第三章傅里葉變換

第三章傅里葉變換第1頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三目錄3.3

傅里葉變換3.1

周期信號的傅里葉級數(shù)分析3.2

典型周期信號的傅里葉級數(shù)3.4

典型非周期信號的傅里葉變換3.5

傅里葉變換的基本性質(zhì)3.6

周期信號的傅里葉變換3.7

取樣信號的傅里葉變換3.8

系統(tǒng)的頻域分析3.9

信號的傳輸?shù)?頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.1周期信號的傅里葉級數(shù)分析從本章起，我們由時域分析進(jìn)入頻域分析，在頻域分析中，首先討論周期信號的傅里葉級數(shù)，然后討論非周期信號的傅里葉變換。傅里葉變換是在傅里葉級數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展而產(chǎn)生的，這方面的問題統(tǒng)稱為傅里葉分析。任何周期函數(shù)在滿足狄義赫利的條件下，可以展成正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)。如果正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，此時周期函數(shù)所展成的級數(shù)就是“傅里葉級數(shù)”。第3頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.1.1三角形式的傅里葉級數(shù)設(shè)周期信號為f(t),其重復(fù)周期是T1,角頻率其中推導(dǎo)f(t)分解為不同頻率三角函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)?；?，二次諧波….n次諧波傅里葉級數(shù)表明信號中各次諧波的分布。第4頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三三角形式的傅里葉級數(shù)也可表示成：（2）其中an為的偶函數(shù)，為的奇函數(shù)cn為的偶函數(shù)，為的奇函數(shù)第5頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三例題求題圖所示的周期矩形信號的三角形式傅里葉級數(shù)。解：一個周期內(nèi)的表達(dá)式為：第6頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三因此第7頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.1.2指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)其中Fn與nw1形成函數(shù)關(guān)系f(t)分解為不同頻率指數(shù)函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)。

f(t)→Fn建立一一對應(yīng)關(guān)系。第8頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三例題：如圖所示信號f(t)的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。-TsTs-τ/2τ/2tE分析：要求級數(shù)只要確定了系數(shù)Fn即可。解：第9頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三例題：已知信號f(t)=cos100t,求指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)系數(shù)Fn。解：所以例題：已知指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)系數(shù)Fn如圖所示，求信號f(t)解：所以-2w12w1-w1w1nw1Fn331第10頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.1.3周期信號的頻譜及其特點(diǎn)1.周期信號的頻譜（3）（1）（2）

f(t)→Fn建立一一對應(yīng)關(guān)系。不同時域信號對應(yīng)的Fn不同，因此可以通過研究Fn來研究信號的特性。Fn是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號的各次諧波的幅度和相位變化規(guī)律稱為頻譜函數(shù)?？芍庇^地看出各頻率分量的相對大小和相位情況，這樣的圖就稱為信號的幅度頻譜和相位頻譜。第11頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三例題：已知信號f(t)=cos100t,求其頻譜Fn。解：所以例題：已知信號f(t)的頻譜Fn如圖所示，求信號f(t)。解：所以-2w12w1-w1w1nw1Fn221-w1w1nw1Fn0.5第12頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三例題求題圖所示的周期矩形信號指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)，并畫出頻譜圖。解：一個周期內(nèi)的表達(dá)式為：第13頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三幅度頻譜和相位頻譜離散性諧波性收斂性頻譜的特點(diǎn)第14頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三2.周期信號頻譜的特點(diǎn)（1）離散性--------頻譜是離散的而不是連續(xù)的，這種頻譜稱為離散頻譜（2）諧波性--------譜線出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上。（3）收斂性--------幅度譜的譜線幅度隨著而逐漸衰減到零。3.1.4波形的對稱性與諧波特性的關(guān)系如果f(t)是實(shí)函數(shù)而且它的波形滿足某種對稱性，則在傅里葉級數(shù)中有些項將不出現(xiàn)，留下的各項系數(shù)的表示式也將變得比較簡單。第15頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三（1）偶函數(shù)所以，在偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不會有正弦項，只可能含有（直流）和余弦分量。第16頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三（2）奇函數(shù)在奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)中不會含有直流與余弦分量，只可能包含正弦分量。（3）奇諧函數(shù)或第17頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三（3）奇諧函數(shù)例如第18頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三可見，在奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中，只會含有基波和奇次諧波的正弦、余弦分量，而不會包含直流和偶次諧波分量。第19頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.2典型周期信號的頻譜3.2.1周期矩形脈沖信號(1)周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)第20頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三

f(t)的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)為（2）頻譜圖第21頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三一般情況：若則第一個零值點(diǎn)之內(nèi)或兩個相鄰的零值點(diǎn)之間有n-1根譜線。有效帶寬：或結(jié)論：矩形脈沖的頻帶寬度與脈沖寬度成反比。第22頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三（3）頻譜結(jié)構(gòu)與波形參數(shù)的關(guān)系（T1,）

1.若不變，擴(kuò)大一倍，即第23頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三

2.若不變，減小一半，即

譜線間隔只與周期T1

有關(guān)，且與T1成反比；零值點(diǎn)頻率只與有關(guān)，且與成反比；而譜線幅度與和都有關(guān)系，且與成反比與成正比。第24頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.2.2周期鋸齒脈沖信號E/2tf(t)-E/2T1/2-T1/2周期鋸齒脈沖信號的頻譜只包含正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂。第25頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.2.3周期三角脈沖信號周期三角脈沖的頻譜只包含直流、奇次諧波的余弦分量，諧波的幅度以的規(guī)律收斂。Ef(t)t-T1-T1/2T1/2T1第26頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.3傅里葉變換周期信號的離散譜非周期信號的連續(xù)譜由于第27頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三頻譜密度函數(shù)則-----------非周期信號f(t)

的傅里葉變換記為F[f(t)]---------傅里葉逆變換F–1第28頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三------------相位譜周期信號：------連續(xù)譜------離散譜------------幅度譜傅里葉逆變換：傅里葉變換：第29頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.4典型非周期信號的傅里葉變換一、單邊指數(shù)信號第30頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三二、雙邊指數(shù)信號第31頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三三、對稱矩形脈沖信號周期矩形脈沖信號：P102最下邊之間滿足如下關(guān)系：第32頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三第33頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三四、符號函數(shù)F第34頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三第35頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三五、沖激函數(shù)和沖激偶函數(shù)單位沖激函數(shù)的頻譜等于常數(shù)，也就是說，在整個頻率范圍內(nèi)頻譜是均勻的。這種頻譜常常被叫做“均勻譜”或“白色頻譜”。(1）沖激函數(shù)的傅里葉變換第36頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三(2）沖激函數(shù)的傅里葉逆變換F或FF第37頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三（3）沖激偶的傅里葉變換F即：上式兩邊對t求導(dǎo)得：F同理：F第38頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三五、階躍信號FFF第39頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.5傅里葉變換的基本性質(zhì)3.5.1線性則F[af1(t)+bf2(t)]=aF1(w)+bF2(w)3.5.2對稱性若F[f1(t)]=F1(w),F[f2(t)]=F2(w)02πf(ω)ω(2π)tF(t)=1010F(ω)=R(ω)=1ω1例如：0(1)t若F[f(t)]=F(w),則F[F(t)]=2πf(-w)第40頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三又如：第41頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三F例3-3：求解：第42頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三例3-4已知求逆變換。解：第43頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.5.3對偶性第44頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三兩種特定關(guān)系：1.若f(t)是實(shí)函數(shù)，或純虛函數(shù)

[f(t)=j

g(t)]，則|F(w)|是偶函數(shù),φ(w)是奇函數(shù)。2.若f(t)是t的

實(shí)偶函數(shù)，則F(w)必為w的實(shí)偶函數(shù)

F(w)=R(w)若f(t)是t的實(shí)奇函數(shù)，則F(w)必為w的虛奇函數(shù)

F(w)=jx(w)第45頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.5.4位移特性（1）時移特性例3-5：求下圖所示的單邊矩形脈沖信號的頻譜函數(shù)。解：因為對稱矩形脈沖信號EGτ(t)的傅里葉變換為F[EGτ(t)]=EτSa(wτ/2)根據(jù)時移特性若F[f(t)]則同理F[f(t-t0)]=F[f(t+t0)]=第46頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三幅度譜保持不變，相位譜產(chǎn)生附加相移-wτ/2F[f(t)]=EτSa(wτ/2)e-jwτ/2-wτ/2則若F[f(t)](2)頻移特性第47頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三解：

例3-7：求的頻譜。第48頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三例3-8：求矩形調(diào)幅信號的頻譜函數(shù)，已知f(t)=G(t)cosω0t，其中

G(t)為矩形脈沖，脈幅為E,脈寬為τ。解：f(t)=G(t)cosω0t=0.5G(t)(ejω0t+e-jω0t)第49頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三

由上可見，信號在時域中壓縮等效在頻域中擴(kuò)展；反之，信號在時域中擴(kuò)展等效在頻域中壓縮。

3.5.5尺度變換特性則若F[f(t)]F[f(at)]第50頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三綜合時移特性和尺度變換特性，可以證明以下兩式：3.5.6微分與積分特性（1）時域微分特性F[f(at-t0)]F[f(at+t0)]則若F[f(t)]F[df(t)/dt]F[dnf(t)/dtn]第51頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三（2）時域積分特性例如：由于F所以FF則若F[f(t)]F若F(0)=0則F思考問題：若已知函數(shù)m’(t)=f(t),并且f(t)傅里葉變換為F(w),那么能否直接利用上式求出m(t)的傅里葉變換？答案是否定的。關(guān)鍵在于f(t)的積分不一定等于m(t)。第52頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三因此，若已知函數(shù)m’(t)=f(t),并且f(t)傅里葉變換為F(w),那么利用F(w)求m(t)的傅里葉變換時應(yīng)利用若m(-∞)和m(+∞)都為0，那么上式第53頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三例：利用積分特性分別求f1(t)=u(t)及f2(t)=0.5sgn(t)的傅里葉變換。解：由于第54頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三（3）頻域微分特性例：若則第55頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.5.7卷積定理（1）時域卷積定理（2）頻域卷積定理若F[f2(t)]則F[f1(t)*f2(t)]=F[f1(t)]若則F[f2(t)]F[f1(t)]F[f1(t)f2(t)]=第56頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三例3-13：利用頻域卷積定理求余弦脈沖的頻譜。解：我們把f(t)看作是矩形脈沖G(t)

與無窮長余弦函數(shù)的乘積。Ftf(t)tt第57頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三ttFf(t)t相乘卷積第58頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三例3-12：利用時域卷積定理求三角脈沖的頻譜解：我們可以把三角脈沖看作是兩個同樣的矩形脈沖的卷積。而矩形脈沖的幅度、寬度可以由卷積的定義直接看出，分別為√2E/τ及τ/2。t-τ/4τ/4G(t)f(t)t-τ/2τ/2E第59頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三f(t)t-τ/2τ/2Et-τ/4τ/4G(t)第60頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.6.1正弦、余弦信號的傅里葉變換周期信號傅里葉級數(shù)非周期信號？傅里葉變換3.6周期信號的傅里葉變換第61頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三

3.6.2一般周期信號的傅里葉變換

令周期信號f(t)的周期為T1,角頻率為。它的傅里葉級數(shù)為

周期信號f(t)的傅里葉變換是由一系列沖激函數(shù)所組成，這些沖激位于信號的諧頻處，每個沖激的強(qiáng)度等于f(t)的傅里葉級數(shù)相應(yīng)系數(shù)Fn的倍。其中：對式（1）兩邊取傅里葉變換或：第62頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三例3-14：求周期單位沖激序列的傅里葉級數(shù)與傅里葉變換。第63頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三解：已知矩形脈沖f0(t)的傅里葉變換F0(jω)為例3-15：求周期矩形脈沖信號的傅里葉級數(shù)及傅里葉變換。

已知周期矩形脈沖信號f(t)的幅度為E，脈寬為τ，周期為T1,角頻率為ω1=2π/T1。第64頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三設(shè)：第65頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三

所謂“取樣”就是利用取樣脈沖序列p(t)從連續(xù)信號f(t)中“取樣”一系列的離散樣值，這種離散信號通常稱為“取樣信號”。3.7.1信號的取樣3.7取樣信號的傅里葉變換也稱抽樣，它是用離散化的一組樣本值表示連續(xù)函數(shù)的過程或者方法。抽樣脈沖信號的頻率稱為抽樣頻率，記為fs。抽樣脈沖信號原始信號已抽樣脈沖信號第66頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三fs(t)取樣連續(xù)信號f(t)量化、編碼數(shù)字信號取樣脈沖p(t)取樣過程方框圖已取樣信號第67頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.7.2已取樣信號的傅里葉變換其中：E所以，令連續(xù)信號f(t)的傅里葉變換為取樣脈沖p(t)的傅里葉變換為已取樣信號fs(t)的傅里葉變換為第68頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三（1）矩形脈沖取樣

取樣脈沖p(t)是矩形脈沖，令它的脈沖幅度為E，脈寬為τ，取樣角頻率為ωs，這種取樣也稱為“自然取樣”。E第69頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三相乘tfs(t)Ts卷積ωFs(jω)ωs-ωsωP(jω)ωs-ωs(Eτωs)Ep(t)tTs設(shè)：第70頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三（2）沖激取樣若取樣脈沖p(t)是沖激序列，此時稱為“沖激取樣”或“理想取樣”顯然，F(xiàn)(jω）在以ωs

為周期的重復(fù)過程中幅度以的規(guī)律變化。

由于沖激序列的傅里葉系數(shù)Pn為常數(shù)，所以F(jω)是以ωs為周期等幅地重復(fù)。tp(t)Ts(1)第71頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三tp(t)Ts(1)ωP(ω)(ωs)ωs-ωstfs(t)Ts相乘ωFs(jω)ωm-ωm1/Tsωs-ωs卷積第72頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.7.3取樣定理并且如何從取樣信號中恢復(fù)原連續(xù)信號？

用取樣脈沖對連續(xù)信號進(jìn)行取樣，取樣周期取多大合適呢？ωFs(ω)ωm-ωm1/Tsωs-ωs從上圖可知：只有滿足才不會產(chǎn)生頻譜混疊，即保留了原連續(xù)時間信號的全部信息。這時只要將施加于“理想低通濾波器”，就可恢復(fù)原信號f(t)。理想低通濾波器的頻率特性為：第73頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三ωFs(ω)ωm-ωm1/Tsωs-ωsωωm-ωm1/Ts其中：

通常把最低允許的取樣率稱為奈奎斯特取樣率，把最大允許的取樣間隔稱為奈奎斯特間隔。即或：第74頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三時域取樣定理：一個頻譜受限的信號f(t)，如果頻譜只占據(jù)-ωm~ωm的范圍，則信號f(t)可以用等間隔的取樣值來惟一地表示。而取樣間隔Ts≤1/(2fm)(其中ωm=2πfm），或者說，取樣頻率fs≥2fm。第75頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三tf(t)ωF(ω)ωm-ωm1ωωm-ωm1/Ts-ωsωsF(ω)tfs(t)Tsωωm-ωm1/Ts-ωsωsFs(ω)tfs(t)Ts第76頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三解:（1）奈奎斯特取樣率為：例3-16已知信號用對其進(jìn)行取樣，（1）確定奈奎斯特取樣率；（2）若取求取樣信號并畫出波形圖；（3）求并畫出頻譜圖；（4）確定低通濾波器的截止頻率F第77頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三（2）（3）第78頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三即低通濾波器的截止頻率應(yīng)滿足下式：（4）第79頁，共89頁，2023年，2月20日，星期三3.8.1系統(tǒng)響應(yīng)的頻域表示設(shè)FFF（1）對式（1）兩邊取傅里葉變換：或：--------系統(tǒng)函數(shù)（或轉(zhuǎn)移函數(shù)）--------激勵信號的頻譜--------響應(yīng)信號的頻譜--------系統(tǒng)函數(shù)3.8系統(tǒng)的頻域分析第80頁，共89頁，2023年，2月20日，