2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市錫山區(qū)錫北片九年級(jí)(上)期中數(shù)學(xué)試卷(解析版)

2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市錫山區(qū)錫北片九年級(jí)第一學(xué)期期中

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定位置填寫本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名等信息．考

生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、

姓名是否一致．

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．非選擇題答案用0.5毫米黑色墨水簽字

筆在答題卡上相應(yīng)位置書寫作答，在試題卷上答題無效．

3．作圖可先使用2B鉛筆畫出，確定后必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆描黑．

一．選擇題（共10小題）.

1．下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）

A．a(chǎn)x2+bx+c＝0B．x2+2y+1＝0

C．x2﹣6＝（x+3）2D．x2﹣1＝0

2．若⊙O的半徑為5，圓心的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，3），則點(diǎn)P與⊙O

位置關(guān)系（）

A．點(diǎn)P在⊙O外B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)C．點(diǎn)P在⊙O上D．無法確定

3．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A．k＜1B．k＜﹣1C．k＞1D．k＞﹣1

4．小兵身高1.4m，他的影長是2.1m，若此時(shí)學(xué)校旗桿的影長是12m，那么旗桿的高度（）

A．4.5mB．6mC．7.2mD．8m

5．如圖，已知在△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，連接CP，以下條件中不能判定△ACP∽△ABC

的是（）

A．∠ACP＝∠BB．∠APC＝∠ACBC．D．

6．如圖，AB是⊙O的直徑，若∠BAC＝36°，則∠ADC的度數(shù)為（）

A．36°B．45°C．54°D．72°

7．某紀(jì)念品原價(jià)150元，連續(xù)兩次漲價(jià)a%后售價(jià)為216元．下列所列方程中正確的是（）

A．150（1+2a%）＝216

B．150（1+a%）×2＝216

C．150（1+a%）2＝216

D．150（1+a%）+150（1+a%）2＝216

8．如圖，△ABC中，AB＝BC，AC＝16，點(diǎn)F是△ABC的重心（即點(diǎn)F是△ABC的兩條中

線AD、BE的交點(diǎn)），BF＝12，則DF的值為（）

A．4.8B．6C．10D．5

9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)O，點(diǎn)C在y軸上，

AC交x軸于點(diǎn)D，CD：AD＝4：3，若反比例函數(shù)y＝經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，則k的值為（）

A．3B．﹣4C．﹣3D．4

10．如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12，AC＝4，D為OB中點(diǎn)，E為AB上一動(dòng)

點(diǎn)，則DE+CE的最小值為（）

A．B．C．18D．

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分。不需要寫出解答過程，只需把答案

直接填寫在答題卡相應(yīng)的位置）

11．已知，則＝．

12．在比例尺為1：30000的地圖上，量得A、B兩地的圖上距離AB＝5cm，則A、B兩地

的實(shí)際距離為km．

13．若圓錐的底面半徑為3cm，母線長為4cm，則圓錐的側(cè)面積為cm2．（結(jié)果保

留π）

14．如圖，為了美化校園，學(xué)校在一塊靠墻角的空地上建造了一個(gè)扇形花圃，扇形的圓心角

∠AOB＝120°，半徑為9m，則扇形的弧長是m．

15．方程x2﹣9x+18＝0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)等腰三角形的周長

為．

16．下列說法：（1）兩條弦相等，它們所對(duì)的弧也相等；（2）等弧所對(duì)的圓心角相等；（3）

平分弦的直徑，也平分這條弦所對(duì)的兩條弧；（4）內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，其

中正確的序號(hào)是．

17．如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O

上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路

徑長為．

18．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若BE＝，∠

EAF＝45°，則AF＝．

三、解答題（本大題共10小題，共96分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟）

19．（16分）解方程：

（1）（x﹣2）2﹣9＝0；

（2）3x2﹣2x﹣1＝0；

（3）x2﹣2x﹣6＝0（配方法）；

（4）x（x﹣3）+x﹣3＝0．

20．已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．

（1）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及該方程的另一根；

（2）求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的小正方形，點(diǎn)A、B、

C都是格點(diǎn)（每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．

（1）△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是；

（2）△ABC外接圓的半徑是；

（3）已知△ABC與△DEF（點(diǎn)D、E、F都是格點(diǎn)）成位似圖形，則位似中心M的坐標(biāo)

是；

（）請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中的空白處畫一個(gè)格點(diǎn)△，使△∽△，且相似比為：

