加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué) 師范學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研部

加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)師范學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研部加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)師范學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研部陳志惠摘要:為了讓大一新生盡快適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),本人認(rèn)為加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)是一個起關(guān)鍵作用的環(huán)節(jié)。對于剛邁進(jìn)大學(xué)的理工科的學(xué)生來說，高等數(shù)學(xué)是首當(dāng)其沖的一門重要的基礎(chǔ)課。很多新生一時還難以適應(yīng)，常常產(chǎn)生各種各樣的問題。如何幫助學(xué)生度過這一“非常時期”，使之盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)生活學(xué)好高等數(shù)學(xué)這門主要的基礎(chǔ)課？筆者認(rèn)為，加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)是一個起關(guān)鍵作用的環(huán)節(jié)。一、正確理解數(shù)學(xué)概念是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的前提無論是初等數(shù)學(xué)還是高等數(shù)學(xué)總是從繁雜紛紜的客觀世界中抽象出一系列的數(shù)學(xué)概念，然后以這些概念為基礎(chǔ)，進(jìn)行合理的判斷和推理，引出一些定理和公式，形成一個理論體系，然后把“這些符合論理的結(jié)論”應(yīng)用到新的應(yīng)用領(lǐng)域或?qū)嶋H問題中，因此可以說，概念是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，概念教學(xué)應(yīng)成為高等數(shù)學(xué)教學(xué)的核心與重點，它是教師教好與學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。只有當(dāng)教師深刻全面地理解了概念的內(nèi)涵與本質(zhì)之后，才能透徹地講解給出來，學(xué)生才能很好的接受，才能以此為基礎(chǔ)進(jìn)行推理、判斷、分析等思維活動，理解數(shù)學(xué)理論體系的來龍去脈，掌握運(yùn)算的技能技巧。從而獲得應(yīng)用數(shù)學(xué)方法去分析問題與解決問題的能力。在初等數(shù)學(xué)中，大多數(shù)概念都比教具體直觀，學(xué)生容易接受，再加上課時較多，進(jìn)度較慢，教師由淺入深，亦步亦趨，使一般學(xué)生都不會對接受新概念感到很困難。即使有一些學(xué)生不重視概念學(xué)習(xí)只注意計算方法與技巧，但在長期與大量的練習(xí)中，由于反復(fù)接觸，潛移默化，不知不覺地對概念由知之不多過度到知之較多，逐步掌握了概念。但在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時，情況發(fā)生了很大的改變，高等數(shù)學(xué)是研究變量的數(shù)學(xué)，常常需要用運(yùn)動的觀點來討論，因此更顯得抽象、復(fù)雜。例如極限、導(dǎo)數(shù)、積分等概念都是初學(xué)者所不能透徹理解的，加上大學(xué)里的教學(xué)進(jìn)度快，反復(fù)練習(xí)的機(jī)會少。難免會使一些新生感到不適應(yīng)，概念掌握不好，以致于以概念為基礎(chǔ)的理論及計算方法當(dāng)然也就很難學(xué)好。因此能不能用有限的時間加強(qiáng)概念教學(xué)就成為提高教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。二、注重概念的引入是學(xué)習(xí)概念的先導(dǎo)眾所周知，數(shù)學(xué)概念都是由客觀實際或客觀規(guī)律抽象出來的。很多概念都可以在實際中找到它的“原型”。例如：從曲線切線的斜率、變速直線運(yùn)動的速度的計算等問題抽象出導(dǎo)數(shù)概念。從求曲邊梯形的面積、變速直線運(yùn)動的路程等問題抽象出定積分的概念，這種方法符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，學(xué)生只有透徹地理解解決這些問題的思路，才能真正地理解概念的實質(zhì)及價值。因此，教師不能認(rèn)為花費(fèi)一定時間講解這些背景是沒有價值的、是在浪費(fèi)有限的時間，因而便三言兩語草草了事或者根本不講背景，直接拿出定義，接著便是計算，一個例題接著一個例題，這是不妥當(dāng)?shù)?。再者從客觀實例引進(jìn)概念，也為以后應(yīng)用這些概念及有關(guān)理論去解決應(yīng)用問題作了一定的準(zhǔn)備。值得注意的是并非每一個概念都要求由實例引入，教師可靈活掌握。對于一些較易理解的概念也可以從的概念引出新的概念。例如：無窮小量可由極限概念中當(dāng)極限值為零時來得到，連續(xù)概念也可由極限概念中極限值等于函數(shù)值來得到。而原函數(shù)的概念自然而然的可由導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算引出。