陜西省高考數(shù)學(xué)二模試卷理科含解析

陜西省高考數(shù)學(xué)二模試卷理科含剖析陜西省高考數(shù)學(xué)二模試卷理科含剖析PAGEPAGE19陜西省高考數(shù)學(xué)二模試卷理科含剖析PAGE

2020年陜西省高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的）1．設(shè)會(huì)集M={x|}，函數(shù)f（x）=ln（1﹣）的定義域?yàn)镹，則M∩N為（）A．[1]B．[1C0]D．（0，），，）．（，2．已知命題p：?x∈R，log3x≥0，則（）Apx∈R，log3x≤0B．￢p：?x∈R，log3x≤0．￢：?C．￢p：?x∈R，log3x＜0D．￢p：?x∈R，log3x＜03．若tanα=，則sin4α﹣cos4α的值為（）A．﹣B．﹣C．D．4．等比數(shù)列n}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S32+10a1，a51）{a=a=9，則a=（A．B．C．D．

5．某幾何體的三視圖以以以下列圖，則此幾何體的體積是（）

A．28πB．32πC．36πD．40π

6．將除顏色外圓滿同樣的一個(gè)白球、一個(gè)黃球、兩個(gè)紅球分給三個(gè)小朋友，且每個(gè)小朋友

最少分得一個(gè)球的分法有（）種．

A．15B．18C．21D．24

7．已知拋物線C：y2=x的焦點(diǎn)為F，A（x0，y0）是C上一點(diǎn)，若|AF|=x0，則x0等于（）

A．1B．2C．4D．8

8．假如履行以以以下列圖的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)S等于（）

第1頁(yè)（共19頁(yè)）

A．B．C．D．

9．曲線y=e在點(diǎn)（6，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）

A．B．3e2C．6e2D．9e2

10．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象以以以下列圖，且f

（α）=1，α∈（0，），則cos（2）=（）

A．B．C．﹣D．

11．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對(duì)隨意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有

，則（）

A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）

D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）12．若直線l1：y=x，l2：y=x+2與圓C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四個(gè)交點(diǎn)把圓C分紅的四條弧長(zhǎng)相等，則m=（）A．0或1B．0或﹣1C．1或﹣1D．0二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13（x+cosx）dx=_______．．14．已知單位向量，的夾角為60°，則向量與的夾角為_(kāi)______．2+8b2bababR恒建立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)______．15．不等式a≥λ（+）對(duì)于隨意的，∈16．已知F是雙曲線C：x2﹣=1的右焦點(diǎn)，若P是C的左支上一點(diǎn)，A（0，6）是y軸上一點(diǎn)，則△APF面積的最小值為_(kāi)______．三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為abcac=3，b=3．在△，，．已知+．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大?。?/p>

第2頁(yè)（共19頁(yè)）

18．“開(kāi)門大吉”是某電視臺(tái)推出的游戲節(jié)目．選手面對(duì)1～8號(hào)8扇大門，挨次按響門上的

門鈴，門鈴會(huì)播放一段音樂(lè)（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確

答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對(duì)應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金．在一次場(chǎng)外檢查中，發(fā)現(xiàn)參賽選

手大多在以下兩個(gè)年齡段：21～30，31～40（單位：歲），統(tǒng)計(jì)這兩個(gè)年齡段選手答對(duì)歌曲名稱與否的人數(shù)以以以下列圖．

1）寫出2×2列聯(lián)表，并判斷能否有90%的掌握以為答對(duì)歌曲名稱與否和年齡有關(guān)，說(shuō)明你的原由．（下邊的臨界值表供參照）

P（K2≥k0）k0（2）在統(tǒng)計(jì)過(guò)的參照選手中按年齡段分層采用9名選手，并抽取3名好運(yùn)選手，求3名幸運(yùn)選手中在21～30歲年齡段的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)希望．（參照公式：K2=，此中n=a+b+c+d）

19．如圖①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．將△ABC沿BC邊上的高AD折成一個(gè)如圖②所示的四周體A﹣BCD，使得圖②中的BC=11．

（1）求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值；

（2）在四周體A﹣BCD的棱AD上能否存在點(diǎn)P，使得?=0？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)P的

