第七章后半部分改完

第七章后半部分改完第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三將上述線性方程的根取為根的近似值，即該格式稱為方程求根的Newton迭代格式。若，過處的切線方程為該切線與X軸的交點為Newton法的幾何意義逐次用切線與X軸的交點代替曲線與X軸的交點。Newton法亦稱為切線法第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三2.局部收斂性與收斂的階定理設(shè)為的根，在開區(qū)間內(nèi)，連續(xù)且，則當時，Newton迭代格式至少為二階收斂。

該定理說明Newton迭代格式：①局部收斂性；②收斂階至少為二階；③適用于單根。證明

Newton迭代可以看作由的同解方程構(gòu)造的不動點迭代。第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三因此

故

由于在內(nèi)連續(xù)，得在內(nèi)連續(xù)，

且

故由迭代局部收斂的充分條件知。Newton迭代法局部是收斂，且至少為二階收斂。Remark在Newton迭代中，當初值選的充分接近根，才能保證序列收斂，且迭代為二階收斂。第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三3非局部收斂性定理

設(shè)，且滿足：

①②對，，（,不變號）③取，使則①在內(nèi)有唯一的根；②Newton迭代格式產(chǎn)生的序列收斂于且第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三證明：①由在上連續(xù)，且，知在內(nèi)至少有一根。

由（即不變號），知在內(nèi)有唯一的根，且保證了該根為單根。②條件①和有四種情況。僅就的情況證明。由中值定理，存在使得因在上不變號，因而對即在上單調(diào)增。又由，可知第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三又由，知，而，得又由在的Taylor展開式：其中在x與之間。得即故第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三一般地，設(shè)，類似可得，且⑴即有因單調(diào)遞減且有下界，則必有極限。對取極限，得故Newton迭代格式產(chǎn)生的序列收斂于。由⑴，得故Newton迭代具有二階收斂性。第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三更一般的非局部收斂定理如下：定理設(shè)在上連續(xù)，且①②對

③則對，Newton迭代序列收斂于在內(nèi)的唯一實根。標準牛頓迭代法僅適用于單根的情形。第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三二重根情形的牛頓迭代1標準Newton法設(shè)為的m根重根。在的某鄰域內(nèi)有m階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，這時

將在處展開，有其中介于與之間。第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三由Newton迭代函數(shù)得第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三由于

對于重根情形，標準牛頓迭代法僅具有局部線性收斂。2改進的Newton法若取稱為改進的Newton法?？勺C：改進的Newton法是局部平方收斂的。第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三3修正方法因m未知，改進的Newton法使用比較困難。令若是的m重零點，則

即是的單重零點。第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三

修改方法：將求f(x)的零點問題轉(zhuǎn)化為求單重零點的問題。取迭代函數(shù)即則為局部平方收斂。缺點：需要計算，計算量稍大第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三三Newton下山法

牛頓迭代法中，初值選取比較困難時，將對迭代過程附加一項要求：要求迭代后，得到以0為下界的嚴格單調(diào)遞減序列這樣當時。從而可得。若序列滿足則稱是f(x)的一個下山序列。求下山序列的算法稱為下山法第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三由得注意有若為f(x)的單零點，當時，有即

于是當k充分大時，故收斂的牛頓序列除去有限點以外（前面有限個點）定為下山序列第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三引理若，且則存在使得當時證明將在x處展開，得故于是存在得當時，有第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三即由得從而當時，有表明：是f(x)在x點的一個下山方向?？梢赃x擇適當?shù)?，使得滿足第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三

在Newton迭代法中引進下山因子并將迭代格式改為則有為保證是f(x)的一個下山序列，則可能太?。粸楸ＷC牛頓法的高階收斂性。希望k充分大時，，即成為標準牛頓迭代法。下山因子的一種常用取法是取自集合：第19頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三

將下山法和牛頓法結(jié)合起來使用的方法稱為牛頓下山法。步驟為：選取初始值取下山因子t=1。計算及判斷是否成立。若當時終止迭代，且取當時，k增加1，即將作為新的轉(zhuǎn)到②繼續(xù)迭代第20頁，共21頁，2023年，2月20日，星期三（b）若當，且時令即將t縮小一半，轉(zhuǎn)到③繼續(xù)迭代。當，且，終止迭代，取。