第三章 立體的表面交線

第三章立體的表面交線第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三返回第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三返回第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三空間幾何體分為平面立體和曲面立體。平面立體：表面由平面圍成的幾何體。曲面立體：表面由曲面或者曲面與平面圍成的幾何體。平面立體曲面立體第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三截交:平面與立體相交，截去立體的一部分。平面與立體、立體與立體兩兩相交形成不同的表面交線，可分為兩大類：截交線——截平面與立體表面的交線。第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三相貫:兩曲面立體相交。相貫線——曲面立體與曲面立體表面的交線。第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.1平面立體表面的截交線3.1.1概述

2)截交線的形狀是由直線段圍成的平面多邊形。

3)多邊形的頂點是立體棱線與截平面的交點，

多邊形的各邊是截平面與立體各表面的交線。截交線的性質：

1)截交線既在截平面上，又在立體表面上，是截平面與立體表面的共有線。第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.1.2平面與平面立體截交線的求法：A.求各棱線與截平面的交點→線面交點法B.求各棱面與截平面的交線→面面交線法求截交線的步驟：1)空間及投影分析2)畫出截交線的投影a、截平面與立體的相對位置:確定截交線的形狀。確定截交線的投影特性。b、截平面與投影面的相對位置：分別求出截平面與棱面的交線，并連接成多邊形。第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例1]四棱錐被正垂面P切割，求其截交線的投影。321(4)3●2●4●1●3●2●4●1)空間分析1●2)投影分析3)求截交線4)補全棱線的投影檢查:尤其注意檢查截交線投影的相仿性SSS截平面與體的幾個棱面相交？截交線的形狀？采用的是哪種解題方法？四邊形線面交點法第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例2]求P、Q

兩平面與三棱錐截交線的投影。1"解題步驟1)分析:截平面為正垂面和水平面，正面投影積聚；2)求出點1、2、3、4；S"sa′aa"b′(c′)b"bcc"PvQv3)順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；S(3)223143"2"4)補全輪廓線。

414"第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例3]已知立體的V、W投影，試求其H投影。第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例4]已知主視圖和左視圖，求俯視圖。第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.2曲面立體表面的截交線3.2.1概述回轉體截切的基本形式

平面與回轉體表面相交，其截交線是封閉的平面圖形。

截交線是由曲線圍成，或者由曲線與直線圍成，或者由直線段圍成。

求回轉體截交線，常利用積聚性或者輔助平面以及投影變換的方法。第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三求平面與回轉體截交線的一般步驟：⒈空間及投影分析分析回轉體的形狀以及截平面與回轉體軸線的相對位置，以便確定截交線的形狀。分析截平面與投影面的相對位置，明確截交線的投影特性，如積聚性、相仿性等。找出截交線的已知投影，預見未知投影。⒉畫出截交線的投影當截交線的投影為非圓曲線時，其作圖步驟為：*光滑連接各點，并判斷截交線的可見性。*先找特殊點，補充中間點。第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.2.2圓柱的截交線

平面與圓柱面相交時，根據平面與圓柱軸線的相對位置不同，其截交線有三種情況：圓、橢圓和矩形。第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三圓柱的截交線第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三多個平面截切立體時，要分別對各截平面進行截交線的分析和作圖。[例1]圓柱體被P、Q

兩平面截切，試完成其三視圖。

1)空間及投影分析3)求截交線。2)分析圓柱體輪廓素線的投影。截平面與立體的相對位置；截平面與投影面的相對位置；解題步驟保留動畫確定截交線形狀為矩形和圓弧。acbdePvQveb(d)a(c)ea(b)

c(d)第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例2]圓柱被正垂面截切，試畫出三視圖。1．分析：截平面為正垂面，截交線的正面投影積聚，側面投影和水平投影為橢圓；2．求出截交線上的特殊點a、b、c、d；3．求出若干個一般點e、e1；4．光滑順次連接各點，作出截交線，并判別可見性；5．補全輪廓線。解題步驟第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三截平面與圓柱軸線的傾角為β，其交線的H投影為橢圓，且橢圓的長、短軸隨β的變化而變化。截平面與圓柱軸線成45°時,投影為圓。第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三(1)作圓柱的W面投影圖平面與圓柱體相交舉例之一

[例]如圖a，根據V面投影和H面投影補出立體的W面投影。a)題圖

解：

(2)作左切塊上的投影第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三圖平面與圓柱體相交舉例之一(3)作下部通槽的投影第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三(4)判別可見性，整理、加深完成全圖圖平面與圓柱體相交舉例之一第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例4]空心圓柱上部開有長方槽，若已知其V、H投影，試求W投影。第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例4]空心圓柱上部開有長方槽，若已知其V、H投影，試求W投影。第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.2.3圓錐截交線

