上海市北蔡高中2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖象上，有且只有三個(gè)不同的點(diǎn)，它們關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)落在直線上，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．2．若當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最大值,則()A． B． C． D．3．設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（）A． B． C． D．4．設(shè)全集U＝R，集合，，則集合()A． B．C． D．5．函數(shù)在處的切線與直線:垂直，則（）A．3 B．3 C． D．6．觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數(shù)滿足，記為的導(dǎo)函數(shù)，則=A． B． C． D．7．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的值為（）A． B． C．或 D．8．函數(shù)是周期為4的偶函數(shù),當(dāng)時(shí)，,則不等式在上的解集是()A． B． C． D．9．已知變量x，y之間的一組數(shù)據(jù)如表：由散點(diǎn)圖可知變量x，y具有線性相關(guān)，則y與x的回歸直線必經(jīng)過點(diǎn)（）A．（2，2.5） B．（3，3） C．（4，3.5） D．（6，4.8）10．已知函數(shù)，若在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．11．在平面直角坐標(biāo)系中，由坐標(biāo)軸和曲線所圍成的圖形的面積為（）A． B． C． D．12．已知是以為周期的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，那么在區(qū)間內(nèi)，關(guān)于的方程（且）有個(gè)不同的根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已和冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則__________．14．展開二項(xiàng)式，其常數(shù)項(xiàng)為_________.15．已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_____．16．如圖，設(shè)是棱長為的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，過從此頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，對(duì)正方體的所有頂點(diǎn)都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個(gè)多面體，則關(guān)于此多面體有以下結(jié)論：①有個(gè)頂點(diǎn)；②有條棱；③有個(gè)面；④表面積為；⑤體積為．其中正確的結(jié)論是____________．（要求填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求證：.18．（12分）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求的最大整數(shù)值．19．（12分）已知函數(shù)，其中a為實(shí)數(shù).（1）根據(jù)a的不同取值，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并說明理由；（2）若，判斷函數(shù)f(x)在[1,2]上的單調(diào)性，并說明理由.20．（12分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在時(shí)恒成立，求的取值范圍。21．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，(0，)，求的值；（2）若＝，＝，(0，)，求的值．22．（10分）已知函數(shù)的圖象過點(diǎn).(1)求的解析式及單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

可先求關(guān)于的對(duì)稱直線，聯(lián)立對(duì)稱直線和可得關(guān)于x的函數(shù)方程，采用分離參數(shù)法以及數(shù)形結(jié)合的方式進(jìn)行求解即可【詳解】設(shè)直線關(guān)于的對(duì)稱函數(shù)為，則，因?yàn)榕c有三個(gè)不同交點(diǎn)，聯(lián)立，可得，當(dāng)時(shí)顯然為一解，當(dāng)時(shí)，有，畫出的圖像，可知滿足與有兩交點(diǎn)需滿足綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是答案選D【點(diǎn)睛】本題考察了直線關(guān)于對(duì)稱直線的求法，函數(shù)零點(diǎn)中分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合、分類討論等基本知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化能力要求較高，特別是分離參數(shù)與數(shù)形結(jié)合求零點(diǎn)問題，是考察重點(diǎn)2、B【解析】

函數(shù)解析式提取5變形后,利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】，其中,當(dāng)，即時(shí)，取得最大值5,，則，故選B.【點(diǎn)睛】此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式、輔助角公式的應(yīng)用，以及正弦函數(shù)最值，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.3、A【解析】

討論和兩種情況，分別解不等式得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故，即；當(dāng)時(shí)，，解得，即.綜上所述：.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)不等式，分類討論是常用的數(shù)學(xué)技巧，需要熟練掌握.4、A【解析】

求出，然后求解即可.【詳解】全集，集合，則集合，所以，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算，屬于簡單題目.5、A【解析】

