第三章投影變換改

第三章投影變換改1第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三一、問題的提出當(dāng)直線或平面相對于投影面處于特殊位置(平行或垂直)時，可以方便地求出線段的實長、平面的實形以及相應(yīng)的傾角。當(dāng)直線或平面相對于投影面處于不利于解題的位置時，怎么辦？

變換投影面法(換面法)：將幾何元素與投影面的相對位置變換成處于有利于解題位置的方法稱為投影變換。解決方法：變換投影面。2第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三VHXABa'b'ab老投影體系V/H新投影面V1新投影體系V1/HX1新軸老軸a1'b1'新投影被替換的投影被保留的投影被保留的投影面被替換的投影面3第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三VHAB

a

bab二、新投影面的選擇原則1.新投影面必須對空間物體處于最有利的解題位置。2.新投影面必須垂直于某一保留的原投影面，以構(gòu)成一個相互垂直的兩投影面的新體系。Pa1b14第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三VHA

aaaxX⒈更換一次投影面

舊投影體系X—VH

新投影體系P1HX1—A點的兩個投影：a，aA點的兩個投影：a，a1⑴新投影體系的建立三、點的投影變換規(guī)律X1P1a1ax1VHXP1HX1

aaa1axax1.5第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三ax1VHXP1HX1

aaa1VHA

aaxXX1P1a1ax1⑵新舊投影之間的關(guān)系

aa1

X1a1ax1=aax點的新投影到新投影軸的距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。axa一般規(guī)律：點的新投影和與它有關(guān)的原投影的連線，必垂直于新投影軸。.6第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三XVHaaax更換H面⑶求新投影的作圖方法VHXP1HX1由點的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。aaX1P1Ha1axax1ax1更換V面●a1作圖規(guī)律：..7第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三⒉更換兩次投影面先把V面換成平面P1，P1H，得到中間新投影體系:P1HX1—再把H面換成平面P2，P2P1，得到新投影體系:

X2—P1

P2⑴新投影體系的建立按次序更換AaVH

aaxXX1P1a1ax1P2X2ax2a28第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三ax2

aaXVH⑵求新投影的作圖方法a2X1HP1X2P1P2

作圖規(guī)律

a2a1X2軸

a2ax2=aax1a1axax1..9第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三VHAB

a

bab四、換面法的六個基本問題1.把一般位置直線變換成投影面平行線用P1面代替V面，在P1/H投影體系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空間分析：不行！作圖：例：求直線AB的實長及與H面的夾角。

a

babXVH新投影軸的位置？a1●b1●與ab平行。.換H面行嗎？10第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三2將投影面的平行線變換為投影面的垂直線功用:可用于求點與直線,兩直線間的距離等。問題的關(guān)鍵：新軸要垂直于反映實長的那個投影。VHXABa'b'abX1H1a1'b1'X1H1Va1b1XVHaba'b'11第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三a1●b1●VH

aaXB

bbA3.把一般位置直線變換成投影面垂直線空間分析：a

babXVHX1H1P1作圖：X1P1a1b1X2P2二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X2軸的位置？a2b2ax2a2b2P2P1X2.與a1b1垂直一次換面把直線變成投影面平行線；一般位置直線變換為投影面垂直線12第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三例1

已知等腰三角形ABC的底邊為AB，試用換面法求出等腰三角形ABC的正面投影。a'b'XVHcabX1HV1b1'c1'a1'c'ee1′13第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三功用：可求解平面與投影面的傾角，點與平面的距離，兩平行面間的距離等。4.把一般位置平面變換成投影面垂直面問題的關(guān)鍵：在平面上作一條投影面平行線，新軸必須垂直與該平行線反映實長的那個投影。14第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？

a

b

cabcdVHABCDX

d如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。

P1X1c1b1

a1d1空間分析：在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進(jìn)行一次變換？思考：若變換H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？正平線！15第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三α

a

b

cacbXVH例：把三角形ABC變換成投影面垂直面。HP1X1作圖過程：★在平面內(nèi)取一條水平線AD。dd★將AD變換成新投影面的垂直線。d1●a1d1●c1●反映平面對哪個投影面的夾角？.16第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三

5.將投影面的垂直面變成投影面的平行面功用：一次換面后可求解平面實形、形心、兩直線交角等

問題的關(guān)鍵：新投影軸必須平行于該平面的積聚性投影。HVb'a'c'V1ABCbaa1'c1'b1'X1c17第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三a1b1●需經(jīng)幾次變換？一次換面,把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；二次換面，再變換成新投影面的平行面。X2P1P26.把一般位置平面變換成投影面平行面ab

a

c

bXVHc作圖：AB是水平線空間分析：a2●c2●b2●c1●X2軸的位置？平面的實形.X1HP1.與其平行18第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三例3已知直線AB與CDE平面平行，且相距20mm，求直線AB的水平投影。XVHedcd'e'c'a'b'a1b1X1VH1c1e1d1ba20mm19第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三1、求直線實長和與投影面的傾角將直線變換成投影面的平行線。2、求平面實形和形心將平面變換成投影面的平行面。3、求平面與投影面的傾角將平面變換成投影面的垂直面。4、求距離（1）點與直線之間

a將直線變換成投影面垂直線。

b將點與直線組成的平面變換成投影面的平行面。五、換面法的應(yīng)用20第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三（2）點與平面之間將平面變換成投影面垂直面。（3）兩平行線之間將兩直線變換成投影面垂直線。（4）兩平行平面之間將兩平面變換成投影面垂直面。

5、求夾角（1）兩直線之間將兩直線組成的平面變換成投影面平行面。（2）兩平面之間將兩平面變換成投影面的垂直面，即應(yīng)將兩平面的交線變換成投影面的垂直線。21第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三b1距離dd1X1HP1X2P1P2c2

d例1：求點C到直線AB的距離，并求垂足D。cc

b

aabXVH如下圖：當(dāng)直線AB垂直于投影面時，CD平行于投影面，其投影反映實長。APBDCcabd作圖:求C點到直線AB的距離，就是求垂線CD的實長。空間及投影分析：c1a1a2b2d2過c1作線平行于x2軸。...如何確定d1點的位置？22第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三baabcd●c例2：已知兩交叉直線AB和CD的公垂線的長度為MN，且AB為水平線，求CD及MN的投影。MN●m●d●a1≡b1≡m1●n1●c1●d1●n空間及投影分析：VHXHP1X1圓半徑=MN●n●m當(dāng)直線AB垂直于投影面時，MN平行于投影面，這時它的投影m1n1=MN,且m1n1⊥c1d1。P1ACDNMc1d1a1m1b1n1B作圖：請注意各點的投影如何返回？求m點是難點。..23第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三空間及投影分析：AB與CD都平行于投影面時，其投影的夾角才反映實大（60°），因此需將AB與C點所確定的平面變換成投影面平行面。例3:過C點作直線CD與AB相交成60o角。

dX1HP1X1P1P2ab

a

c

bXVHc作圖：c2●●●c1●a1b1●a2●d2●d●b2●

幾個解？兩個解！

已知點C是等邊三角形的頂點，另兩個頂點在直線AB上，求等邊三角形的投影。思考：如何解？解法相同！60°D點的投影如何返回？..24第24頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三P2P1X2HP1X1cdbadacb●d1●c1●a1●d2●b1c2●●a2≡

b2θVHXθ例4：求平面ABC和ABD的兩面角?？臻g及投影分析：由幾何定理知：兩面角為兩平面同時與第三平面垂直