空間與線性變換

,與的和，記為;V中定義了數(shù)乘運(yùn)算：F中數(shù)k和V中如果對V中的任意元素,以及F中的數(shù)k,l,上述兩種運(yùn)算滿足(1)(2)()((3)0+0+()

(7)();(8)1 ZENG,ShanghaiUniversity,linear(a,a,a)T

(b,b,b)T 加法運(yùn)算：aba (1)

k(ka,ka,ka)T(2)()((3)0+0(4)+()

(7)();(8)1 ZENG,ShanghaiUniversity,linear定義在數(shù)域F上的m×n2、00,(1)k03、k0k0或 ZENG,ShanghaiUniversity,linear定義1給定向量組1,2, ,m和向量,如果存在 向量能由 例1(a ,a

e ,0

,e

,0

，e

ZENG,ShanghaiUniversity,linear定義設(shè)1,2 ,mV,如果存在一組不全為零數(shù) , 1122 mm=0則稱1, ,m是線性相關(guān)的否則稱1, ,m是線性無關(guān)的，即若 則1 m ZENG,ShanghaiUniversity,linear注意1.對于任一向量組,線性相關(guān)線性相關(guān),若0,則說包含零向量的任何向量組是線性相關(guān)的 ZENG,ShanghaiUniversity,linear例 b223,b331,試證1,23線性無關(guān) 1亦即（x1x3)1x1x22x2x3)3x1x3 x2x3 ZENG,ShanghaiUniversity,linear 02 b1,b2b3線性無關(guān)

x1x2x30 ZENG,ShanghaiUniversity,linear例 ,r為線性無關(guān)組，11,212, 12 k11k22 kr(k1k2 kr)1(k2 kr)2 krr krk k 因?yàn)?,

ZENG,ShanghaiUniversity,linear11101111110111 ZENG,ShanghaiUniversity,linear 定理 A

（略m于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān) ZENG,ShanghaiUniversity,linear例 n維向量e ,0

,e

,0

，e

稱為n維單位坐標(biāo)向量組,討論其線性相關(guān) nI 由I10，知r(I) ZENG,ShanghaiUniversity,linear例 102 124157解分析 ZENG,ShanghaiUniversity,linear

1 ) 1

r2~

1

r32

ZENG,ShanghaiUniversity,linear例

a2

(j , aa ,m也線性無關(guān)為零的數(shù) ,km,使得k11k22 kmm ,km,使得k11k22 kmm0,這與向量 ZENG,ShanghaiUniversity,linear定理2向量組1,2, ,m（m2時(shí)）線性相關(guān)的充分必要條件是1,2, 量可由其余m1個(gè)向量線性表示．證明 a1,a2, ,

ZENG,ShanghaiUniversity,linear m1m11am

這m個(gè)數(shù)不全為 設(shè)1,2

k1,k2, km, kmm ZENG,ShanghaiUniversity,linear因k1,k2 , 不妨設(shè)k10,

1能由其余向量線性表示. ZENG,ShanghaiUniversity,linear定理3A：1,2,,m線性相關(guān),則B:1,,m，,mt也線性相關(guān).證明因?yàn)椋琺線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)k1,km, kmm從而有，不全為零的k1,k0，,0, 0mt ZENG,ShanghaiUniversity,linear定理4設(shè)向量組1,,m線性相關(guān)則向量能由向量組2,,m唯一線性表示的充要條件是1,2,,m線性無關(guān)。證明：充分性.1,,m線性相關(guān)，故存在不全為零的數(shù)k1,kmkk11kmmk0,假如k0，則k1,,km不全為零，且有k11kmm與1,,m線性無關(guān)，所以，k0.-k1 -km 如果p11 (pmlm)m ,pm ZENG,ShanghaiUniversity,linear

因可由

(l1+k1)1 ,m唯一表示，故likili,所以，kii ZENG,ShanghaiUniversity,linear定義3設(shè)(I)1,2,,s與(II)12,,t為V中的兩個(gè)向量組，如 ZENG,ShanghaiUniversity,linear設(shè)AFmnBFns,Cii

