上海市建平實驗中學2022-2023學年數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在鈍角中，角的對邊分別是，若，則的面積為A． B． C． D．2．設(shè)，若是的等比中項，則的最小值為（）A．8 B． C．1 D．43．袋中有大小和形狀都相同的個白球、個黑球，現(xiàn)從袋中每次取一個球，不放回地抽取兩次，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率是（）A． B． C． D．4．某蓮藕種植塘每年的固定成本是1萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬斤，每種植一斤藕，成本增加0.5元.如果銷售額函數(shù)是（是蓮藕種植量，單位：萬斤；銷售額的單位：萬元，是常數(shù)），若種植2萬斤，利潤是2.5萬元，則要使利潤最大，每年需種植蓮藕（）A．8萬斤 B．6萬斤 C．3萬斤 D．5萬斤5．集合，那么（）A． B． C． D．6．已知是等差數(shù)列的前n項和，且，則的通項公式可能是（）A． B． C． D．7．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．8．若滿足，則的最大值為()A．8 B．7 C．2 D．19．函數(shù)的零點個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．310．已知隨機變量，，則（）A．0.16 B．0.32 C．0.66 D．0.6811．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A． B． C．， D．，12．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且，若函數(shù)有6個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知a=log0.35,?b=2314．用1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字，且至少有一個數(shù)字是奇數(shù)的三位偶數(shù)，這樣的三位數(shù)一共有______個.15．在某班舉行的“慶五一”聯(lián)歡晚會開幕前已排好有8個不同節(jié)目的節(jié)目單，如果保持原來的節(jié)目相對順序不變，臨時再插進去三個不同的新節(jié)目，且插進的三個新節(jié)目按順序出場，那么共有__________種不同的插入方法（用數(shù)字作答）．16．若雙曲線的焦點在軸上，焦距為，且過點，則雙曲線的標準方程為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）現(xiàn)從某高中隨機抽取部分高二學生,調(diào)査其到校所需的時間(單位:分鐘),并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中到校所需時間的范圍是,樣本數(shù)據(jù)分組為.(1)求直方圖中的值；(2)如果學生到校所需時間不少于1小時,則可申請在學校住宿.若該校錄取1200名新生,請估計高二新生中有多少人可以申請住宿；(3)以直方圖中的頻率作為概率,現(xiàn)從該學校的高二新生中任選4名學生,用表示所選4名學生中“到校所需時間少于40分鐘”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學期望．18．（12分）如圖，已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，底面，．（1）求直線與直線所成的角的大??；（2）求四棱錐的側(cè)面積；19．（12分）已知件產(chǎn)品中有件是次品.(1)任意取出件產(chǎn)品作檢驗，求其中至少有件是次品的概率；(2)為了保證使件次品全部檢驗出的概率超過，最少應(yīng)抽取幾件產(chǎn)品作檢驗？20．（12分）如圖是一個路燈的平面設(shè)計示意圖，其中曲線段AOB可視為拋物線的一部分，坐標原點O為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸為y軸，燈桿BC可視為線段，其所在直線與曲線AOB所在的拋物線相切于點B．已知AB=2分米，直線軸，點C到直線AB的距離為8分米.燈桿BC部分的造價為10元/分米；若頂點O到直線AB的距離為t分米，則曲線段AOB部分的造價為元.設(shè)直線BC的傾斜角為，以上兩部分的總造價為S元.（1）①求t關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）求總造價S的最小值.21．（12分）已知函數(shù)，其導函數(shù)的兩個零點為和.（I）求曲線在點處的切線方程；（II）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（III）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.22．（10分）已知函數(shù)．（1）當a＝3時，解不等式；（2）若不等式的解集非空，求實數(shù)a的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)已知求出b的值，再求三角形的面積.【詳解】在中，，由余弦定理得：，即，解得：或.∵是鈍角三角形，∴（此時為直角三角形舍去）.∴的面積為.故選A.【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形和三角形的面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】∵是的等比中項，∴3=3a?3b=3a+b，∴a+b=1．a(chǎn)＞2，b＞2．∴==2．當且僅當a=b=時取等號．故選D．點睛：在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯誤3、D【解析】

分別計算第一次取到白球的概率和第一次取到白球且第二次取到白球的概率，根據(jù)條件概率公式求得結(jié)果.【詳解】記“第一次取到白球”為事件，則記“第一次取到白球且第二次取到白球”為事件，則在第一次取到白球的條件下，第二次取到白球的概率：本題正確選項：【點睛】本題考查條件概率的求解問題，易錯點是忽略抽取方式為不放回的抽取，錯誤的認為每次抽到白球均為等可能事件.4、B【解析】