4A1B1C1A1B1C1ABC

1．

22．如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交

AD的延長線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N．

（1）求證：△ABM∽△EFA；

（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的長．

23．如圖，點(diǎn)M，N在以AB為直徑的⊙O上，，弦MN交AB于點(diǎn)C，BM平分∠

ABD，直線EF過點(diǎn)M，且EF⊥BD，垂足為F．

（1）求證：EF是⊙O的切線

（2）若CM＝5，CN＝6，求BN的長．

24．如圖，燈桿AB與墻MN的距離為18米，小麗在離燈桿（底部）9米的D處測得其影

長DF為3m，設(shè)小麗身高為1.6m．

（1）求燈桿AB的高度；

（2）小麗再向墻走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此時(shí)的影長；若不能，

求落在墻上的影長．

25．某工廠有甲、乙兩個(gè)車間，甲車間生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)B產(chǎn)品，去年兩個(gè)車間生

產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同且全部售出．已知A產(chǎn)品的銷售單價(jià)比B產(chǎn)品的銷售單價(jià)高100元，1

件A產(chǎn)品與1件B產(chǎn)品售價(jià)和為500元．

（1）A、B兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別是多少元？

（2）隨著5G時(shí)代的到來，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)入了快速發(fā)展時(shí)期．今年，該工廠計(jì)劃依托工

業(yè)互聯(lián)網(wǎng)將乙車間改造為專供用戶定制B產(chǎn)品的生產(chǎn)車間．預(yù)計(jì)A產(chǎn)品在售價(jià)不變的情

況下產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加a%；B產(chǎn)品產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上減少a%，但B產(chǎn)品

的銷售單價(jià)將提高3a%．則今年A、B兩種產(chǎn)品全部售出后總銷售額將在去年的基礎(chǔ)上

增加a%．求a的值．

26．在一次趣味數(shù)學(xué)的社團(tuán)活動(dòng)中，有這樣的一道數(shù)學(xué)探究性問題．

（1）問題情境：如圖1，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝6，則△ABC的外接圓的半徑

為；

（2）操作實(shí)踐：如圖2，用無刻度直尺與圓規(guī)在矩形ABCD的內(nèi)部作出一點(diǎn)P，使得∠

BPC＝∠BEC，且PB＝PC（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（3）遷移應(yīng)用：已知，在△ABC中，∠A＞∠B，∠C＝60°，AB＝4，求BC的取值范

圍．

27．如圖①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．動(dòng)點(diǎn)P以6cm/s的速度在矩形ABCD的邊上沿

A→D的方向勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在矩形ABCD的邊上沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)．P、Q

兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q立即停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），△

PDQ的面積為S（cm2），S與t的函數(shù)圖象如圖②所示．

（1）AB＝cm，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為cm/s；

（2）在點(diǎn)P、Q出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)O也從CD的中點(diǎn)出發(fā)，以4cm/s的速度沿CD的垂直

平分線向左勻速運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)O為圓心的⊙O始終與邊AD、BC相切，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)D

時(shí)，運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止．

①當(dāng)點(diǎn)O在QD上時(shí)，求t的值；

②當(dāng)PQ與⊙O有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍．

28．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，0），點(diǎn)B在直線l：y＝x上，過點(diǎn)

B作AB的垂線，過原點(diǎn)O作直線l的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C．

（1）如圖，點(diǎn)B，C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與AO相交于點(diǎn)D．

①若BA＝BO，求證：CD＝CO．

②若∠CBO＝45°，求四邊形ABOC的面積．

（2）是否存在點(diǎn)B，使得以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似？若存在，求OB

的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案

一．選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共計(jì)30分）

1．下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的是（）

A．a(chǎn)x2+bx+c＝0B．x2+2y+1＝0

C．x2﹣6＝（x+3）2D．x2﹣1＝0

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義（含有一個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)

是2的整式方程叫一元二次方程）進(jìn)行判斷即可．

解：A．當(dāng)a＝0時(shí)，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

B．x2+2y+1＝0是二元二次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

C．x2﹣6＝（x+3）2，整理后化為：6x+15＝0，是一元一次方程，故此選項(xiàng)不符合題意；

D．x2﹣1＝0是一元二次方程，故此選項(xiàng)符合題意．

故選：D．

2．若⊙O的半徑為5，圓心的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，3），則點(diǎn)P與⊙O

位置關(guān)系（）

A．點(diǎn)P在⊙O外B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi)C．點(diǎn)P在⊙O上D．無法確定

【分析】先利用勾股定理計(jì)算出點(diǎn)P到圓心的距離，然后根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定

方法判斷點(diǎn)P與⊙O位置關(guān)系．

解：∵圓心的坐標(biāo)為（0，0），點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣4，3），