地點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)給出證明．

20．設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓23y2=6的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，且PQ是橢圓C上C：x+，不同樣樣的兩點(diǎn)，（I）若直線PQ過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2，且傾斜角為30°，求證：|FPPQ|、|QF1|成等1|、|差數(shù)列；（Ⅱ）若P，Q兩點(diǎn)使得直線OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比數(shù)列．求直線PQ的斜率．21．設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣lnx．

1）求證：函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0；

2）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜；

3）求證：f（x）＞對(duì)x∈（0，+∞）恒建立．

（參照數(shù)據(jù)：e≈，ln2≈，ln3≈，ln5≈，ln7≈）．

第3頁(yè)（共19頁(yè)）

[選修4-1：幾何證明選講]

22．如圖，已知AB為⊙O的直徑，C，F(xiàn)為⊙O上的兩點(diǎn)，OC⊥AB，過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線FD交AB的延伸線于點(diǎn)D，連接CF交AB于點(diǎn)E．求證：DE2．?

[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]：x2+y2：（x﹣2）2+y223．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1．=4，圓C2=4（Ⅰ）在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別求圓C1與圓C2的極坐標(biāo)方程及兩圓交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（Ⅱ）求圓C1與圓C2的公共弦的參數(shù)方程．

[選修4-5：不等式選講]

24．已知函數(shù)f（x）=|x+1|﹣2|x|．

1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；

2）若存在實(shí)數(shù)x滿足f（x）=log2a，務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍．

第4頁(yè)（共19頁(yè)）

2020年陜西省高考數(shù)學(xué)二模試卷（理科）

參照答案與試題剖析

一、選擇題（本大題共12個(gè)小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的）1M=x}，函數(shù)fx）=ln1﹣）的定義域?yàn)镹，則MN）．設(shè)會(huì)集{|（（∩為（A．[，1]B．[1C0]D0，），）．（，．（【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【剖析】先分別求出會(huì)集M和會(huì)集N，今后再求出會(huì)集M∩N．．【解答】解：會(huì)集M={x|}=[，3），函數(shù)f（x）=ln（1﹣）=[0，1），

則M∩N=[，1），應(yīng)選：B．

2．已知命題p：?x∈R，log3x≥0，則（）Apx∈R，log3x≤0B．￢p：?x∈R，log3x≤0．￢：?C．￢p：?x∈R，log3x＜0D．￢p：?x∈R，log3x＜0【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假．【剖析】利用命題的否定即可判斷出．【解答】解：命題p：?x∈R，log3x≥0，則￢p：?x∈R，log3x＜0．應(yīng)選：C．3．若tanα=，則sin4α﹣cos4α的值為（）A．﹣B．﹣C．D．【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．

【剖析】由條件利用平方差公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得要求式子的值．

【解答】解：∵tan，則sin4α﹣cos4α=（sin2α+cos2α）?（sin2α﹣cos2α）=sin2α﹣cos2α

===﹣，

應(yīng)選：B．

4}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3=a2+10a1，a51an=9，則a=（）．等比數(shù)列{A．B．C．D．

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．

第5頁(yè)（共19頁(yè)）

【剖析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，利用已知和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可獲得

，解出即可．

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，

∵S3=a2+10a1，a5=9，

∴，解得．

∴．

應(yīng)選C．

5．某幾何體的三視圖以以以下列圖，則此幾何體的體積是（）

A．28πB．32πC．36πD．40π【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【剖析】由三視圖可知幾何體是一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，求解其體積相加即可．【解答】解：圖為三視圖復(fù)原的幾何體是一圓臺(tái)和一個(gè)圓柱的組合體，圓柱的底面半徑為2，高為2，體積為：22π?2=8π．圓臺(tái)的底面半徑為4，上底面半徑為2，高為3，體積為：=28π，幾何體的體積為：36π．應(yīng)選：C．

6．將除顏色外圓滿同樣的一個(gè)白球、一個(gè)黃球、兩個(gè)紅球分給三個(gè)小朋友，且每個(gè)小朋友

最少分得一個(gè)球的分法有（）種．

A．15B．18C．21D．24【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【剖析】把4個(gè)小球分紅（2，1，1）組，此中2個(gè)小球分給同一個(gè)小朋友的有4種方法（紅紅，紅黃，紅白，白黃），分兩類，依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得．【解答】解：把4個(gè)小球分紅（2，1，1）組，此中2個(gè)小球分給同一個(gè)小朋友的有4種方法（紅紅，紅黃，紅白，白黃），若（紅紅，紅黃，紅白）分給此中一個(gè)小朋友，則剩下的兩個(gè)球分給2個(gè)小朋友，共有3×3×A22=18種，若（白黃兩個(gè)小球）分給此中一個(gè)小朋友，剩下的兩個(gè)紅色小球只有1種分法，故有3×1=3種，依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可得，共有183=21種．+第6頁(yè)（共19頁(yè)）

