數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)21.3 實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（第3課時(shí)）

1/1421.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程第3課時(shí)一、教學(xué)目標(biāo)【知識(shí)與技能】1.探索以幾何圖形為背景的應(yīng)用題，找出其中的等量關(guān)系，建立一元二次方程，體會(huì)數(shù)學(xué)模型在解決現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題中的作用.2.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.【過(guò)程與方法】經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模建立一元二次方程的過(guò)程，鍛煉學(xué)生分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力.【情感態(tài)度與價(jià)值觀】通過(guò)建立一元二次方程解決實(shí)際生活問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)在生活中的實(shí)用性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，體會(huì)數(shù)學(xué)給人類生活帶來(lái)的促進(jìn)作用.二、課型新授課三、課時(shí)第3課時(shí)，共3課時(shí)。四、教學(xué)重難點(diǎn)【教學(xué)重點(diǎn)】 列一元二次方程解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.【教學(xué)難點(diǎn)】 尋找問(wèn)題中的等量關(guān)系.五、課前準(zhǔn)備 課件六、教學(xué)過(guò)程（一）導(dǎo)入新課教師問(wèn)：通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，請(qǐng)談?wù)劻蟹匠探鈶?yīng)用題的一般步驟是怎樣的？關(guān)鍵是什么？（出示課件2）學(xué)生答：步驟：①審題；②設(shè)元；③列式；④解答；⑤驗(yàn)根；⑥答案.出示課件3：現(xiàn)有長(zhǎng)19cm，寬為15cm長(zhǎng)方形硬紙片，將它的四角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形后，再折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方形紙盒，要使紙盒的底面積為77cm2，問(wèn)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是多少?學(xué)生自主思考后解答.解：設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為xcm，則紙盒的長(zhǎng)為（19-2x），寬為（15-2x）cm，依題意得（19-2x）（15-2x）=77.整理得：x2-17x+52=0.解方程，得：（x-13）（x-4）=0.解得：x1=4，x2=13（舍去）.因此剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為3cm.（二）探索新知探究幾何圖形的面積問(wèn)題出示課件5：如圖，要設(shè)計(jì)一本書(shū)的封面，封面長(zhǎng)27cm，寬21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（精確到0.1cm）？27cm27cm21cm學(xué)生自主思考后，師生共同解答.（出示課件6）解法一：依據(jù)題意知，中央矩形的長(zhǎng)寬之比等于封面的長(zhǎng)寬之比＝9：7，由此可以判定:上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7，設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，則左、右邊襯的寬均為7xcm，依題意得：中央矩形的長(zhǎng)為(27-18x)cm，寬為(21-14x)cm．因?yàn)樗闹艿牟噬呉r所點(diǎn)面積是封面面積的__,則中央矩形的面積是封面面積的____．所以可列方程得：（27-18x）（21-14x）=×27×21.整理，得16x2-48x+9=0.解方程，得x=，x1≈2.8cm，x2≈0.2.所以，9x1=25.2cm（舍去），9x2=1.8cm，7x2=1.4cm.因此，上下邊襯的寬均為1.8cm，左、右邊襯的寬均為1.4cm．出示課件7：解法二:設(shè)正中央的矩形兩邊分別為9xcm，7xcm，列方程得：解得x≈2.6.上、下的邊襯的寬為（27-9×2.6）×0.5=1.8cm.左、右的邊襯的寬為（21-7×2.6）×0.5=1.4cm.出示課件8：例1有一張長(zhǎng)6尺，寬3尺的長(zhǎng)方形桌子，現(xiàn)用一塊長(zhǎng)方形臺(tái)布鋪在桌面上，如果臺(tái)布的面積是桌面面積的2倍，且四周垂下的長(zhǎng)度相同，試求這塊臺(tái)布的長(zhǎng)和寬各是多少？