∴點(diǎn)P到圓心的距離＝＝5，

而⊙O的半徑為5，

∴點(diǎn)P在⊙O上．

故選：C．

3．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（）

A．k＜1B．k＜﹣1C．k＞1D．k＞﹣1

【分析】根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣k）＞0，然后解不等式即可．

解：根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣k）＞0，

解得k＞﹣1．

故選：D．

4．小兵身高1.4m，他的影長是2.1m，若此時(shí)學(xué)校旗桿的影長是12m，那么旗桿的高度（）

A．4.5mB．6mC．7.2mD．8m

【分析】由于光線是平行的，影長都在地面上，那么可得身高與影長構(gòu)成的三角形和旗

桿和影長構(gòu)成的三角形相似，利用對(duì)應(yīng)邊成比例可得旗桿的高度．

解：設(shè)旗桿的高度為xm，

根據(jù)題意得：，

解得：x＝8，

即旗桿的高度為8m，

故選：D．

5．如圖，已知在△ABC中，P為AB上一點(diǎn)，連接CP，以下條件中不能判定△ACP∽△ABC

的是（）

A．∠ACP＝∠BB．∠APC＝∠ACBC．D．

【分析】A、加一公共角，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以得結(jié)論；

B、加一公共角，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可以得結(jié)論；

C、其夾角不相等，所以不能判定相似；

D、其夾角是公共角，根據(jù)兩邊的比相等，且夾角相等，兩三角形相似．

解：A、∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B，

∴△ACP∽△ABC，

所以此選項(xiàng)的條件可以判定△ACP∽△ABC；

B、∵∠A＝∠A，∠APC＝∠ACB，

∴△ACP∽△ABC，

所以此選項(xiàng)的條件可以判定△ACP∽△ABC；

C、∵，

當(dāng)∠ACP＝∠B時(shí)，△ACP∽△ABC，

所以此選項(xiàng)的條件不能判定△ACP∽△ABC；

D、∵，

又∠A＝∠A，

∴△ACP∽△ABC，

所以此選項(xiàng)的條件可以判定△ACP∽△ABC，

本題選擇不能判定△ACP∽△ABC的條件，

故選：C．

6．如圖，AB是⊙O的直徑，若∠BAC＝36°，則∠ADC的度數(shù)為（）

A．36°B．45°C．54°D．72°

【分析】如圖，連接BC．求出∠ABC即可解決問題．

解：如圖，連接BC．

∵AB是直徑，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝54°，

∴∠ADC＝∠ABC＝54°，

故選：C．

7．某紀(jì)念品原價(jià)150元，連續(xù)兩次漲價(jià)a%后售價(jià)為216元．下列所列方程中正確的是（）

A．150（1+2a%）＝216

B．150（1+a%）×2＝216

C．150（1+a%）2＝216

D．150（1+a%）+150（1+a%）2＝216

【分析】根據(jù)該紀(jì)念品的原價(jià)及經(jīng)過兩次漲價(jià)后的價(jià)格，即可得出關(guān)于a的一元二次方

程，此題得解．

解：依題意，得：150（1+a%）2＝216．

故選：C．

8．如圖，△ABC中，AB＝BC，AC＝16，點(diǎn)F是△ABC的重心（即點(diǎn)F是△ABC的兩條中

線AD、BE的交點(diǎn)），BF＝12，則DF的值為（）

A．4.8B．6C．10D．5

【分析】根據(jù)三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的一半求出EF，再根據(jù)

等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出AE，BE⊥AC，然后利用利用勾股定理列式求出AF，再

次利用三角形的重心到頂點(diǎn)的距離等于到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的一半求解即可．

解：∵點(diǎn)F是△ABC的重心，

∴EF＝BF＝×12＝6，

∵AB＝BC，BE是中線，

∴AE＝AC＝×16＝8，BE⊥AC，

在Rt△AEF中，由勾股定理得，AF＝＝＝10，

∴DF＝AF＝5．

故選：D．

9．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，直線AB經(jīng)過原點(diǎn)O，點(diǎn)C在y軸上，

AC交x軸于點(diǎn)D，CD：AD＝4：3，若反比例函數(shù)y＝經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，則k的值為（）

A．3B．﹣4C．﹣3D．4

【分析】過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，可得△COD∽△AED，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例可知CO

＝4，進(jìn)而可得A的坐標(biāo)，代入即可得k．

解：過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵∠ODC＝∠EDA，∠COD＝∠AED＝90°，

∴△COD∽△AED，

∴＝＝，

∵A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴OA＝OB，

∵△ABC為直角三角形，

∴CO＝AB＝×8＝4，

∴AE＝3，

∴OE＝＝＝，

∴A（，﹣3），

把A的坐標(biāo)代入y＝可得k＝﹣3．

故選：C．

10．如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝12，AC＝4，D為OB中點(diǎn)，E為AB上一動(dòng)