銷售的利潤為，利用可得，再利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性后可得利潤的最大值.【詳解】設(shè)銷售的利潤為，由題意，得，即，當時，，解得，故，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以時，利潤最大，故選B.【點睛】一般地，若在區(qū)間上可導，且，則在上為單調(diào)增（減）函數(shù)；反之，若在區(qū)間上可導且為單調(diào)增（減）函數(shù)，則．5、D【解析】

把兩個集合的解集表示在數(shù)軸上，可得集合A與B的并集．【詳解】把集合A和集合B中的解集表示在數(shù)軸上，如圖所示，則A∪B={x|-2＜x＜3}故選A．【點睛】本題考查學生理解并集的定義掌握并集的運算法則，靈活運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想解決數(shù)學問題，屬基礎(chǔ)題．6、D【解析】

由等差數(shù)列的求和公式，轉(zhuǎn)化為，故，分析即得解【詳解】由題意，等差數(shù)列，且可得故所以當時，則的通項公式可能是故選：D【點睛】本題考查了等差數(shù)列的通項公式和求和公式，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.7、A【解析】

先化簡集合A,B,再判斷每一個選項得解.【詳解】∵，，由此可知，，，，故選：A．【點睛】本題主要考查集合的化簡和運算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】試題分析：作出題設(shè)約束條件可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，把直線向上平移，增加，當過點時，為最大值．故選B．考點：簡單的線性規(guī)劃問題．9、B【解析】

因為和在均為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，所以函數(shù)至多一個零點，再給賦值，根據(jù)可得函數(shù)在上有一個零點【詳解】因為與均在上為增函數(shù)，所以函數(shù)至多一個零點又，，，即函數(shù)在上有一個零點答案選B【點睛】零點問題可根據(jù)零點存在定理進行判斷，也可采用構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)構(gòu)造的兩新函數(shù)函數(shù)交點個數(shù)來確定零點個數(shù)10、D【解析】

先由對稱性求出，再利用即得解.【詳解】由于隨機變量，關(guān)于對稱，故故選：D【點睛】本題考查了正態(tài)分布在給定區(qū)間的概率，考查了學生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間就是函數(shù)的導數(shù)小于零的區(qū)間，可以求出函數(shù)的定義域，再算出函數(shù)的導數(shù)，最后解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．【詳解】解：因為函數(shù)，所以函數(shù)的定義域為，求出函數(shù)的導數(shù)：，；令，，解得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為故選：．【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡單題，在做題時應(yīng)該避免忽略函數(shù)的定義域而導致的錯誤．12、D【解析】

函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有六個零點等價于當x>0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有三個零點，即可即m=f（x）有3個不同的解，求出在每一段上的f（x）的值域，即可求出m的范圍．【詳解】函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有六個零點，則當x>0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有三個零點，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），①當0<x＜2時，f（x）=x﹣x2=﹣（x﹣）2+，當x=時有最大值，即為f（）=，且f（x）＞f（2）=2﹣4=﹣2，故f（x）在[0，2）上的值域為（﹣2，]，②當x≥2時，f（x）=＜0，且當x→+∞，f（x）→0，∵f′（x）=，令f′（x）==0，解得x=3，當2≤x＜3時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當x≥3時，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增，∴f（x）min=f（3）=﹣，故f（x）在[2，+∞）上的值域為[﹣，0），∵﹣＞﹣2，∴當﹣＜m＜0時，當x>0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有三個零點，故當﹣＜m＜0時，函數(shù)F（x）=f（x）﹣m有六個零點，當x=0時,函數(shù)有5個零點．故選D.【點睛】(1)本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的零點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答函數(shù)的零點問題常用的有方程法、圖像法和方程+圖像法.本題利用的就是方程+圖像法.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、a<c<b【解析】

將a,b,c分別判斷與0,1的大小關(guān)系得到答案.【詳解】a=b=0<c=故答案為a<c<b【點睛】本題考查了數(shù)值的大小比較，0，1分界是一個常用的方法.14、54【解析】

運用排列組合，先求出偶數(shù)的可能一共有多少個，然后減去三個數(shù)字都是偶數(shù)的情況【詳解】當個位是偶數(shù)的時候共有種可能三個數(shù)字都是偶數(shù)時，有種可能則滿足題意的三位數(shù)共有種故答案為【點睛】本題考查了排列組合的數(shù)字的排序問題，只要按照題目要求進行分類求出一共的情況，然后減去不符合情況即可得出結(jié)果15、1【解析】分析：根據(jù)題意，先由分步計數(shù)原理計算ABC三個節(jié)目插到8個節(jié)目之間的排法，又由倍分法分析可得答案．詳解：根據(jù)題意，原來有8個節(jié)目，有9個空位，在9個空位中任選1個，安排A節(jié)目，有9種情況，排好后有10個空位，在10個空位中任選1個，安排B節(jié)目，有10種情況，排好后有11個空位，在11個空位中任選1個，安排C節(jié)目，有11種情況，排好后有11個空位，在ABC的安排方法有9×10×11=990種，又由三個新節(jié)目按A，B，C順序出場，則不同的安排方法有×990=1種；故答案為：1．點睛：本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應(yīng)用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應(yīng)用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．16、【解析】

