；3．中位數．14、【解析】

首先根據題意畫出樹狀圖，由樹狀圖求得所有等可能的結果與兩次都摸到紅球的情況，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此題屬于放回實驗．【詳解】畫樹狀圖如下：由樹狀圖可知，共有9種等可能結果，其中兩次都摸到紅球的有1種結果，所以兩次都摸到紅球的概率是，故答案為．【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率的知識．注意畫樹狀圖與列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放回實驗．15、a1【解析】

根據同底數冪相除，底數不變指數相減計算即可【詳解】a6÷a1=a6﹣1=a1．故答案是a1【點睛】同底數冪的除法運算性質16、甲【解析】由圖表明乙這8次成績偏離平均數大，即波動大，而甲這8次成績，分布比較集中，各數據偏離平均小，方差小，則S2甲<S2乙，即兩人的成績更加穩(wěn)定的是甲．故答案為甲．17、2【解析】分析：首先求出方程的根，再根據三角形三邊關系定理，確定第三邊的長，進而求其周長．詳解：解方程x2-10x+21=0得x1=3、x2=1，∵3＜第三邊的邊長＜9，∴第三邊的邊長為1．∴這個三角形的周長是3+6+1=2．故答案為2．點睛：本題考查了解一元二次方程和三角形的三邊關系．已知三角形的兩邊，則第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．18、【解析】試題解析：根據圖象和數據可知，當y>0即圖象在x軸的上方，x>1．

故答案為x>1．三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．19、(1)PM＝PN，PM⊥PN；(2)△PMN是等腰直角三角形，理由詳見解析；(3)．【解析】

（1）利用三角形的中位線得出PM＝CE，PN＝BD，進而判斷出BD＝CE，即可得出結論，再利用三角形的中位線得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出結論；（2）先判斷出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出結論；（3）方法1、先判斷出MN最大時，△PMN的面積最大，進而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面積公式即可得出結論．方法2、先判斷出BD最大時，△PMN的面積最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可．【詳解】解：（1）∵點P，N是BC，CD的中點，∴PN∥BD，PN＝BD，∵點P，M是CD，DE的中點，∴PM∥CE，PM＝CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案為：PM＝PN，PM⊥PN，（2）由旋轉知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，同（1）的方法，利用三角形的中位線得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形，（3）方法1、如圖2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大時，△PMN的面積最大，∴DE∥BC且DE在頂點A上面，∴MN最大＝AM+AN，連接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，∴MN最大＝2+5＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．方法2、由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，∴PM最大時，△PMN面積最大，∴點D在BA的延長線上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝【點睛】本題考查旋轉中的三角形,關鍵在于對三角形的所有知識點熟練掌握.20、（1）補充表格見解析；（2）①61；②見解析.【解析】

（1）根據所給數據分析補充表格即可.（2）①根據概率公式計算即可.②根據平均數、中位數分別進行分析并根據分析結果給出建議即可.【詳解】（1）補充表格如下：范圍25≤x≤2930≤x≤3435≤x≤3940≤x≤4445≤x≤4950≤x≤5455≤x≤59人數1032734（2）①估計該校九年級女生在中考體育測試中1分鐘“仰臥起坐”項目可以得到滿分的人數為136×≈61，故答案為：61；②從平均數角度看，該校女生1分鐘仰臥起坐的平均成績高于區(qū)縣水平，整體水平較好；從中位數角度看，該校成績中等水平偏上的學生比例低于區(qū)縣水平，該校測試成績的滿分率低于區(qū)縣水平；建議：該校在保持學校整體水平的同事，多關注接近滿分的學生，提高滿分成績的人數．【點睛】本題考查的是統(tǒng)計表的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵.21、100米.【解析】【分析】如圖，作PC⊥AB于C，構造出Rt△PAC與Rt△PBC，求出AB的長度，利用特殊角的三角函數值進行求解即可得.【詳解】如圖，過P點作PC⊥AB于C，由題意可知：∠PAC=60°，∠PBC=30°，在Rt△PAC中，tan∠PAC=，∴AC=PC，在Rt△PBC中，tan∠PBC=，∴BC=PC，∵AB=AC+BC=PC+PC=10×40=400，∴PC=100，答：建筑物P到賽道AB的距離為100米．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，正確添加輔助線構造直角三角形，利用特殊角的三角函數值進行解答是關鍵.22、（1）證明見解析；（2）2.【解析】

