第七章 拉伸和壓縮

第七章拉伸和壓縮1第1頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§7-1軸向拉伸壓縮2第2頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3第3頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4第4頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三軸向拉伸壓縮特點(diǎn)：

作用在桿件上的外力合力的作用線與桿件軸線重合，桿件變形是沿軸線方向的伸長(zhǎng)或縮短。桿的受力簡(jiǎn)圖為:FF拉伸FF壓縮5第5頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三軸力和軸力圖1、軸力：橫截面上的內(nèi)力2、截面法求軸力FFmmFFN截:

假想沿m-m橫截面將桿切開取:

留下左半段或右半段代:

將拋掉部分對(duì)留下部分的作用力用內(nèi)力代替平:

對(duì)留下部分寫平衡方程求出內(nèi)力即軸力的值FFN6第6頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3、軸力正負(fù)號(hào)：拉為正、壓為負(fù)4、軸力圖：軸力沿桿件軸線變化的圖形由于外力的作用線與桿件的軸線重合，內(nèi)力的作用線也與桿件的軸線重合。所以稱為軸力。FFmmFFNFFN7第7頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三已知:F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;試畫出圖示桿件的軸力圖。FN1F1解：1、計(jì)算各段的軸力。AB段:11F1F3F2F4ABCD2233FN3F4FN2F1F2BC段:CD段:2、繪制軸力圖。8第8頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：x坐標(biāo)向右為正，坐標(biāo)原點(diǎn)在自由端。取左側(cè)x段為對(duì)象，內(nèi)力ＦN(x)為：qq

LxO

圖示桿長(zhǎng)為L(zhǎng)，受分布力q=kx作用，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。Lq(x)ＦN(x)xq(x)xO–ＦN(x)9第9頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三問(wèn)題提出：PPPP1.內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強(qiáng)度的大小。2.強(qiáng)度：①內(nèi)力在截面分布集度應(yīng)力；

②材料承受荷載的能力?！?-2截面上的應(yīng)力桿件的強(qiáng)度不僅與軸力有關(guān)，還與橫截面面積有關(guān)。必須用應(yīng)力來(lái)比較和判斷桿件的強(qiáng)度。10第10頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三變形前1.變形規(guī)律試驗(yàn)及平面假設(shè)：平面假設(shè)：原為平面的橫截面在變形后仍為平面?？v向纖維變形相同。abcd受載后PP

d′a′c′

b′一、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力11第11頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三橫截面上的應(yīng)力：均勻材料、均勻變形，內(nèi)力當(dāng)然均勻分布。橫截面上的正應(yīng)力σ和軸力FN同號(hào)。符號(hào)規(guī)定：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。12第12頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.拉伸應(yīng)力：sFN(x)P軸力引起的正應(yīng)力

——

：在橫截面上均布。危險(xiǎn)截面：內(nèi)力最大的面，截面尺寸最小的面。危險(xiǎn)點(diǎn)：應(yīng)力最大的點(diǎn)。4.危險(xiǎn)截面及最大工作應(yīng)力：直桿、桿的截面無(wú)突變、截面到載荷作用點(diǎn)有一定的距離。3.公式的應(yīng)用條件：13第13頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

圖示結(jié)構(gòu)，A、B、C為鉸鏈連接，求桿件AB、CB的應(yīng)力。已知F=20kN；AB為直徑20mm的圓截面桿，CB為15mm×15mm的方截面桿。FABC解：1、計(jì)算各桿件的軸力。用截面法取節(jié)點(diǎn)B為研究對(duì)象45°12BF45°14第14頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、計(jì)算各桿件的應(yīng)力。FABC45°12BF45°15第15頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一安全系數(shù)和許用應(yīng)力工作應(yīng)力極限應(yīng)力塑性材料脆性材料

—許用應(yīng)力，

n

—安全系數(shù)?！?-3拉壓桿的強(qiáng)度條件16第16頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三材料的拉、壓許用應(yīng)力塑性材料：脆性材料：許用拉應(yīng)力其中，ns——對(duì)應(yīng)于屈服極限的安全因數(shù)其中，nb——對(duì)應(yīng)于拉、壓強(qiáng)度的安全因數(shù)17第17頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二強(qiáng)度條件根據(jù)強(qiáng)度條件，可以解決三類強(qiáng)度計(jì)算問(wèn)題1、強(qiáng)度校核：2、設(shè)計(jì)截面：3、確定許可載荷：18第18頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：1、研究節(jié)點(diǎn)A的平衡，計(jì)算軸力。由于結(jié)構(gòu)幾何和受力的對(duì)稱性，兩斜桿的軸力相等，根據(jù)平衡方程