（精確到0.1尺）師生共同分析：設(shè)四周垂下的寬度為x尺時(shí)，可知臺(tái)布的長(zhǎng)為(2x+6)尺，寬為（2x+3）尺，利用臺(tái)布的面積是桌面面積的2倍構(gòu)建方程可獲得結(jié)論.解：設(shè)四周垂下的寬度為x尺時(shí)，則臺(tái)布的長(zhǎng)為（2x+6）尺，寬為（2x+3）尺，依題意得：（6+2x）（3+2x）=2×6×3.整理方程得：2x2+9x-9=0.解得：x1≈0.84，x2≈-5.3（不合題意，舍去）.因此：臺(tái)布的長(zhǎng)為：2×0.84+6≈7.7（尺）.臺(tái)布的寬為：2×0.84+3≈4.7（尺）.即這塊臺(tái)布的長(zhǎng)約為7.7尺，寬約為4.7尺.出示課件9：要為一幅長(zhǎng)29cm,寬22cm的照片配一個(gè)鏡框，要求鏡框的四條邊寬度相等，且鏡框所占面積為照片面積的四分之一，鏡框的寬度應(yīng)是多少厘米(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？學(xué)生自主思考后解答.解：設(shè)鏡框的寬為xcm，根據(jù)題意，得，整理得8x2+204x-319=0,解得.∴x1=,x2=(不合題意，舍去).∴x=≈1.5.答：鏡框的寬度約為1.5cm.出示課件10，11，12：例2如圖是長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的平面示意圖.一邊靠墻，另三邊用竹籬笆圍成，且竹籬笆總長(zhǎng)為35m.（1）若所圍的面積為150m2，試求此長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬；解：設(shè)BC=xcm,則AB=CD=（35-x），依題意可列方程：(35-x)x=150.整理得：x2-35x+300=0,解方程，得（x-20）(x-15)=0.即：x1=20，x2=15.當(dāng)BC=x=20m時(shí)，AB=CD=7.5m，當(dāng)BC=15m時(shí)，AB=CD=10m，即這個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬分別為20m和7.5m或15m和10m.（2）如果墻長(zhǎng)為18m，則（1）中長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別是多少？解：當(dāng)墻長(zhǎng)為18m時(shí)，顯然BC=20m時(shí)，所圍成的雞場(chǎng)會(huì)在靠墻處留下一個(gè)缺口，不合題意，應(yīng)舍去，此時(shí)所圍成的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的長(zhǎng)與寬值能是15m和10m.教師強(qiáng)調(diào)：在尋找關(guān)系式時(shí)，切記三邊之和等于總長(zhǎng)，而不是四邊之和等于總長(zhǎng).（3）能?chē)擅娣e為160m2的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)嗎？說(shuō)說(shuō)你的理由.解：不能?chē)擅娣e為160m2的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，理由如下：設(shè)BC=xm，由（1）知AB=(35-x)，從而有(35-x)x=160，方程整理為x2-35x+320=0.此時(shí)Δ=352-4×1×320=-55＜0，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，從而知用35m的籬笆按圖示方式不能?chē)擅娣e為160m2的雞場(chǎng).出示課件13：如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m的門(mén)，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80平方米？住房墻住房墻1m學(xué)生自主思考后解答.解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻的一邊長(zhǎng)為xm，則平行于住房墻的一邊長(zhǎng)(25-2x+1)m.由題意得x(25-2x+1)=80.整理，得x2-13x+40=0.解方程，得（x-5）（x-8）=0.即：x1=5,x2=8.當(dāng)x=5時(shí)，26-2x=16>12(舍去）；當(dāng)x=8時(shí)，26-2x=10<12，故所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m,寬為8m.出示課件14：例3如圖，在一塊寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的兩條道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540m2,求道路的寬為多少？學(xué)生自主思考后，師生共同解答如下：解：設(shè)道路的寬為x米，依題意得20×32-32x-20x+x2=540.教師問(wèn)：還有其他方法嗎？出示課件15：解：設(shè)道路的寬為x米.(32-x)(20-x)=540.整理，得x2-52x+100=0.解方程，得（x-50)(x-2）=0.即x1=2,x2=50.當(dāng)x=50時(shí)，32-x=-18,不合題意，舍去.∴取x=2.答：道路的寬為2米.