點(diǎn)，則DE+CE的最小值為（）

A．B．C．18D．

【分析】可以延長OA至點(diǎn)F，使OF＝OA＝18，證明△FOE∽△EOC，當(dāng)FE與ED

共線時(shí)，DE+CE最小，且最小值為FD的長，根據(jù)勾股定理即可求得FD的長．

解：如圖，

延長OA至點(diǎn)F，使OF＝OA＝18，

則＝＝，∠FOE＝∠EOC

∴△FOE∽△EOC，

∴FE＝CE

當(dāng)FE與ED共線時(shí)，DE+CE最小，且最小值為FD的長，

FD＝＝＝．

∴DE+CE的最小值為6．

故選：A．

二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分。不需要寫出解答過程，只需把答案

直接填寫在答題卡相應(yīng)的位置）

11．已知，則＝﹣．

【分析】根據(jù)合分比定理[如果a：b＝c：d那么（a+b）：（a﹣b）＝（c+d）：（c﹣d））

（b、d、a﹣b、c﹣d≠0）]來解答即可．

解：由已知，得

，

即＝﹣．

12．在比例尺為1：30000的地圖上，量得A、B兩地的圖上距離AB＝5cm，則A、B兩地

的實(shí)際距離為1.5km．

【分析】設(shè)A、B兩地的實(shí)際距離為x厘米，根據(jù)比例尺的定義得到，然后利

用比例性質(zhì)計(jì)算出x，再把單位化為千米即可．

解：設(shè)A、B兩地的實(shí)際距離為x厘米，

根據(jù)題意得，

解得x＝150000，

150000cm＝1.5km．

故答案為1.5．

13．若圓錐的底面半徑為3cm，母線長為4cm，則圓錐的側(cè)面積為12πcm2．（結(jié)果保留

π）

【分析】圓錐的側(cè)面積＝底面周長×母線長÷2．

解：底面圓的半徑為3，則底面周長＝6π，側(cè)面面積＝×6π×4＝12πcm2．

故答案為：12π．

14．如圖，為了美化校園，學(xué)校在一塊靠墻角的空地上建造了一個(gè)扇形花圃，扇形的圓心角

∠AOB＝120°，半徑為9m，則扇形的弧長是6πm．

【分析】直接利用弧長公式求解即可．

解：l＝＝6π，

故答案為：6π．

15．方程x2﹣9x+18＝0的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)等腰三角形的周長為15．

【分析】求出方程的解，分為兩種情況：①當(dāng)?shù)妊切蔚娜吺?，3，6時(shí)，②當(dāng)?shù)?/p>

腰三角形的三邊是3，6，6時(shí)，看看是否符合三角形的三邊關(guān)系定理，若符合求出即可．

解：x2﹣9x+18＝0，

∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，

∴x﹣3＝0，x﹣6＝0，

∴＝，＝，

x13x26

當(dāng)?shù)妊切蔚娜吺?，3，6時(shí)，3+3＝6，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，

∴此時(shí)不能組成三角形，

當(dāng)?shù)妊切蔚娜吺?，6，6時(shí)，此時(shí)符合三角形的三邊關(guān)系定理，周長是3+6+6＝

15，

故答案為：15．

16．下列說法：（1）兩條弦相等，它們所對(duì)的弧也相等；（2）等弧所對(duì)的圓心角相等；（3）

平分弦的直徑，也平分這條弦所對(duì)的兩條弧；（4）內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，其

中正確的序號(hào)是（2）（4）．

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)（1）（2）進(jìn)行判斷；根據(jù)垂徑定理的推論對(duì)（3）

進(jìn)行判斷；根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)對(duì)（4）進(jìn)行判斷．

解：在同圓或等圓中，兩條弦相等，它們所對(duì)的弧對(duì)應(yīng)相等，所以（1）錯(cuò)誤；

等弧所對(duì)的圓心角相等，所以（2）正確；

平分弦（非直徑）的直徑，也平分這條弦所對(duì)的兩條弧，所以（3）錯(cuò)誤；

內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等，所以（4）正確．

故答案為：（2）（4）．

17．如圖，半徑為4的⊙O中，CD為直徑，弦AB⊥CD且過半徑OD的中點(diǎn)，點(diǎn)E為⊙O

上一動(dòng)點(diǎn)，CF⊥AE于點(diǎn)F．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路

徑長為．

【分析】由∠AFC＝90°，得點(diǎn)F在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，此

時(shí)點(diǎn)F與G重合，當(dāng)點(diǎn)E與D重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與A重合，則點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針