F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200?！拨摇?120MPa。試校核斜桿的強(qiáng)度。FF得F19第19頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、強(qiáng)度校核由于斜桿由兩個(gè)矩形桿構(gòu)成，故A=2bh，工作應(yīng)力為：斜桿強(qiáng)度足夠20第20頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三D=350mm，p=1MPa。螺栓[σ]=40MPa，求直徑。每個(gè)螺栓承受軸力為總壓力的1/6解：油缸蓋受到的力即螺栓的軸力為：21第21頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三根據(jù)強(qiáng)度條件得即螺栓的直徑為22第22頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

AC為50×50×5的等邊角鋼，AB為10號(hào)槽鋼，〔σ〕=120MPa。求F。解：1、計(jì)算軸力，用截面法取節(jié)點(diǎn)A為研究對(duì)象AFα23第23頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2、根據(jù)斜桿的強(qiáng)度，求許可載荷AFα查表得斜桿AC的面積為A1=2×4.8cm224第24頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3、根據(jù)水平桿的強(qiáng)度，求許可載荷AFα查表得水平桿AB的面積為A2=2×12.74cm225第25頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4、許可載荷AFα26第26頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三轉(zhuǎn)角α規(guī)定：橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面外法線逆時(shí)針：為“+”順時(shí)針：為“–”§7-4斜截面上的應(yīng)力27第27頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三斜截面上的內(nèi)力：變形假設(shè)：兩平行的斜截面在桿受拉(壓)而變形后仍相互平行。=>兩平行的斜截面之間的所有縱向線段伸長(zhǎng)變形相同。28第28頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三斜截面上的總應(yīng)力：

推論：斜截面上各點(diǎn)處軸向分布內(nèi)力的集度相同，即斜截面上各點(diǎn)處的總應(yīng)力pa相等。

式中，為拉(壓)桿橫截面上(a=0)的正應(yīng)力。

29第29頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三斜截面上的正應(yīng)力(normalstress)和切應(yīng)力(shearingstress)：

正應(yīng)力和切應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定：

30第30頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三反映：通過(guò)構(gòu)件上一點(diǎn)不同截面上應(yīng)力變化情況。31第31頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三縱向變形

：基本情況下(等直桿，兩端受軸向力)：

縱向總變形Δl=l1-l

（反映絕對(duì)變形量）

縱向線應(yīng)變（反映變形程度）

§7-5拉壓桿的變形32第32頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三引進(jìn)比例常數(shù)E，且注意到F=FN，有

E—彈性模量，由實(shí)驗(yàn)測(cè)定，單位為Pa；EA—桿的拉伸(壓縮)剛度。胡克定律(Hooke’slaw)工程中常用材料制成的拉(壓)桿，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)材料的某一特征值(“比例極限”)時(shí)，若兩端受力33第33頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三橫向變形——與桿軸垂直方向的變形在基本情況下34第34頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三鋼材的E約為200GPa，υ約為0.25～0.33泊松比35第35頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三36第36頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

2.橫截面B,C及端面D的縱向位移與各段桿的縱向總變形是什么關(guān)系？思考：等直桿受力如圖，已知桿的橫截面面積A和材料的彈性模量E。

1.列出各段桿的縱向總變形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整個(gè)桿縱向變形的表達(dá)式。

37第37頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三FFFN

圖F+-+位移：變形：38第38頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例題

如圖所示桿系，荷載P=100kN，試求結(jié)點(diǎn)A的位移ΔA。已知：a

=30°，l=2m，d=25mm，桿的材料(鋼)的彈性模量為E=210GPa。39第39頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由胡克定律得

其中

1.求桿的軸力及伸長(zhǎng)解：結(jié)點(diǎn)A的位移ΔA系由兩桿的伸長(zhǎng)變形引起，故需先求兩桿的伸長(zhǎng)。

由結(jié)點(diǎn)A的平衡(如圖)有40第40頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.由桿的總變形求結(jié)點(diǎn)A的位移