CA(aij

B(bij

n

aCAB

am11 am22

amn? ZENG,ShanghaiUniversity,linearA

n

aim

,B(bijbnnnTb bnnnTb

CAB

2

∑bl

n n

l

l l 與B的行（列） ZENG,ShanghaiUniversity,linear

若向量組 ,r線性無關(guān)，且可由 ,線性表示，則r推論：設(shè)V中向量組1, ,r可由1, 且rs，則1, ,r線性相關(guān)。推論2Rn中任意n1個(gè)向量線性相關(guān) ZENG,ShanghaiUniversity,linear設(shè),,,

，且

A

ZENG,ShanghaiUniversity,linear定義：設(shè)1,2 ,mV,如果存在一組不全為零數(shù)

mm=0則稱 ,是線性相關(guān)的否則稱1 ,m是線性無關(guān)的，即 則1 m ZENG,ShanghaiUniversity,linear (1)Rn中向量組,,,線性相關(guān)的充分必要條件A(1,2,,m 特別的，當(dāng)Rm,即A為m階方陣時(shí)，,,,線性相關(guān)的充要條件是|A|0;1,2,,m線性無關(guān)的充要條件是 （2）1,2m時(shí)）線性相關(guān)1,2,,m中至少有一個(gè)向m個(gè)向量線性表示．3 ZENG,ShanghaiUniversity,linear

,b

aj

,(j ,

,m線性無關(guān),則向量組1,b2, ,bm也線性無相關(guān). ZENG,ShanghaiUniversity,linear(5若向量組A：1,2,,m線性相關(guān),則向量組B:1,,m，,mt也線性相關(guān).反言之,若向量組B線性無關(guān),則向量組也線性無關(guān).6m于向量個(gè)數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān). ZENG,ShanghaiUniversity,linear設(shè)(I)1,2,,s與(II)12,,t為V中的兩個(gè)向量組，如 ZENG,ShanghaiUniversity,linear一個(gè)向量一個(gè)向量

線性無關(guān)的充要條件是0兩個(gè)向量

ZENG,ShanghaiUniversity,linear（１）、（２）∵線性相關(guān),存在不全為零的數(shù)xy,得xy0,不妨設(shè)xy,令k 不妨設(shè)k,則有1k)0,由定義知線性相關(guān). ZENG,ShanghaiUniversity,linear定義1Vr個(gè)向量1,2 ,r線性無關(guān) ,r線性表示那末，向量組1,2 基r稱為向量空間V的維數(shù)，Vr維向量 ZENG,ShanghaiUniversity,linear(2 x11x22 稱x1,x2,…,xr為x在基1,2

用(x1x2,…,xr)或(x1x2,…,xr)T(3) ZENG,ShanghaiUniversity,linear22A(a1,a2,a3) 2,22 B(b1,b2) , 驗(yàn)證aaa,是R3的一個(gè)基，并把b,b ZENG,ShanghaiUniversity,linear要證aaa是R3的一個(gè)基，只要證aa 線性無關(guān)，即只要證A~ b1x11a1x21a2x31a3b2x12a1x22a2即(b1,b2)(a1,a2,a3

x32記作BAX ZENG,ShanghaiUniversity,linear對矩陣AB)施行初等行變換，若能變?yōu)閯taaa為R3的一個(gè)基，且當(dāng)A變?yōu)镮時(shí)，B X2214(AB) 203222 ZENG,ShanghaiUniversity,linear

(A

~~

ZENG,ShanghaiUniversity,linearr3/

1/ 1/ 12r12

14/

1/

1/

2/ ZENG,ShanghaiUniversity,linear

r

3 3 ZENG,ShanghaiUniversity,linear1000100010001 (

3 3 因有A~I，故aaa b,b(a,a,a

3 ZENG,ShanghaiUniversity,linear定理1設(shè)1,2, ,r是V的一個(gè)基，1,2, ,s為V中任一向量組，