運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為的長，然后根據(jù)條件求出所在圓的半徑和

圓心角，從而解決問題．

解：∵CF⊥AE，

∴∠AFC＝90°，

∴點(diǎn)F在以AC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

以AC為直徑畫半圓AC，連接OA，

當(dāng)點(diǎn)E與B重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與G重合，

當(dāng)點(diǎn)E與D重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)F與A重合，

∴點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)順時(shí)針運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)F所經(jīng)過的路徑長為的長，

∵點(diǎn)G為OD的中點(diǎn)，

∴OG＝OD＝OA＝2，

∵OG⊥AB，

∴∠AOG＝60°，AG＝2，

∵OA＝OC，

∴∠ACG＝30°，

∴AC＝2AG＝4，

∴所在圓的半徑為2，圓心角為60°，

∴的長為，

故答案為：．

18．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，若BE＝，∠

EAF＝45°，則AF＝．

【分析】取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND＝DF，設(shè)DF＝DN＝x，則NF＝x，

再利用矩形的性質(zhì)和已知條件證明△AME∽△FNA，利用相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的

比值相等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長．

解：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，在AD上截取ND＝DF，設(shè)DF＝DN＝x，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠D＝∠BAD＝∠B＝90°，AD＝BC＝6，

∴NF＝x，AN＝6﹣x，

∵AB＝3，

∴AM＝BM＝，

∵BE＝，

∴，

∵∠EAF＝45°，

∴∠MAE+∠NAF＝45°，

∵∠MAE+∠AEM＝45°，

∴∠MEA＝∠NAF，

∴△AME∽△FNA，

∴．

解得，x＝2．

∴AF＝＝＝2．

故答案為：2．

三、解答題（本大題共10小題，共96分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟）

19．（16分）解方程：

（1）（x﹣2）2﹣9＝0；

（2）3x2﹣2x﹣1＝0；

（3）x2﹣2x﹣6＝0（配方法）；

（4）x（x﹣3）+x﹣3＝0．

【分析】（1）利用直接開平方法求解即可；

（2）利用十字相乘法將方程的左邊因式分解后求解可得；

（3）將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，

再開方即可得；

（4）利用提公因式法將方程的左邊因式分解后求解可得．

解：（1）∵（x﹣2）2﹣9＝0，

∴（x﹣2）2＝9，

則x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，

解得＝，＝﹣；

x15x21

（2）∵3x2﹣2x﹣1＝0，

∴（x﹣1）（3x+1）＝0，

則x﹣1＝0或3x+1＝0，

解得＝，＝﹣；

x11x2

（3）∵x2﹣2x﹣6＝0，

∴x2﹣2x＝6，

則x2﹣2x+1＝6+1，即（x﹣1）2＝7，

∴x﹣1＝±，

∴＝，＝﹣；

x11+x21

（4）∵x（x﹣3）+x﹣3＝0，

∴（x﹣3）（x+1）＝0，

則x﹣3＝0或x+1＝0，

解得＝，＝﹣．

x13x21

20．已知關(guān)于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．

（1）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及該方程的另一根；

（2）求證：不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

【分析】（1）設(shè)方程的另一個(gè)根為x，則由根與系數(shù)的關(guān)系得：x+1＝﹣a，x?1＝a﹣2，

求出即可；

（2）寫出根的判別式，配方后得到完全平方式，進(jìn)行解答．

解：（1）設(shè)方程的另一個(gè)根為x，

則由根與系數(shù)的關(guān)系得：x+1＝﹣a，x?1＝a﹣2，

解得：x＝﹣，a＝，

即a＝，方程的另一個(gè)根為﹣；

（2）∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝a2﹣4a+4+4＝（a﹣2）2+4＞0，

∴不論a取何實(shí)數(shù)，該方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

21．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的小正方形，點(diǎn)A、B、

C都是格點(diǎn)（每個(gè)小方格的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)），其中A（1，8），B（3，8），C（4，7）．

（1）△ABC外接圓的圓心坐標(biāo)是（2，6）；

（2）△ABC外接圓的半徑是；

（3）已知△ABC與△DEF（點(diǎn)D、E、F都是格點(diǎn)）成位似圖形，則位似中心M的坐標(biāo)

是（3，6）；

（）請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格圖中的空白處畫一個(gè)格點(diǎn)△，使△∽△，且相似比為：

4A1B1C1A1B1C1ABC

1．

【分析】（1）如圖1中，作線段AB，BC的垂直平分線交于點(diǎn)O′，點(diǎn)O′即為△ABC

的外接圓的圓心；

（2）利用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可；

（3）如圖2中，由△ABC∽△DEF，推出點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)E，點(diǎn)C與點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)