設(shè)雙曲線的標準方程為，利用雙曲線的定義求出的值，結(jié)合焦距求出的值，從而可得出雙曲線的標準方程.【詳解】設(shè)雙曲線的標準方程為，由題意知，該雙曲線的左、右焦點分別為、，由雙曲線的定義可得，，則，因此，雙曲線的標準方程為.故答案為：.【點睛】本題考查過點求雙曲線的方程，在雙曲線的焦點已知的前提下，可以利用定義來求雙曲線的標準方程，也可以利用待定系數(shù)法求解，考查運算求解能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）180；（3）.【解析】分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖的矩形面積之和為1求出x的值；（2）根據(jù)上學時間不少于1小時的頻率估計住校人數(shù)；（3）根據(jù)二項分布的概率計算公式得出分布列，再計算數(shù)學期望.詳解：(1)由直方圖可得,∴.(2)新生上學所需時間不少于1小時的頻率為:,,∴估計1200名新生中有180名學生可以申請住.(3)的可能取值為,有直方圖可知，每位學生上學所需時間少于40分鐘的概率為,,,,,,則的分布列為01234的數(shù)學期望.點睛：本題考查了頻率分布直方圖，離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)可知所求角為；利用線面垂直性質(zhì)可知，結(jié)合，利用線面垂直判定可證得平面，進而得到；利用直角三角形的關(guān)系可求得所求角的正切值，進而得到所求角；（2）利用線面垂直的性質(zhì)和判定易得四棱錐的四個側(cè)面均為直角三角形，分別求得每個側(cè)面面積，加和得到結(jié)果.【詳解】（1）四邊形是正方形直線與直線所成角即為直線與直線所成角，即底面，平面，又，平面，平面，又平面，又，即直線與直線所成角為：（2）由（1）知：，底面，平面，又，，平面平面平面四棱錐的側(cè)面積為：【點睛】本題考查異面直線所成角的求解、棱錐側(cè)面積的求解問題；關(guān)鍵是能夠靈活運用線面垂直的判定和性質(zhì)，考查基礎(chǔ)計算能力.19、任意取出件產(chǎn)品作檢驗，至少有件是次品的概率是；為了保證使件次品全部檢驗出的概率超過，最少應(yīng)抽取9件產(chǎn)品作檢驗?！窘馕觥?/p>

（1）先求出任取3件的方法數(shù)，再求出任取的3件中沒有次品的方法數(shù)，相減即得至少有一件次品的方法數(shù)，由此可得所求概率；（2）即抽取的產(chǎn)品中至少有3件次品的概率超過0.6，列式求解．【詳解】（1）從1件產(chǎn)品中任取3件的方法數(shù)為，而3件產(chǎn)品中沒有次品的方法數(shù)是，從而至少有1件次品的方法數(shù)是120－35＝85，所求概率為．（2）設(shè)應(yīng)抽取件產(chǎn)品，則，即，，∵，∴或1．至少抽取9件才能滿足題意．∴任意取出件產(chǎn)品作檢驗，至少有件是次品的概率是，為了保證使件次品全部檢驗出的概率超過，最少應(yīng)抽取9件產(chǎn)品作檢驗．【點睛】本題考查古典概型概率，解題的關(guān)鍵是求出基本事件的總數(shù)和所求概率事件含有的基本事件的個數(shù)．在處理含有“至少”、“至多”等詞語的事件時可從反面入手解決較方便．20、(1)①.②.(2)元.【解析】分析：（1）①先設(shè)曲線段所在的拋物線的方程為，代入點B可得a的值，然后求出切線BC的斜率,轉(zhuǎn)化為傾斜角從建立t與的等式關(guān)系；②根據(jù)t與的關(guān)系得出曲線段部分的造價為元，然后求出BC段的造價，故兩段的造價之和；（2）由S的表達式根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得最小值.詳解：（1）①設(shè)曲線段所在的拋物線的方程為，將代入得，故拋物線的方程為，求導得，故切線的斜率為，而直線的傾斜角為，故，t關(guān)于的函數(shù)關(guān)系為.②因為，所以曲線段部分的造價為元，因為點到直線的距離為8分米，直線的傾斜角為，故，部分的造價為，得兩部分的總造價為，.（2），，其中恒成立，令得，設(shè)且為銳角，列表如下：0極小故當時有最小值，此