第三章行波法與積分變換法

第三章行波法與積分變換法第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三一維波動方程的達(dá)朗貝爾公式

行波法

第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。a.只有初始位移時，代表以速度a沿x

軸正向傳播的波代表以速度a沿x軸負(fù)向傳播的波4解的物理意義b.只有初始速度時：假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù)，而在此區(qū)間外恒等于0第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式5達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三影響區(qū)域決定區(qū)域依賴區(qū)間特征線特征變換行波法又叫特征線法6相關(guān)概念第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三7非齊次問題的處理(齊次化原理)利用疊加原理將問題進(jìn)行分解：第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三利用齊次化原理，若滿足：則：令：第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三從而原問題的解為第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三特征方程第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例1解定解問題解第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例2求解解：特征方程為令：第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例3求解Goursat問題解：令第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三 思考題：求解如下定解問題第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三二積分變換法1傅立葉變換法傅立葉變換的性質(zhì)微分性位移性積分性相似性傅立葉變換的定義偏微分方程變常微分方程第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例1解定解問題解：利用傅立葉變換的性質(zhì)第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例2解定解問題解：利用傅立葉變換的性質(zhì)第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三2拉普拉斯變換法拉普拉斯變換的性質(zhì)微分性相似性拉普拉斯變換的定義偏微分方程變常微分方程第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例3解定解問題解：對t求拉氏變換第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例4解定解問題解：對x求傅氏變換對t求拉氏變換第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例5解定解問題解：對t求拉氏變換對x求傅氏變換第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例6

求方程

滿足邊界條件，的解。解法一：第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三解法二：對y求拉氏變換第27頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三例7解定解問題解：對t取拉氏變換x取傅立葉變換其中第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三3積分變換法求解問題的步驟對方程的兩邊做積分變換將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠虒Χń鈼l件做相應(yīng)的積分變換，導(dǎo)出新方程變的為定解條件對常微分方程，求原定解條件解的變換式對解的變換式取相應(yīng)的逆變換，得到原定解問題的解4積分變換法求解問題的注意事項如何選取適當(dāng)?shù)姆e分變換定解條件中那些需要積分變換，那些不需取如何取逆變換思考利用積分變換方法求解問題的好處是什么？第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三三.三維波動方程的柯西問題第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三球?qū)ΨQ情形所謂球?qū)ΨQ是指與無關(guān)，則波動方程可化簡為第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三半無界問題第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三這是關(guān)于v=ru的一維半無界波動方程.第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三一般情形我們利用球平均法。從物理上看，波具有球?qū)ΨQ性。從數(shù)學(xué)上看，總希望把高維化為一維情形來處理，并設(shè)法化為可求通解的情況。所謂球平均法，即對空間任一點（x，y，z），考慮u在以（x，y，z）為球心，r為半徑的球面上的平均值其中為球的半徑的方向余弦，第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三如把x,y,z看作參變量，則是r，t的函數(shù)，若能求出，再令則為此把波動方程的兩邊在以x，y，z為中心，r為半徑的球體內(nèi)積分，并應(yīng)用Gauss公式，可得（*1）第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三同時有由（*1）(*2)可得（*2）關(guān)于r微分，得（*3）利用球面平均值的定義，（*3）可寫成（*4）第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三（*4）又可改寫為第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三通解為令r＝0，有代入上式，得（*5）關(guān)于r微分，再令r＝0，有（*6）第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三接下來，求滿足初值的解。對（*5）關(guān)于t微分，（*7）（*6）和（*7）相加即得即把代入上式，得第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三從而有第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三第45頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三Poisson公式第46頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三四.二維波動方程如果我們把上述問題中的初值視為重復(fù)推導(dǎo)Poisson公式的過程，將會發(fā)現(xiàn)所得Poisson公式中不含第三個變量。降維法：由高維波動方程的柯西問題的解來求解低維波動方程柯西問題的方法。由Hadamard最早提出的。第47頁，共50頁，2023年，2月20日，星期三計算上述曲面積分。由于初始數(shù)據(jù)與第三個變量無關(guān)，因此