根據(jù)桿系的布置、約束、桿的材料以及受力情況均與通過(guò)結(jié)點(diǎn)A的鉛垂線對(duì)稱可知，結(jié)點(diǎn)A只有豎向位移(如圖)。41第41頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三亦即畫桿系的變形圖，確定結(jié)點(diǎn)A的位移

由幾何關(guān)系得42第42頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從而得

此桿系結(jié)點(diǎn)A的位移(displacement)是因桿件變形(deformation)所引起，但兩者雖有聯(lián)系又有區(qū)別。變形是指桿件幾何尺寸的改變，是個(gè)標(biāo)量；位移是指結(jié)點(diǎn)位置的移動(dòng)，是個(gè)矢量，它除了與桿件的變形有關(guān)以外，還與各桿件所受約束有關(guān)。43第43頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

應(yīng)變能(strainenergy)——彈性體受力而變形時(shí)所積蓄的能量。

彈性變形時(shí)認(rèn)為，積蓄在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能Vε在數(shù)值上等于外力所作功W，Vε=W。應(yīng)變能的單位為J（1J=1N·m）?！?-6拉伸(壓縮)內(nèi)的應(yīng)變能44第44頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三拉桿(壓桿)在線彈性范圍內(nèi)的應(yīng)變能或

外力F所作功：

桿內(nèi)應(yīng)變能：45第45頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三亦可寫作或

或

應(yīng)變能密度

vε——單位體積內(nèi)的應(yīng)變能。應(yīng)變能密度的單位為J/m3。46第46頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三沿桿長(zhǎng)均勻分布的荷載集度為f軸力圖微段的分離體47第47頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：應(yīng)變能

例題求例題2-5中所示桿系的應(yīng)變能，并按彈性體的功能原理(Vε=W)求結(jié)點(diǎn)A的位移ΔA。已知：P=100kN，桿長(zhǎng)l=2m，桿的直徑d=25mm，a=30°，材料的彈性模量E=210GPa。48第48頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三結(jié)點(diǎn)A的位移由知49第49頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§7-7材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)力學(xué)性質(zhì)：在外力作用下材料在變形和破壞方面所表現(xiàn)出的力學(xué)性能一試件和實(shí)驗(yàn)條件常溫、靜載矩形截面試樣：或。

50第50頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三試驗(yàn)設(shè)備：(1)萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)：強(qiáng)迫試樣變形并測(cè)定試樣的抗力。(2)變形儀（常用引伸儀）：將試樣的微小變形放大后加以顯示的儀器。51第51頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二低碳鋼的拉伸52第52頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三Ⅱ.低碳鋼試樣的拉伸圖及低碳鋼的力學(xué)性能

拉伸圖

縱坐標(biāo)——試樣的抗力F(通常稱為荷載)

橫坐標(biāo)——試樣工作段的伸長(zhǎng)量53第53頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三低碳鋼試樣在整個(gè)拉伸過(guò)程中的四個(gè)階段：

(1)階段Ⅰ——彈性階段變形完全是彈性的，且Δl與F成線性關(guān)系，即此時(shí)材料的

力學(xué)行為符合胡克定律。54第54頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

(2)階段Ⅱ——屈服階段在此階段伸長(zhǎng)變形急劇增大，但抗力只在很小范圍內(nèi)波動(dòng)。此階段產(chǎn)生的變形是不可恢復(fù)的所謂塑性變形；在拋光的試樣表面上可見(jiàn)大約與軸線成45°的滑移線(，當(dāng)α=±45°時(shí)τa的絕對(duì)值最大)。55第55頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)階段Ⅲ——強(qiáng)化階段

56第56頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三卸載及再加載規(guī)律

若在強(qiáng)化階段卸載，則卸載過(guò)程中F－Δl關(guān)系為直線?？梢?jiàn)在強(qiáng)化階段中，Δl=Δle+Δlp。

卸載后立即再加載時(shí)，F(xiàn)－Δl關(guān)系起初基本上仍為直線(cb)，直至當(dāng)初卸載的荷載——冷作硬化現(xiàn)象。試樣重新受拉時(shí)其斷裂前所能產(chǎn)生的塑性變形則減小。57第57頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三卸載定律及冷作硬化1、彈性范圍內(nèi)卸載、再加載2、過(guò)彈性范圍卸載、再加載即材料在卸載過(guò)程中應(yīng)力和應(yīng)變是線形關(guān)系，這就是卸載定律。材料的比例極限增高，延伸率降低，稱之為冷作硬化或加工硬化。58第58頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