點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接的交點(diǎn)即為位似中心，如圖點(diǎn)M即為所求；

（）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出△的三邊即可解決問題；

4A1B1C1

解：（1）如圖1中，作線段AB，BC的垂直平分線交于點(diǎn)O′，點(diǎn)O′即為△ABC的外

接圓的圓心，O′（2，6）．

故答案為（2，6）．

（2）連接CO′．CO′＝＝，

∴△ABC外接圓的半徑是．

故答案為．

（3）如圖2中，∵△ABC∽△DEF，

∴點(diǎn)A與點(diǎn)D，點(diǎn)B與點(diǎn)E，點(diǎn)C與點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接的交點(diǎn)即為位似中心，

如圖點(diǎn)M即為所求．

觀察圖象可知M（3，6）

故答案為（3，6）．

（）如圖，△即為所求；

4A1B1C1

22．如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AM的中點(diǎn)，EF⊥AM，垂足為F，交

AD的延長線于點(diǎn)E，交DC于點(diǎn)N．

（1）求證：△ABM∽△EFA；

（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的長．

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，得出∠AMB＝∠EAF，

再由∠B＝∠AFE，即可得出結(jié)論；

（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由△ABM∽△EFA得出比例式，求出AE，即可得

出DE的長．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，

∴∠AMB＝∠EAF，

又∵EF⊥AM，

∴∠AFE＝90°，

∴∠B＝∠AFE，

∴△ABM∽△EFA；

（2）解：∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，

∴AM＝＝13，AD＝12，

∵F是AM的中點(diǎn)，

∴AF＝AM＝6.5，

∵△ABM∽△EFA，

∴，

即，

∴AE＝16.9，

∴DE＝AE﹣AD＝4.9．

23．如圖，點(diǎn)M，N在以AB為直徑的⊙O上，，弦MN交AB于點(diǎn)C，BM平分∠

ABD，直線EF過點(diǎn)M，且EF⊥BD，垂足為F．

（1）求證：EF是⊙O的切線

（2）若CM＝5，CN＝6，求BN的長．

【分析】（1）連接OM，根據(jù)垂直定義及角平分線定義得∠OMB＝∠MBF．然后再根據(jù)

平行線的性質(zhì)可得∠OME＝∠BFM＝90°，最后由切線的判定方法可得結(jié)論；

（2）根據(jù)圓的性質(zhì)得∠ABN＝∠BMN．然后由相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案．

【解答】證明：（1）連接OM，

∵M(jìn)F⊥BD，

∴∠BFM＝90°．

∵OM＝OB，

∴∠OMB＝∠OBM．

∵BM平分∠ABD，

∴∠OBM＝∠MBF．

∴∠OMB＝∠MBF．

∴OM∥BF．

∴∠OME＝∠BFM＝90°．

∴MF是⊙O的切線．

（2）解：∵，

∴∠ABN＝∠BMN．

又∵∠N＝∠N，

∴△BCN∽△MBN．

∴．

∴．

∴BN＝．

24．如圖，燈桿AB與墻MN的距離為18米，小麗在離燈桿（底部）9米的D處測得其影

長DF為3m，設(shè)小麗身高為1.6m．

（1）求燈桿AB的高度；

（2）小麗再向墻走7米，她的影子能否完全落在地面上？若能，求此時(shí)的影長；若不能，

求落在墻上的影長．

【分析】（1）由∠AFB＝∠CFD、∠ABF＝∠CDF可得出△ABF∽△CDF，根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)可求出AB的長度，此題得解；

（2）將CD往墻移動(dòng)7米到C′D′，作射線AC′交MN于點(diǎn)P，延長AP交地面BN

于點(diǎn)Q，由∠AQB＝∠C′QD′、∠ABQ＝∠C′D′Q＝90°可得出△ABQ∽△C′D′

Q，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出D′Q的長度，進(jìn)而可求出BQ的長，由BQ的長大于

18米可得出小麗的影子不能完全落在地面上，同理可得出△PQN∽△AQB，再利用相似

三角形的性質(zhì)可求出PN的長度，此題得解．

解：（1）∵∠AFB＝∠CFD，∠ABF＝∠CDF，

∴△ABF∽△CDF，

∴＝，

∴AB＝?CD＝×1.6＝6.4．

∴燈桿AB的高度為6.4米．

（2）將CD往墻移動(dòng)7米到C′D′，作射線AC′交MN于點(diǎn)P，延長AP交地面BN

于點(diǎn)Q，如圖所示．

∵∠AQB＝∠C′QD′，∠ABQ＝∠C′D′Q＝90°，

∴△ABQ∽△C′D′Q，

∴＝，即＝，

∴D′Q＝，

BQ＝9+7+＝＞18，

∴小麗的影子不能完全落在地面上．

同理，可得出△PQN∽△AQB，

∴＝，即＝，

∴PN＝1．

∴小麗落在墻上的影長為1米．

25．某工廠有甲、乙兩個(gè)車間，甲車間生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)B產(chǎn)品，去年兩個(gè)車間生