先利用求導(dǎo)運(yùn)算得切線的斜率，再由互相垂直的兩直線的關(guān)系，求得的值?！驹斀狻亢瘮?shù)在（1，0）處的切線的斜率是，所以，與此切線垂直的直線的斜率是故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了求導(dǎo)的運(yùn)算法則和互相垂直的直線的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解析】由歸納推理可知偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，則是奇函數(shù)，所以，應(yīng)選答案D．7、B【解析】分析：根據(jù)分段函數(shù)分成兩個(gè)方程組求解，最后求兩者并集.詳解：因?yàn)?，所以所以選B.點(diǎn)睛：求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.8、C【解析】若，則此時(shí)是偶函數(shù)，即若，則∵函數(shù)的周期是4，

即，作出函數(shù)在上圖象如圖，

若，則不等式等價(jià)為，此時(shí)

若，則不等式等價(jià)為，此時(shí)，

綜上不等式在上的解集為故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性和周期性求出對(duì)應(yīng)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．9、C【解析】

計(jì)算出，結(jié)合回歸直線方程經(jīng)過樣本中心點(diǎn)，得出正確選項(xiàng).【詳解】本題主要考查線性回歸方程的特征，回歸直線經(jīng)過樣本中心點(diǎn).，故選C【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線方程過樣本中心點(diǎn)，考查平均數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

首先判斷函數(shù)單調(diào)性為增.,將函數(shù)不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為普通的不等式,再把不等式轉(zhuǎn)換為兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系,利用圖像得到答案.【詳解】在定義域上單調(diào)遞增，，則由，得，，則當(dāng)時(shí)，存在的圖象在的圖象上方.，，則需滿足.選D.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,解不等式,將不等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖像關(guān)系等知識(shí),其中當(dāng)函數(shù)單調(diào)遞增時(shí),是解題的關(guān)鍵.11、C【解析】

根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，求出積分值即可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的求法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于基礎(chǔ)題．12、B【解析】

由已知，函數(shù)在區(qū)間的圖象如圖所示，直線y（且）表示過定點(diǎn)的直線，為使關(guān)于的方程（且）有個(gè)不同的根，即直線與函數(shù)的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn).結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線介于直線和直線之間時(shí)，符合條件，故選.考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性、周期性，函數(shù)與方程，直線的斜率，直線方程.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由冪函數(shù)的定義和解析式求出的值，把已知點(diǎn)代入求出的值，可得答案．【詳解】解：∵是冪函數(shù)，∴，

所以冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，

∴，則，

則，

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的定義與解析式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14、【解析】

利用二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)為零，求出參數(shù)的值，再代入通項(xiàng)可得出二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng).【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，得.所以，二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式中常數(shù)項(xiàng)的計(jì)算，解題時(shí)要充分利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)，利用的指數(shù)來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