(4)階段Ⅳ——局部變形階段試樣上出現(xiàn)局部收縮——頸縮，并導(dǎo)致斷裂。

59第59頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三低碳鋼的應(yīng)力—應(yīng)變曲線(s－e曲線)為消除試件尺寸的影響，將低碳鋼試樣拉伸圖中的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)換算為應(yīng)力s和應(yīng)變e，即，其中：A——試樣橫截面的原面積，l——試樣工作段的原長(zhǎng)。60第60頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三明顯的四個(gè)階段:1、彈性階段ob比例極限彈性極限2、屈服階段bc（失去抵抗變形的能力）屈服極限3、強(qiáng)化階段ce（恢復(fù)抵抗變形的能力）強(qiáng)度極限4、局部徑縮階段ef61第61頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三兩個(gè)塑性指標(biāo):1.斷后伸長(zhǎng)率:2.斷面收縮率:為塑性材料為脆性材料低碳鋼的為塑性材料62第62頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三四其它材料拉伸時(shí)的力學(xué)性質(zhì)

對(duì)于沒(méi)有明顯屈服階段的塑性材料，用名義屈服極限σp0.2來(lái)表示。63第63頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

對(duì)于脆性材料（鑄鐵），拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線為微彎的曲線，沒(méi)有屈服和徑縮現(xiàn)象，試件突然拉斷。斷后伸長(zhǎng)率約為0.5%。為典型的脆性材料。

σbt—拉伸強(qiáng)度極限。它是衡量脆性材料（鑄鐵σbt約為140MPa）拉伸的唯一強(qiáng)度指標(biāo)。64第64頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三壓縮試樣

圓截面短柱(用于測(cè)試金屬材料的力學(xué)性能)

正方形截面短柱(用于測(cè)試非金屬材料的力學(xué)性能)

實(shí)驗(yàn)條件常溫、靜載壓縮試件和實(shí)驗(yàn)條件65第65頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三塑性材料（低碳鋼）的壓縮屈服極限比例極限彈性極限拉伸與壓縮在屈服階段以前完全相同。E---彈性摸量66第66頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三脆性材料（鑄鐵）的壓縮

脆性材料的抗拉與抗壓性質(zhì)不完全相同

壓縮時(shí)的強(qiáng)度極限遠(yuǎn)大于拉伸時(shí)的強(qiáng)度極限67第67頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1、超靜定問(wèn)題：

單憑靜平衡方程不能確定出全部未知力（外力、內(nèi)力、應(yīng)力）的問(wèn)題。一、超靜定問(wèn)題及其處理方法拉壓2、超靜定的處理方法：平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物理方程相結(jié)合，進(jìn)行求解。§7-8簡(jiǎn)單的拉壓超靜定問(wèn)題68第68頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三平衡方程；

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；

物理方程——彈性定律；

補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；

解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。拉壓3、超靜定問(wèn)題的方法步驟：69第69頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例題設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長(zhǎng)為：L1=L2、

L3=L

；各桿面積為A1=A2=A、A3

；各桿彈性模量為：E1=E2=E、E3。外力沿鉛垂方向，求各桿的內(nèi)力。拉壓CPABD123解：、平衡方程:PAN1N3N270第70頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：物理方程——彈性定律：補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得。解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組，得:拉壓CABD123A171第71頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例題木制短柱的四角用四個(gè)40404的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應(yīng)力分別為[]1=160MPa和[]2=12MPa，彈性模量分別為E1=200GPa

和

E2=10GPa；求許可載荷P。幾何方程物理方程及補(bǔ)充方程：解：平衡方程:拉壓PPy4N1N272第72頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三PPy4N1N2拉壓解平衡方程和補(bǔ)充方程，得:求結(jié)構(gòu)的許可載荷：

方法1:角鋼面積由型鋼表查得:

A1=3.086cm273第73頁(yè)，共81頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所以在△1=△2的前提下，角鋼將先達(dá)到極限狀態(tài)，

即角鋼決定最大載荷。求結(jié)構(gòu)的許可載荷：另外：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？

若將木的面積變?yōu)?5mm，又怎樣？結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠(yuǎn)由鋼控制著。拉壓方法2: