蘇教版-必修五-第二章 數(shù)列-2.3 等比數(shù)列 公開課比賽一等獎(jiǎng)

《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)會(huì)用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行求和，靈活應(yīng)用公式與性質(zhì)解決一些相關(guān)問題；培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)修養(yǎng).二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：1.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo).難點(diǎn)：靈活應(yīng)用公式解決有關(guān)問題.三、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)回顧前面我們一起學(xué)習(xí)有關(guān)等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及性質(zhì).(1)定義式：eq\f(an,an－1)＝q(n≥2，q≠0)(2)通項(xiàng)公式：an＝a1qn－1(a1，q≠0)(3)性質(zhì)：①a，G，b成等比數(shù)列G2＝ab②在等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq（二）講授新課前面我們一起探討了等差數(shù)列的求和問題，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和如何求?下面我們先來看引言.引言中提到的問題是這樣的：求數(shù)列1，2，4，…，263的各項(xiàng)和.可看出，這一數(shù)列為一以a1＝1，q＝2的等比數(shù)列.這一問題相當(dāng)于求此數(shù)列的前64項(xiàng)的和.1.前n項(xiàng)和公式一般地，設(shè)有等比數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…，它的前n項(xiàng)和是Sn＝a1＋a2＋…＋an.剛才問題即為求：S64＝a1＋a2＋…＋a64＝1＋2＋4＋…＋263 ①我們發(fā)現(xiàn)，若在①式兩邊同乘以2，則得2S64＝2＋4＋…＋263＋264 ②由②－①可得：S64＝264－1同理，可知，若Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an又∵在等比數(shù)列中，an＝a1qn－1，∴a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1,qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn不妨將上兩式相減可得(1－q)Sn＝a1－a1qn（1）當(dāng)q＝1，Sn＝na1（2）當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q) ①或Sn＝eq\f(a1－anq,1－q) ②若已知a1，q，n，則選用公式①；當(dāng)已知a1，q，an時(shí)，則選用公式②.2.例題講解［例1］求等比數(shù)列1，2，4，…從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和.分析：等比數(shù)列的第5項(xiàng)到第10項(xiàng)可組成一新等比數(shù)列.解法一：由1，2，4，…可知：a1＝1，q＝2∴an＝2n－1，∴a5＝24＝16，a10＝29＝512.從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)共有6項(xiàng)，它們的和為：eq\f(16（1－26）,1－2)＝1008.答案：從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為1008.解法二：從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為：a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝S10－S4由a1＝1，q＝2得Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)＝2n－1，∴S10＝210－1＝1023S4＝24－1＝15，S10－S4＝1008.答：從第5項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為1008.［例2］一條信息，若一人得知后用一小時(shí)將信息傳給兩個(gè)人，這兩個(gè)人又用一小時(shí)各傳給未知此信息的另外兩人，如此繼續(xù)下去，一天時(shí)間可傳遍多少人?分析：得知信息的人數(shù)可組成一以1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.解：根據(jù)題意可知，獲知此信息的人數(shù)依次為1，2，4，8，…是一以a1＝1，q＝2的等比數(shù)列.一天內(nèi)獲知此信息的總?cè)藬?shù)為即為此數(shù)列的前24項(xiàng)之和S24＝eq\f(1－224,1－2)＝224－1答：一天時(shí)間可傳遍224－1人.評(píng)述：應(yīng)先將所遇問題數(shù)學(xué)化，然后用有關(guān)知識(shí)加以解決.（三）課堂練習(xí)課本P54練習(xí)1，2，3，4（四）課時(shí)小結(jié)等比數(shù)列求和公式：Sn＝eq\f(a1（1－qn）,1－q)或Sn＝eq\f(a1－an