產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量相同且全部售出．已知A產(chǎn)品的銷售單價(jià)比B產(chǎn)品的銷售單價(jià)高100元，1

件A產(chǎn)品與1件B產(chǎn)品售價(jià)和為500元．

（1）A、B兩種產(chǎn)品的銷售單價(jià)分別是多少元？

（2）隨著5G時(shí)代的到來，工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)進(jìn)入了快速發(fā)展時(shí)期．今年，該工廠計(jì)劃依托工

業(yè)互聯(lián)網(wǎng)將乙車間改造為專供用戶定制B產(chǎn)品的生產(chǎn)車間．預(yù)計(jì)A產(chǎn)品在售價(jià)不變的情

況下產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加a%；B產(chǎn)品產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上減少a%，但B產(chǎn)品

的銷售單價(jià)將提高3a%．則今年A、B兩種產(chǎn)品全部售出后總銷售額將在去年的基礎(chǔ)上

增加a%．求a的值．

【分析】（1）設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為（x+100）元，根據(jù)

1件A產(chǎn)品與1件B產(chǎn)品售價(jià)和為500元，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可

得出結(jié)論；

（2）設(shè)去年每個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，根據(jù)總銷售額＝銷售單價(jià)×銷售數(shù)量，即

可得出關(guān)于a的一元二次方程，利用換元法解方程即可得出結(jié)論．

解：（1）設(shè)B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為x元，則A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為（x+100）元，

依題意得：x+100+x＝500，

解得：x＝200，

∴x+100＝300．

答：A產(chǎn)品的銷售單價(jià)為300元，B產(chǎn)品的銷售單價(jià)為200元．

（2）設(shè)去年每個(gè)車間生產(chǎn)產(chǎn)品的數(shù)量為t件，

依題意得：300（1+a%）t+200（1+3a%）（1﹣a%）t＝500t（1+a%），

設(shè)a%＝m，則原方程可化簡為5m2﹣m＝0，

解得：＝，＝（不合題意，舍去），

m1m20

∴a＝20．

答：a的值為20．

26．在一次趣味數(shù)學(xué)的社團(tuán)活動(dòng)中，有這樣的一道數(shù)學(xué)探究性問題．

（1）問題情境：如圖1，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝6，則△ABC的外接圓的半徑

為6；

（2）操作實(shí)踐：如圖2，用無刻度直尺與圓規(guī)在矩形ABCD的內(nèi)部作出一點(diǎn)P，使得∠

BPC＝∠BEC，且PB＝PC（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（3）遷移應(yīng)用：已知，在△ABC中，∠A＞∠B，∠C＝60°，AB＝4，求BC的取值范

圍．

【分析】（1）連接OB、OC，根據(jù)圓周角定理及等邊三角形的性質(zhì)可得答案；

（2）作BC的垂直平分線，交BE于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OB為半徑畫圓，交垂直平分

線于點(diǎn)P，可得圖；

（3）作△ABC的外接圓，利用特殊直角三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)可得答案．

解：（1）連接OB、OC，

∵∠A＝30°，

∴∠BOC＝60°，

∵OB＝OC，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB＝OC＝BC＝6，

∴△ABC的外接圓的半徑為6．

故答案為：6．

（2）如圖，作BC的垂直平分線，交BE于點(diǎn)O，以O(shè)為圓心，OB為半徑畫圓，交垂

直平分線于點(diǎn)P，

（3）如圖，作△ABC的外接圓，

∵∠BAC＞∠ABC，AB＝4，

當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，BC為最長直徑，

∵∠C＝60°，

∴∠ABC＝30°，

∴BC＝2AC，AB＝AC＝4，

∴AC＝，

∴BC＝2AC＝，

當(dāng)∠BAC＝∠ABC時(shí)，△ABC是等邊三角形，

∴BC＝AC＝AB＝4，

∵∠BAC＞∠ABC，

∴BC的取值范圍為：4＜BC≤．

27．如圖①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．動(dòng)點(diǎn)P以6cm/s的速度在矩形ABCD的邊上沿

A→D的方向勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q在矩形ABCD的邊上沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng)．P、Q

兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)D時(shí)，點(diǎn)Q立即停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），△

PDQ的面積為S（cm2），S與t的函數(shù)圖象如圖②所示．

（1）AB＝30cm，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為6cm/s；

（2）在點(diǎn)P、Q出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)O也從CD的中點(diǎn)出發(fā)，以4cm/s的速度沿CD的垂直

平分線向左勻速運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)O為圓心的⊙O始終與邊AD、BC相切，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)終點(diǎn)D

時(shí)，運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止．

①當(dāng)點(diǎn)O在QD上時(shí)，求t的值；

②當(dāng)PQ與⊙O有公共點(diǎn)時(shí)，求t的取值范圍．

【分析】（1）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為acm/s，則由圖②可看出，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5s時(shí)，△

PDQ有最大面積450，即此時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B處，可列出關(guān)于a的方程，即可求出點(diǎn)Q的

速度，進(jìn)一步求出AB的長；

（2）①如圖1，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)O在QD上時(shí)，用含t的代數(shù)式

分別表示出OF，QC的長，由OF＝QC可求出t的值；

②設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，⊙O與AD，BC的切點(diǎn)分別為N，G，過點(diǎn)Q作QH

⊥AD于H，如圖2﹣1，當(dāng)⊙O第一次與PQ相切于點(diǎn)M時(shí)，證△QHP是等腰直角三角

形，分別用含t的代數(shù)式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝QH可求出t的

值；同理，如圖2﹣2，當(dāng)⊙O第二次與PQ相切于點(diǎn)M時(shí)，可求出t的值，即可寫出t

的取值范圍．

解：（1）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為acm/s，

則由圖②可看出，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為5s時(shí)，△PDQ有最大面積450，即此時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B

處，

∵AP＝6t，

∴＝（﹣×）×＝，

S△PDQ60655a450

∴a＝6，

∴AB＝5a＝30，

故答案為：30，6；

（2）①如圖1，設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)O在QD上時(shí)，

QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，

∵OF∥QC且點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，

∴OF＝QC，

即4t＝（90﹣6t），

解得，t＝；

②設(shè)AB，CD的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，⊙O與AD，BC的切點(diǎn)分別為N，G，過點(diǎn)Q作QH

⊥AD于H，

如圖2﹣1，當(dāng)⊙O第一次與PQ相切于點(diǎn)M時(shí)，

∵AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，

∴HP＝QH＝AB＝30，

∴△QHP是等腰直角三角形，

∵CG＝DN＝OF＝4t，

∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，

∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，

∵QP＝QH，

∴150﹣20t＝30，

∴t＝；

如圖2﹣2，當(dāng)⊙O第二次與PQ相切于點(diǎn)M時(shí)，

∵AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，

∴HP＝QH＝AB＝30，

∴△QHP是等腰直角三角形，

∵CG＝DN＝OF＝4t，

∴QM＝QG＝4t﹣（90﹣6t）＝10t﹣90，

PM＝PN＝4t﹣（60﹣6t）＝10t﹣60，

∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，

∵QP＝QH，

∴20t﹣150＝30，

∴t＝，

綜上所述，當(dāng)PQ與⊙O有公共點(diǎn)時(shí)，t的取值范圍為：≤t≤．

28．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣，0），點(diǎn)B在直線l：y＝x上，過點(diǎn)

B作AB的垂線，過原點(diǎn)O作直線l的垂線，兩垂線相交于點(diǎn)C．

（1）如圖，點(diǎn)B，C分別在第三、二象限內(nèi)，BC與AO相交于點(diǎn)D．

①若BA＝BO，求證：CD＝CO．

②若∠CBO＝45°，求四邊形ABOC的面積．

（2）是否存在點(diǎn)B，使得以A，B，C為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似？若存在，求OB

的長；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【分析】（1）①由BC⊥AB，CO⊥BO，可得∠BAD+∠ADB＝∠COD+∠DOB＝90°，

而根據(jù)已知有∠BAD＝∠DOB，故∠ADB＝∠COD，從而可得∠COD＝∠CDO，CD＝

CO；

②過A作AM⊥OB于M，過M作MN⊥y軸于N，設(shè)M（m，m），可得tan∠OMN＝

tan∠AOM＝，即＝，設(shè)AM＝3n，則OM＝8n，Rt△AOM中，AM2+OM2＝OA2，

可求出AM＝3，OM＝8，由∠CBO＝45°可知△BOC是等腰直角三角形，△ABM是等

腰直角三角形，從而有AM＝BM＝3，BO＝CO＝OM﹣BM＝5，AB＝AM＝3，BC

＝BO＝5，即可求出S＝S+S＝