（1）作輔助線，根據等腰三角形三線合一得BD＝CD，根據三角形的中位線可得OD∥AC，所以得OD⊥EF，從而得結論；（2）證明△ODF∽△AEF，列比例式可得結論．【詳解】（1）證明：連接OD，AD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切線；（2）解：∵OD∥AE，∴△ODF∽△AEF，∴ODAE∵AB＝4，AE＝1，∴23∴BF＝2．【點睛】本題主要考查的是圓的綜合應用，解答本題主要應用了圓周角定理、相似三角形的性質和判定，圓的切線的判定，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵．23、解：（1）該校班級個數為4÷20%=20（個），只有2名留守兒童的班級個數為：20﹣（2+3+4+5+4）=2（個），該校平均每班留守兒童的人數為：=4（名），補圖如下：（2）由（1）得只有2名留守兒童的班級有2個，共4名學生．設A1，A2來自一個班，B1，B2來自一個班，有樹狀圖可知，共有12中等可能的情況，其中來自一個班的共有4種情況，則所選兩名留守兒童來自同一個班級的概率為：=．【解析】（1）首先求出班級數，然后根據條形統(tǒng)計圖求出只有2名留守兒童的班級數，再求出總的留守兒童數，最后求出每班平均留守兒童數；（2）利用樹狀圖確定可能種數和來自同一班的種數，然后就能算出來自同一個班級的概率.24、135°m+n【解析】試題分析：（1）由已知條件證△ABD≌△AEC，即可得到∠BDA=∠CEA；（2）過點E作EG⊥CB交CB的延長線于點G，由已知條件易得∠EBG=60°，BE=2，這樣在Rt△BEG中可得EG=，BG=1，結合BC=n=3，可得GC=4，由長可得EC=，結合△ABD≌△AEC可得BD=EC=；（3）由（2）可知，BE=，BC=n，因此當E、B、C三點共線時，EC最大=BE+BC=，此時BD最大=EC最大=；（4）由△ABD≌△AEC可得∠AEC=∠ABD，結合△ABE是等腰直角三角形可得△EFB是直角三角形及BE2=2AE2，從而可得EF2=BE2-BF2=2AE2-BF2.試題解析：（1）∵△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，且∠EAB=∠DAC=90°，∴AE=AB，AC=AD，∠EAB+∠BAC=∠BAC+∠DAC，即∠EAC=∠BAD，∴△EAC≌△BAD，∴∠BDA=∠ECA；（2）如下圖，過點E作EG⊥CB交CB的延長線于點G，∴∠EGB=90°，∵在等腰直角△ABE，∠BAE=90°，AB=m=，∴∠ABE=45°，BE=2，∵∠ABC=75°，∴∠EBG=180°-75°-45°=60°，∴BG=1，EG=，∴GC=BG+BC=4，∴CE=，∵△EAC≌△BAD，∴BD=EC=；（3）由（2）可知，BE=，BC=n，因此當E、B、C三點共線時，EC最大=BE+BC=，∵BD=EC，∴BD最大=EC最大=，此時∠ABC=180°-∠ABE=180°-45°=135°，即當∠ABC=135°時，BD最大=；（4）∵△ABD≌△AEC，∴∠AEC=∠ABD，∵在等腰直角△ABE中，∠AEC+∠CEB+∠ABE=90°，∴∠ABD+∠ABE+∠CEB=90°，∴∠BFE=180°-90°=90°，∴EF2+BF2=BE2，又∵在等腰Rt△ABE中，BE2=2AE2，∴2AE2=EF2+BF2.點睛：(1)解本題第2小題的關鍵是過點E作EG⊥CB的延長線于點G，即可由已知條件求得BE的長，進一步求得BG和EG的長就可在Rt△EGC中求得EC的長了，結合（1）中所證的全等三角形即可得到BD的長了；（2）解第3小題時，由題意易知，當AB和BC的值確定后，BE的值就