根據截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種形狀。第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三圓錐的五種截交線第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三圖3.9平面與圓錐體相交舉例[例]補全立體的三面投影。ⅠⅡⅢⅣⅤ輔助平面緯圓輔助平面第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例3]圓錐被正垂面P和側平面Q截切，已知其主視圖，求作俯視圖和左視圖。第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三圓球的截交線總是圓。由于截平面相對于投影面的位置不同，截交線的投影可能是圓、橢圓或直線。3.2.4圓球的截交線第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三兩個側平面截切圓球，交線在左視圖上為部分圓弧，在俯視圖上積聚為直線。[例2]已知上部開有通槽的半圓球的主視圖，求其俯視圖和左視圖。水平面截切圓球，交線在俯視圖上為部分圓弧，在左視圖上積聚為直線。第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.2.5綜合舉例首先分析復合回轉體由哪些基本回轉體組成以及它們的連接關系，然后分別求出這些基本回轉體的截交線，并依次將其連接。保留動畫第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三[例1]已知立體的俯、左視圖，完成其主視圖。第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.3.1概述相貫線的主要性質：

其作圖實質是找出相貫的兩立體表面的若干共有點的投影。1)共有性相貫線是兩立體表面的共有線。2)分界性相貫線兩立體表面的分界線。3)封閉性

相貫線一般是封閉的空間曲線，特殊情況下為不封閉或平面曲線或直線。3.3回轉體的相貫線第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三兩立體相交可分為

1)兩平面立體相交：可歸結為求兩平面的交線問題，或求棱線與平面的交點問題。

2)平面立體與曲面立體相交：可歸結為求平面與曲面立體截交線問題。本節(jié)主要介紹此問題

3)曲面立體相貫線：第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.3.2軸線正交的兩圓柱體的相貫線

3.3.2.1軸線垂直相交的兩圓柱，試求其相貫線。第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三相貫線的側面投影積聚在水平大圓柱側面投影上，即為圓的一部分。

空間及投影分析：相貫線的水平投影與直立小圓柱的水平投影重合，是一個圓。第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三求相貫線的投影：利用積聚性，采用表面取點法。1.找全特殊點；2.補充一般點；3.判別可見性、光滑連接；4.

補全輪廓線?！瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛瘛竦?7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.3.2.2圓柱與圓錐相貫[例3.12]求圓柱與圓錐的相貫線。a)求特殊點b）求一般點，連線，整理圖3.16圓柱與圓錐相貫舉例第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三曲面立體相貫的三種基本形式2.外表面與內表面相交1.兩外表面相交3.兩內表面相交第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三以下分別是圓柱外表面與圓柱內表面相貫、圓柱內表面與圓柱內表面相貫的情況。第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三以下分別是圓柱外表面與圓柱內表面相貫、圓柱內表面與圓柱內表面相貫的情況。第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三圓柱、圓錐相貫線變化規(guī)律當圓柱直徑變化時，相貫線的變化趨勢。動畫一動畫二第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三特例：軸線正交的兩等徑圓柱體相貫——相貫線為橢圓

1.蒙日定理:若兩個二次曲面共切于第三個二次曲面，則兩曲面的相貫線為平面曲線（橢圓）。

3.3.4相貫線的特殊情況第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三相貫線相貫線相貫線

2.具有公共回轉軸的兩回轉體相貫

——相貫線為垂直于公共回轉軸線的圓

圖3.17具有公共回轉軸的兩回轉體相貫第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三圖3.18軸線相互平行的兩圓柱相貫及共錐頂的兩圓錐相貫

3.軸線相互平行的兩圓柱相貫———相貫線為直線

4.共錐頂的兩圓錐相貫———相貫線為直線

第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例3.13：補全主視圖●●●●●●●●●●●●●●●●●●●★外形交線◆兩外表面相貫◆一內表面和一外表面相貫★內形交線◆

兩內表面相貫★形體分析第46頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例3.13：補全主視圖

無輪是兩外表面相貫，還是一內表面和一外表面相貫，或者兩內表面相貫，求相貫線的方法和思路是一樣的。小結：第47頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例3.14：補全主視圖●●●●●●●●

這是一個多體相貫的例子，首先分析它是由哪些基本體組成的，這些基本體是如何相貫的，然后分別進行相貫線的分析與作圖。哪兩個立體相貫？１與３2與3第48頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例3.14：補全主視圖三面共點●●●

作圖時要抓住一個關鍵點，相貫線匯交于這一點。哪個點呢？第49頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例3.15：補畫左視圖。