應(yīng)選：C．2y0）是C上一點(diǎn)，若|AF=x0，則x0等于（）7．已知拋物線C：y=x的焦點(diǎn)為F，A（x0，|A．1B．2C．4D．8【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【剖析】利用拋物線的定義、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式即可得出．【解答】解：拋物線C：y2=x的焦點(diǎn)為F（，0）∵A（x0，y0）是C上一點(diǎn)，|AF|=x0，∴x0=x0+，解得x0=1．

應(yīng)選：A．

8．假如履行以以以下列圖的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)S等于（）

A．B．C．D．

【考點(diǎn)】程序框圖．

【剖析】由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是計(jì)算出輸出S=++

++的值，利用裂項(xiàng)相消法，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框圖可知，該程序的功能是計(jì)算出輸出S=++++的值，∵S=++++=1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣

=1﹣=，

應(yīng)選：B．

第7頁(yè)（共19頁(yè)）

9．曲線y=e在點(diǎn)（6，e2）處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為（）A．B．3e2C．6e2D．9e2【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【剖析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，分別令x=0，y=0求得與y，x軸的交點(diǎn)，運(yùn)用三角形的面積公式計(jì)算即可獲得所求值．【解答】解：y=e的導(dǎo)數(shù)為y′=e，

可得在點(diǎn)（6，e2）處的切線斜率為e2，

即有在點(diǎn)（6，e2）處的切線方程為y﹣e2=e2（x﹣6），

即為y=e2x﹣e2，

令x=0，可得y=﹣e2；令y=0，可得x=3．

即有切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為?3?e2=e2．應(yīng)選：A．

10．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象以以以下列圖，且f

（α）=1，α∈（0，），則cos（2）=（）

A．B．C．﹣D．

【考點(diǎn)】正弦函數(shù)的圖象．

【剖析】由圖象可得A值和周期，由周期公式可得ω，代入點(diǎn)（，﹣3）可得φ值，可

得剖析式，再由f（α）=1和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得．

【解答】解：由圖象可得A=3，=4（﹣），解得ω=2，故f（x）=3sin（2x+φ），代入點(diǎn)（，﹣3）可得3sin（+φ）=﹣3，故sin（+φ）=﹣1，+φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣，k∈Z0k=1=，故fx）=3sin（2x+），聯(lián)合＜φ＜π可適合時(shí)，φ（第8頁(yè)（共19頁(yè)）

∵f（α）=3sin（2α+）=1，∴sin（2α+）=，∵α∈（0，2∈（，），），∴α+∴cos（2）=﹣=﹣，應(yīng)選：C．11．定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足：對(duì)隨意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，則（）

A．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）

D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）

【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)單一性的判斷與證明．

【剖析】依據(jù)奇偶性可知f（﹣2）=f（2），今后依據(jù)題目條件獲得函數(shù)f（x）在[0，+∞）

上是減函數(shù)，從而獲得f（1）、f（2）、f（3）的大小關(guān)系，獲得結(jié)論．

【解答】解：∵f（x）是偶函數(shù)

∴f（﹣2）=f（2）

又∵隨意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有

∴f（x）在[0，+∞）上是減函數(shù)

又∵1＜2＜3

f（1）＞f（2）＞f（3）即f（1）＞f（﹣2）＞f（3）應(yīng)選C．

12．若直線l1：y=xl2：y=x2與圓Cx2y22mx﹣2ny=0的四個(gè)交點(diǎn)把圓C分紅的四條，+：+﹣弧長(zhǎng)相等，則m=（）A．0或1B．0或﹣1C．1或﹣1D．0【考點(diǎn)】直線與圓的地點(diǎn)關(guān)系．【剖析】直線l1∥l2，且l1、l2把⊙C分紅的四條弧長(zhǎng)相等，⊙C可化為（x﹣m）2+（y﹣n）22n2m=0，n=1時(shí)及當(dāng)m=1n=0時(shí)，滿足條件．=m+，當(dāng)﹣，【解答】解：∵l1：y=x，l2：y=x+2與圓C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0，∴直線l1∥l2，且l1、l2把⊙C分紅的四條弧長(zhǎng)相等，

畫出圖形，以以以下列圖．

又⊙C可化為（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，

當(dāng)m=0，n=1時(shí)，圓心為（0，1），半徑r=1，

此時(shí)l1、l2與⊙C的四個(gè)交點(diǎn)（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分紅的四條弧長(zhǎng)

相等；

當(dāng)m=﹣1，n=0時(shí)，圓心為（﹣1，0），半徑r=1，

此時(shí)l1、l2與⊙C的四個(gè)交點(diǎn)（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C分紅的四條弧長(zhǎng)相等；

第9頁(yè)（共19頁(yè)）

應(yīng)選：B．

二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）

13．（x+cosx）dx=．

【考點(diǎn)】定積分．

【剖析】依據(jù)定積分的計(jì)算法規(guī)計(jì)算即可．

【解答】解：（x2+sinx）|=

故答案為：．

14．已知單位向量，的夾角為60°，則向量與的夾角為．

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)目積的運(yùn)算．

【剖析】分別求出|+|，||，（+）（），從而代入求余弦值，從而求角．【解答】解：∵單位向量，的夾角為60°，∴|+|===，||==，（+）（）=﹣?﹣2+=﹣﹣2+1=﹣，設(shè)向量與的夾角為θ，則cosθ==﹣，故θ=，

第10頁(yè)（共19頁(yè)）

故答案為：．

28b2babab∈R恒建立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為815．不等式a+≥λ（+）對(duì)于隨意的，[﹣，4．]【考點(diǎn)】函數(shù)恒建立問(wèn)題．

【剖析】由已知可得a2﹣λba﹣（λ﹣8）b2≥0，聯(lián)合二次不等式的性質(zhì)可得△2=λ+4λ﹣32≤0，可求【解答】解：∵a2+8b2≥λb（a+b）對(duì)于隨意的a，b∈R恒成a2+8b2﹣λb（a+b）≥0對(duì)于隨意的a，b∈R恒成即a2﹣（λb）a+（8﹣λ）b2≥0恒建立，由二次不等式的性質(zhì)可得，△22=λ+4（λ﹣8）=λ+4λ﹣32≤0∴（λ+8）（λ﹣4）≤0

解不等式可得，﹣8≤λ≤4

2=λ+4（λ﹣8）

故答案為：[﹣8，4]

16．已知F是雙曲線C：x2﹣=1的右焦點(diǎn)，若P是C的左支上一點(diǎn)，A（0，6）是y軸上一點(diǎn)，則△APF面積的最小值為6+9．【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【剖析】求得雙曲線的焦點(diǎn)，直線AF的方程以及AF的長(zhǎng)，設(shè)直線y=﹣2xt+與雙曲線相切，且切點(diǎn)為左支上一點(diǎn)，聯(lián)立雙曲線方程，消去y，由鑒別式為0，求得m，再由平行直線的距離公式可得三角形的面積的最小值．【解答】解：雙曲線C：x2﹣=1的右焦點(diǎn)為（3，0），由A（0，6），可得直線AF的方程為y=﹣2x+6，|AF|==15，設(shè)直線y=﹣2x+t與雙曲線相切，且切點(diǎn)為左支上一點(diǎn)，聯(lián)立，可得16x2﹣4tx+t2+8=0，

由鑒別式為0，即有96t2﹣4×16（t2+8）=0，

解得t=﹣4（4舍去），

可得P到直線AF的距離為d==，即有△APF的面積的最小值為d?|AF|=××15=6+9．故答案為：69．+三、解答題（本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為abcac=3b=3．在△，，．已知+，．第11頁(yè)（共19頁(yè)）

（I）求cosB的最小值；

（Ⅱ）若=3，求A的大小．

【考點(diǎn)】平面向量數(shù)目積的運(yùn)算；正弦定理；余弦定理．

【剖析】（I）依據(jù)基本不等式求出ac的最大值，利用余弦定理得出cosB的最小值；

（II）利用余弦定理列方程解出a，c，cosB，使用正弦定理得出sinA．

【解答】解：（I）在△ABC中，由余弦定理得cosB==

=．

∵ac≤（）2=．

∴當(dāng)ac=時(shí)，cosB獲得最小值．

II）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB．

=accosB=3．

9=a2+c2﹣6，∴a2+c2=15．

又∵a+c=3，∴ac=6．

∴a=2，c=或a=，c=2．

∴cosB=，sinB=．

由正弦定理得，

∴sinA==1或．

A=或A=．

18．“開(kāi)門大吉”是某電視臺(tái)推出的游戲節(jié)目．選手面對(duì)1～8號(hào)8扇大門，挨次按響門上的門鈴，門鈴會(huì)播放一段音樂(lè)（將一首經(jīng)典流行歌曲以單音色旋律的方式演繹），選手需正確答出這首歌的名字，方可獲得該扇門對(duì)應(yīng)的家庭夢(mèng)想基金．在一次場(chǎng)外檢查中，發(fā)現(xiàn)參賽選手大多在以下兩個(gè)年齡段：21～30，31～40（單位：歲），統(tǒng)計(jì)這兩個(gè)年齡段選手答對(duì)歌曲名稱與否的人數(shù)以以以下列圖．（1）寫出2×2列聯(lián)表，并判斷能否有90%的掌握以為答對(duì)歌曲名稱與否和年齡有關(guān)，說(shuō)明你的原由．（下邊的臨界值表供參照）P（K2≥k0）k0（2）在統(tǒng)計(jì)過(guò)的參照選手中按年齡段分層采用9名選手，并抽取3名好運(yùn)選手，求3名幸運(yùn)選手中在21～30歲年齡段的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)希望．（參照公式：K2n=abcd，此中+++）

第12頁(yè)（共19頁(yè)）

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用．

【剖析】（1）依據(jù)所給的二維條形圖獲得列聯(lián)表，利用公式求出k2=3＞，即可得出結(jié)論．

2）設(shè)3名選手中在20～30歲之間的人數(shù)為ξ，可能取值為0，1，2，3，求出概率，列出分布列，求解希望即可．

【解答】解：（1）2×2列聯(lián)表

正確錯(cuò)誤共計(jì)2130103040～31～40107080共計(jì)20100120∴K2==3＞

有90%的掌握以為猜對(duì)歌曲名稱與否和年齡有關(guān)．﹣﹣﹣﹣﹣﹣

（2）依據(jù)分層抽樣方法可知：21～30（歲）抽取3人，31～40（歲）抽取6人．

設(shè)3名選手中在21～30歲之間的人數(shù)為ξ，可能取值為0，1，2，3﹣﹣﹣﹣

P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．﹣﹣﹣﹣﹣ξD的分布列ξ0123P

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

E（ξ）=0×+1×+2×+3×=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣

19．如圖①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．將△ABC沿BC邊上的高AD折成一個(gè)如圖②所示的四周體A﹣BCD，使得圖②中的BC=11．

（1）求二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值；

（2）在四周體A﹣BCD的棱AD上能否存在點(diǎn)P，使得?=0？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)P的

地點(diǎn)；若不存在，請(qǐng)給出證明．

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【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；平面向量數(shù)目積的運(yùn)算．

【剖析】（1）依據(jù)圖象折以前和折今后的邊長(zhǎng)關(guān)系，聯(lián)合二面角的定義進(jìn)行求解．

（2）假設(shè)在四周體A﹣BCD的棱AD上存在點(diǎn)P，使得依據(jù)向量數(shù)目積的定義聯(lián)合向量的運(yùn)算法規(guī)進(jìn)行化簡(jiǎn)求解．【解答】解：（1）由已知AD⊥BD，AD⊥CD，故二面角B﹣AD﹣C的平面角為∠BDC，在圖①，設(shè)BD=x，AD=h，則CD=14﹣x，在△ABD與△ACD中，分別用勾股定理得x2+h2=152，（14﹣x）2+h2=132，得x=9，h=12，從而AD=12，BD=9，CD=5，

在圖②的△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2﹣2BD?CDcos∠BDC，

即112=92+52﹣2×9×5cos∠BDC，則cos∠BDC=﹣，即二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值是﹣．（2）假設(shè)在四周體A﹣BCD的棱AD上存在點(diǎn)P，使得，則0==+）?（=2+?+?+?=20095×（﹣）（+）+++×2﹣，

則||=＜12，符號(hào)題意，即在棱AD上存在點(diǎn)P，使得，此時(shí)||=．20．設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：x2+3y2=6的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)，且P，Q是橢圓C上2不同樣樣的兩點(diǎn)，（I）若直線PQ過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2，且傾斜角為30°，求證：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差數(shù)列；（Ⅱ）若P，Q兩點(diǎn)使得直線OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比數(shù)列．求直線PQ的斜率．【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【剖析】（I）求得橢圓的a，b，c，設(shè)出直線PQ的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式可得|PQ|，再由橢圓的定義可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，可得結(jié)論；（Ⅱ）設(shè)出直線PQ的方程，代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和鑒別式大于0，由等比數(shù)列的中項(xiàng)的性質(zhì)，聯(lián)合直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，解方程即可獲得直線PQ的斜率．

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I）證明：x23y2=6即為+=1，【解答】解：（+

即有a=，b=，c==2，

由直線PQ過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F2（2，0），且傾斜角為30°，

可得直線PQ的方程為y=（x﹣2），

代入橢圓方程可得，x2﹣2x﹣1=0，

即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，

由弦長(zhǎng)公式可得|PQ|=?

=?=，由橢圓的定義可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4，可得|F1P|+|QF1|=4﹣==2|PQ|，則有|F1PPQ|、|QF1|成等差數(shù)列；|、|x23y2（Ⅱ）設(shè)直線PQ的方程為y=kxm+，代入橢圓方程+=6，消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0，則△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2）=12（6k2﹣m2+2）＞0，

x1+x2=﹣，x1x2=，

故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，

∵直線OP、PQ、OQ的斜率挨次成等比數(shù)列，

∴?==k2，

即km（x+x）+m22=012，即有﹣，+

因?yàn)閙≠0，故k2=，

∴直線PQ的斜率k為±．

21．設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣lnx．1）求證：函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0；

2）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜；

3）求證：f（x）＞對(duì)x∈（0，+∞）恒建立．

（參照數(shù)據(jù)：e≈，ln2≈，ln3≈，ln5≈，ln7≈）．

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．

第15頁(yè)（共19頁(yè)）

【剖析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，依據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單一性，求出零點(diǎn)的范圍，從而證出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出零點(diǎn)的范圍，即極值點(diǎn)的范圍，求出滿足條件的零點(diǎn)的近似值即可；

3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，獲得函數(shù)零點(diǎn)的范圍，聯(lián)合函數(shù)的單一性證明即可．【解答】（1）證明：f（x）的定義域是（0，+∞），f′（x）=ex﹣，

∵函數(shù)y=ex和y=﹣在（0，+∞）均遞加，

∴f′（x）在（0，+∞）遞加，

而f′（）=﹣2＜0，f′（1）=e﹣1＞0，

∴f′（x）在（，1）上存在零點(diǎn)，記x0，

且f′（x）在x0左右雙側(cè)的函數(shù)值異號(hào)，綜上，f′（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)x0，即函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)極值點(diǎn)x0；

（2）解：∵ln=ln5﹣ln3≈＜?＞，

且f′（x）在[，]上的圖象連續(xù)，

f′（）＜0，f′（）=﹣＞0，

∴f′（x）的零點(diǎn)x0∈（，），

即f（x）的極值點(diǎn)x0∈（，），即x0∈（，），

x0的近似值x′可以取x′，

此時(shí)的x′滿足|x′﹣x0|＜﹣；

（3）證明：∵ln=ln7﹣2ln2≈＜?＞，

且f′（x）在[，]上圖象連續(xù)，

f′（）＜0，f′（）=﹣＞0，

∴f′（x）的零點(diǎn)x0∈（，），

f（x）的極值點(diǎn)x0∈（，）?x0＜，

1f′x0）=﹣=0，由（）知：（且f（x）的最小值是f（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，

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∵函數(shù)g（x）=﹣lnx在（0，+∞）遞減，且x0＜，

∴g（x0）＞g（）﹣（2ln2﹣ln7）≈＞，

∴f（x）≥f（x0）=﹣lnx0＞對(duì)x∈（0，+∞）恒建立．

[選修4-1：幾何證明選講]

22．如圖，已知AB為⊙O的直徑，C，F(xiàn)為⊙O上的兩點(diǎn)，OC⊥AB，過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線FD交AB的延伸線于點(diǎn)D，連接CF交AB于點(diǎn)E．求證：DE2=DA?DB．

【考點(diǎn)】與圓有