這些概念對于學(xué)生來說都是不難接受的?？傊还苁怯蓪嵗橄蟪龈拍钸€是由舊知識直接引出新概念，教師的主要目的應(yīng)該放在使學(xué)生理解概念的形成，掌握概念的內(nèi)涵上，所以所用的例子都不宜太復(fù)雜或者專業(yè)性太強(qiáng)，否那么會造成喧賓奪主，反而影響概念的形成與引出。三、數(shù)學(xué)概念的定義是概念屬性的表達(dá)高等數(shù)學(xué)中的概念的具體內(nèi)涵通常用定義的形式給出，有的概念還同時規(guī)定了所采用的符號。當(dāng)教師以實際問題或?qū)W生的原有知識為基礎(chǔ)抽象出概念以后，就應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解定義所指出概念的本質(zhì)屬性，從正面和反面等不通角度去反復(fù)領(lǐng)會，并利用自己的語言正確地表達(dá)概念。以導(dǎo)數(shù)的定義為例，教師應(yīng)該使學(xué)生層層深入，理解以下各點：第一、由于函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比當(dāng)時的極限，所以該函數(shù)必須在處及其一個領(lǐng)域內(nèi)有定義，否那么就不可導(dǎo)，比方：與在處就不可導(dǎo)。第二、函數(shù)增量與自變量的增量有不同的表示法。因此導(dǎo)數(shù)定義式也有不同的表示法。如：在處的導(dǎo)數(shù)可以分別表示為與等。當(dāng)極限不存在時此函數(shù)在該點不可導(dǎo)。第三、定義同時給出了求導(dǎo)數(shù)的三個步驟：①求函數(shù)增量②求函數(shù)增量與自變量增量之比③求極限，告訴學(xué)生按照這三步就可以求出一些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。高等數(shù)學(xué)中有不少概念的定義都明確指出了計算的方法與步驟，除上述導(dǎo)數(shù)外，連續(xù)概念、定積分概念、級數(shù)收斂性概念等都是如此。教師在進(jìn)行這類概念教學(xué)時應(yīng)該花費(fèi)一些力氣按定義指明的方法與步驟進(jìn)行有關(guān)的計算，以加強(qiáng)學(xué)生對這一概念的理解。同時教師也應(yīng)向?qū)W生指出按定義直接進(jìn)行計算一般是很困難的，因此有必要研究其性質(zhì)及別的計算法那么，這樣做就可以喚起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲望。當(dāng)然高等數(shù)學(xué)中并非所有的概念都是如此，有些概念的定義只是明確了概念的內(nèi)涵，而并沒有給出計算方法與步驟，如極限的精確定義、原函數(shù)與不定積分等等。教師在這類概念的教學(xué)中，為了加深學(xué)生的理解，一般都要按定義作一些驗證工作，如：證明，證明和都是的原函數(shù)。學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時往往有一個不良習(xí)慣，輕概念重計算，以為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)無非就是要會計算、會做題。常常有這樣的事情發(fā)生，有的學(xué)生學(xué)完了高等數(shù)學(xué)也知道卻說不清楚符號所表示確實切含義，更有甚者學(xué)完了高等數(shù)學(xué)卻不知道微商是什么。因此從始至終抓緊概念的教學(xué)是很重要的，這不僅要熟記定義的條文、定理的條件和結(jié)論，更重要的是透徹地掌握其本質(zhì)。四、在概念系統(tǒng)中學(xué)習(xí)概念教師經(jīng)常會遇到這樣的情況，有的學(xué)生學(xué)習(xí)一個概念時，以為明白了定義的本質(zhì)，但是假設(shè)把這個概念與其它有關(guān)概念放在一起時，就糊涂了，比方極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系，教師都會給學(xué)生講清楚，但學(xué)生一碰到下面的問題就舉棋不定，不知道從何寫起:設(shè)1)取何值時，在處連續(xù)？2)取何值時，在處可導(dǎo)？3)取何值時，的導(dǎo)數(shù)在處連續(xù)？為什么會出現(xiàn)這種情況呢？一方面是學(xué)生還沒有真正領(lǐng)會概念的本質(zhì)，有的學(xué)生當(dāng)時弄清楚了但缺乏鞏固措施，不久就忘了。另一方面是學(xué)生習(xí)慣孤立地學(xué)習(xí)概念，不善于把相關(guān)概念相比教，找出它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。因此，在進(jìn)行概念思維時就會出現(xiàn)“斷線”現(xiàn)象，無從下筆，或者寫不清楚。要解決這個問題，教師必須在概念系統(tǒng)中教會概念，學(xué)生必須在概念系統(tǒng)中學(xué)會概念。數(shù)學(xué)是由概念與命題等內(nèi)容按一定的邏輯關(guān)系組成的知識體系。概念與概念之間總有一定的內(nèi)在聯(lián)系，特別是一些相近的概念，其聯(lián)系更為突出，學(xué)生最易混淆。因此，教師在進(jìn)行概念教學(xué)時要不時的將這些概念與前面所學(xué)過的相近概念相比教，找出它們的聯(lián)系與區(qū)別，前面說的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、可微是如此，在此之后的四個中值定理更是如此?？傊?，把概念放在概念系統(tǒng)中教學(xué)是教師應(yīng)當(dāng)把握的教學(xué)規(guī)律。教師每講一個新概念，首先必須對這一概念的地位、作用以及與其它概念的聯(lián)系做到心中有數(shù)，使學(xué)生對已學(xué)過的概念能做到融會貫通，同時，又為今后要學(xué)的新概念埋下“伏”筆。最后要