先求得的零點(diǎn)，由此判斷出方程恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，結(jié)合圖像求得的取值范圍.【詳解】有兩個(gè)零點(diǎn)，畫出圖像如下圖所示，依題意恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則方程恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，由圖可知，故的取值范圍為．故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)圖像以及方程零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.16、①②⑤【解析】解：如圖，原來的六個(gè)面還在只不過是變成了一個(gè)小正方形，再添了八個(gè)頂點(diǎn)各對(duì)應(yīng)的一個(gè)三角形的面，所以總計(jì)6+8=14個(gè)面，故③錯(cuò)；每個(gè)正方形4條邊，每個(gè)三角形3條邊，4×6+3×8=48，考慮到每條邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)面，所以實(shí)際只有×48=24條棱．②正確；所有的頂點(diǎn)都出現(xiàn)在原來正方體的棱的中點(diǎn)位置，原來的棱的數(shù)目是1，所以現(xiàn)在的頂點(diǎn)的數(shù)目是1．或者從圖片上可以看出每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)4條棱，每條棱很明顯對(duì)應(yīng)兩個(gè)頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)數(shù)是棱數(shù)的一半即1個(gè)．①正確；三角形和四邊形的邊長都是a，所以正方形總面積為6××a2=3a2，三角形總面積為8××a2sin60°=a2，表面積（3+）a2，故④錯(cuò)；體積為原正方形體積減去8個(gè)三棱錐體積，每個(gè)三棱錐體積為8×（）3=a2，剩余總體積為a3-a3=a3⑤正確．故答案為①②⑤．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析.【解析】分析：直接利用組合數(shù)的公式計(jì)算證明.====.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查組合數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的掌握水平和基本的運(yùn)算能力.(2)組合數(shù)公式：===(∈，，且)這里兩個(gè)公式前者多用于數(shù)字計(jì)算，后者多用于證明恒等式及合并組合數(shù)簡化計(jì)算18、(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)2.【解析】分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，分類討論，確定和時(shí)函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為時(shí)，條件下求參數(shù)問題.由（1）可知：①當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，且，即成立；②時(shí)，即，分析情況同①；③時(shí)，即，，構(gòu)造關(guān)于的新函數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)零點(diǎn)位置，而；綜上得的最大整數(shù)值為.詳解：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，令，得，令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，滿足題意.由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.若，即，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，滿足題意.若，即，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.即令，，在上單調(diào)遞減，又，，在上存在唯一零點(diǎn)，綜上所述，的取值范圍為，故的最大整數(shù)值為.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析含參函數(shù)單調(diào)性，應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求恒成立問題的參數(shù)，考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想和構(gòu)造函數(shù)法，是一道綜合題.導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)的含參函數(shù)的單調(diào)性分類討論步驟：（1）求定義域.（2）討論導(dǎo)數(shù)的最高項(xiàng)系數(shù)，若最高項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)則需分等于零和不等于零進(jìn)行討論；若最高項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)則此步略.（3），再結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)單調(diào)性;（4），即有兩個(gè)零點(diǎn)和，討論兩個(gè)零點(diǎn)的大小及其與函數(shù)定義域的關(guān)系，再結(jié)合二次項(xiàng)系數(shù)分解出各單調(diào)區(qū)間，明確單調(diào)性.（5）將分類討論的情況進(jìn)行總結(jié).19、（1）時(shí)奇函數(shù)，時(shí)非奇非偶函數(shù)；（2）單調(diào)遞增，證明見解析.【解析】

（1）討論兩種情況，分別利用奇偶性的定義判斷即可；（2）設(shè)，再作差，通分合并，最后根據(jù)自變量范圍確定各因子符號(hào)，得差的符號(hào)，結(jié)合單調(diào)性定義作出判斷即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，顯然是奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，，且，所以此時(shí)是非奇非偶函數(shù).（2）設(shè)，則因?yàn)?，所以，，，所以，，所以，所以，即，故函?shù)在上單調(diào)遞增.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性以及函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.利用定義法判斷函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟是：（1）在已知區(qū)間上任??；（2）作差；（3）判斷的符號(hào)（往往先分解因式，再判斷各因式的符號(hào)），可得在已知區(qū)間上是增函數(shù)，可得在已知區(qū)間上是減函數(shù)20、（1）（2）【解析】

（1）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，，利用直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解其切線的方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，求得函數(shù)，進(jìn)而由，即可求解的取值范圍?！驹斀狻浚?）由題意，函數(shù)，則，可得，又，所以函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為。（2）因?yàn)椋?，解得，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，若，在恒成立，即恒成立，所以，所以的取值范圍是?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的恒成立問題，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及準(zhǔn)確利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。21、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)得，根據(jù)的范圍即可求得結(jié)果；（2）利用已知函數(shù)值和可得：，利用同角三角函數(shù)可求得；利用二倍角公式求得和，將整理為，利用兩角和差余弦公式求得結(jié)果.【詳解】（1）為奇函數(shù)又當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，滿足題意（2），又；【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇偶性求解函數(shù)解析式、三角恒等變換和同角三角函數(shù)的求解，涉及到二倍角、兩角和差余弦公式的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠通過配湊的方式，將所求函數(shù)值轉(zhuǎn)化為兩角和差的形式.22