出示課件16：變式一：在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540m2,求這種方案下的道路的寬為多少？教師分析后，學(xué)生自主解答.解：設(shè)道路的寬為x米.可列方程為(32-x)(20-x)=540.出示課件17：變式二：如圖，在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540m2,求這種種方案下的道路的寬為多少？教師分析后，學(xué)生自主解答.解：設(shè)道路的寬為x米.可列方程為(32-2x)(20-x)=540.出示課件18：如圖，在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑同樣寬的道路,余下的部分種上草坪,要使草坪的面積為540m2,求這種方案下的道路的寬為多少？教師分析后，學(xué)生自主解答.解：設(shè)道路的寬為x米.可列方程為(32-2x)(20-2x)=540.出示課件19：變式四：在寬為20m,長(zhǎng)為32m的矩形地面上修筑四條道路,余下的部分種上草坪，如果橫、縱小路的寬度比為3：2，且使小路所占面積是矩形面積的四分之一,求道路的寬為多少？出示課件20：教師分析后，學(xué)生自主解答.解:設(shè)橫、豎小路的寬度分別為3x、2x，于是可列方程(30-4x)(20-6x)=×20×30.出示課件21：教師強(qiáng)調(diào)：我們利用“圖形經(jīng)過(guò)移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變”的性質(zhì)，把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使列方程容易些（目的是求出結(jié)果，至于實(shí)際施工，仍可按原圖的位置進(jìn)行）.出示課件22：如圖是寬為20米,長(zhǎng)為32米的矩形耕地,要修筑同樣寬的三條道路(兩條縱向,一條橫向,且互相垂直),把耕地分成六塊大小相等的試驗(yàn)地,要使試驗(yàn)地的面積為570平方米,問(wèn):道路寬為多少米?學(xué)生自主思考后，自主解答如下：（出示課件23）解:設(shè)道路寬為x米，依題意得（32-2x）（20-x）=570.整理得，x2-36x+35=0.解方程，得（x-35）（x-1）=0.即：x1=35，x2=1.其中的x=35超出了原矩形的寬，應(yīng)舍去.答:道路的寬為1米.（三）課堂練習(xí)（出示課件24-28）1.公園有一塊正方形的空地，后來(lái)從這塊空地上劃出部分區(qū)域栽種鮮花（如圖），原空地一邊減少了1m，另一邊減少了2m，剩余空地的面積為18m2，求原正方形空地的邊長(zhǎng)．設(shè)原正方形的空地的邊長(zhǎng)為xm，則可列方程為（）A．（x+1）（x+2）=18B．x2﹣3x+16=0C．（x﹣1）（x﹣2）=18D．x2+3x+16=02.在一幅長(zhǎng)80cm，寬50cm的矩形風(fēng)景畫(huà)的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm，那么x滿足的方程是（）A．x2+130x-1400=0B．x2+65x-350=0C．x2-130x-1400=0D．x2-65x-350=03.一塊長(zhǎng)方形鐵板，長(zhǎng)是寬的2倍，如果在4個(gè)角上截去邊長(zhǎng)為5cm的小正方形，然后把四邊折起來(lái)，做成一個(gè)沒(méi)有蓋的盒子，盒子的容積是3000cm3，求鐵板的長(zhǎng)和寬．4.如圖：要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米）建羊圈，用100米的圍欄圍成總面積為400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈，求羊圈的邊長(zhǎng)AB和BC的長(zhǎng)各是多少米？DDCBA25米5.如圖，要設(shè)計(jì)一個(gè)寬20cm,長(zhǎng)為30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎彩條，橫豎彩條的寬度之比為2∶3，若使所有彩條的面積是原來(lái)矩形圖案面積的三分之一，應(yīng)如何設(shè)計(jì)每個(gè)彩條的寬度？參考答案：1.C2.B3.解：設(shè)鐵板的寬為xcm,則有長(zhǎng)為2xcm，依題意得：5(2x-10)(x-10)=3000.整理得x2-15x-250=0.解方程，得（x-25）（x+10）=0.即x1=25,x2=-10(舍去）,所以2x=50.答：鐵板的長(zhǎng)50cm,寬為25cm.4.解：設(shè)AB長(zhǎng)是xm，依題意得：(100-4x)x=400.整理得x2-25x+100=0.解方程得（x-20）（x-5）=0.即x1=5，x2=20.x=20,100-4x=20<25,x=5,100-4x=80>25,x=5(舍去).答：羊圈的邊長(zhǎng)AB和BC的長(zhǎng)各是20m,20m.5.解：設(shè)橫向彩條的寬度2xcm,豎彩條的寬度3xcm，依題意得：(20-6x)(30-4x)=20×30×.整理得6x2-65x+50=0.解方程得則答：每個(gè)橫豎彩條的寬度分別是cm,cm.（四）課堂小結(jié)通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，談?wù)勀銓?duì)列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的體會(huì)和收獲？你認(rèn)為有