高考數(shù)學立體幾何含

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1.（本小題14分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點，AB=BC=5，AC=AA1=2．

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BEF；

（Ⅱ）求二面角B-CD-C1的余弦值；

（Ⅲ）證明：直線FG與平面BCD訂交．

【剖析】（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，QCC1平面ABC，四邊形A1ACC1為矩形．又E，F(xiàn)分別為AC，A1C1的中點，ACEF，QABBC，ACBE，AC平面BEF．（2）由（1）知ACEF，ACBE，EF∥CC1．又CC1平面ABC，EF平面ABC．QBE平面ABC，EFBE．如圖成立空間直角坐稱系Exyz．由題意得B0,2,0，C1,0,0，D1,0,1，F(xiàn)0,0,2，G0,2,1，uuur,uur1,2,0CB=，設平面BCD的法向量為na,b,c，CD=2,01，nuuur0CD2ac0nuur，，CB0a2b0令a2，則b1，c4，平面BCD的法向量n2,1，,4，uuruurnuur21又Q平面CDC10,2,0，cosnEB=．的法向量為EB=EBuur21nEB由圖可得二面角BCDC1為鈍角，因此二面角BCDC1的余弦值為21．213）平面

uuur

GF=0,

BCD的法向量為n2,1,4，QG0,2,1，F(xiàn)0,0,2，uuur2，uuur2,1，nGFn與GF不垂直，GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，GF與平面BCD訂交

2．（本小題14分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD平面ABCD，

PAPD，PAPD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．

1）求證：PEBC；

2）求證：平面PAB平面PCD；

3）求證：EF∥平面PCD．

【剖析】（1）QPAPD，且E為AD的中點，PEAD，Q底面ABCD為矩形，BC∥AD，PEBC．（2）Q底面ABCD為矩形，ABAD，Q平面PAD平面ABCD，AB平面PAD，ABPD．又PAPD，QPD平面PAB，平面PAB平面PCD．（3）如圖，取PC中點G，連結FG，GD．QF，G分別為PB和PC的中點，F(xiàn)G∥BC，且FG1，BC2Q四邊形ABCD為矩形，且E為AD的中點，ED∥BC，DE1BC，2ED∥FG，且EDFG，四邊形EFGD為平行四邊形，EF∥GD，又EF平面PCD，GD平面PCD，EF∥平面PCD．為正方形，E,F分別為AD,BC的中點，以．（12分）如圖，四邊形ABCDDF為折痕3把△DFC折起，使點C抵達點P的地址，且PFBF.（1）證明：平面PEF平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

解答：（1）E,F分別為AD,BC的中點，則EF//AB，∴EFBF，又PFBF，EFPFF，∴BF平面PEF，BE平面ABFD，∴平面PEF平面ABFD.（2）PFBF，BF//ED，∴PFED，又PFPD，EDDPD，∴PF平面PED，∴PFPE，設AB4，則EF4，PF2，∴PE23，過P作PHEF交EF于H點，由平面PEF平面ABFD，∴PH平面ABFD，連結DH，則PDH即為直線DP與平面ABFD所成的角，

由PE232，PFEFPH，∴PH43而PD4，∴sinPDHPH3，PD4∴DP與平面ABFD所成角的正弦值3.44．（12分）如圖，在三棱錐PABC中，ABBC22，PAPBPCAC4，O為AC的中點．

（1）證明：

（2）若點M

正弦值．

PO在棱

平面ABC；

BC上，且二面角

M

PA

C為30

，求

PC

與平面

PAM

所成角的

P

AOCBM【剖析】（1）因為APCPAC4，O為AC的中點，因此OPAC，且OP23，連結OB．因為ABBC22AC，因此△ABC為等腰直角三角形，且OBAC，OB1AC2，由OP2OB2PB2知POOB，2由OPOB,OPAC知PO平面ABC．uuurOxyz．（2）如圖，以O為坐標原點，OB的方向為x軸正方向，成立空間直角坐標系由已知得O0,0,0，B2,0,0，A0,2,0，C0,2,0，P0,0,2uuur0,2,233，AP，uuuruuur取平面PAC的法向量OB2,0,0，設Ma,2a,00a2，則AMa,4a,0，設平面PAM的法向量為nx,y,zuuruuurn0，．由APn0，AM得2y23z00，可取n3a4,3a,a，ax4aycosuuur23a4uuur3，OB,n222，由已知得cosOB,n23a43aa223a43，解得a4（舍去），a4，23a423a2a223n83,43,4uuur0,2,23，因此cosuuur3．，又QPCPC,n3334因此PC與平面PAM所成角的正弦值為3．45．（12分）如圖，邊長為?M是2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直，?，D的點．CD上異于C（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；（2）當三棱錐MABC體積最大時，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．

解答：（1）∵正方形ABCD半圓面CMD，∴AD半圓面CMD，∴AD平面MCD.∵CM在平面MCD內(nèi)，∴ADCM，又∵M是半圓弧CD上異于C,D的點，∴CMMD.又∵ADIDMD，∴平面ADM，∵在平面BCM內(nèi)，∴平面CMCMBCM平面ADM.

（2）如圖成立坐標系：∵SABC面積恒定，∴MOCD，VMABC最大.M(0,0,1)，A(2,1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，D(0,1,0),urr設面MAB的法向量為m(x1,y1,z1)，設面MCD的法向量為n(x2,y2,z2)，uuur(2,1,1)，MB(2,1,1)，MAMC(0,1,1)，MD(0,1,1)，2x1y1z10ur(1,0,2)，2x1ry1z10m同理n(1,0,0)，，∴cos15255，∴sin5.56.（此題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知圓錐的極點為P，底面圓心為O，半徑為21）設圓錐的母線長為4，求圓錐的體積；

2）設PO=4，OA，OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點，如圖，求異面直線PM與OB所成的角的大小.

7.(本小題滿分13分)如圖，AD∥BC且AD=2BC，CD,EG∥AD且EG=AD，且CD=2FG，ADCD∥FG

DG平面ABCD，DA=DC=DG=2.MN∥平面CDE；（I）若M為CF的中點，N為EG的中點，求證：（II）求二面角EBCF的正弦值；（III）若點P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長.

【剖析】依題意，能夠成立以D為原點，uuuruuuruuur分別以DA，DC，DG的方向為x軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標系（如圖），可得D0,0,0，A2,0,0，B1,2,0，C0,2,0，E2,0,2，F(xiàn)0,1,2，G0,0,2，M0,3，N1,0,2．,12uuur0,2,0uuur2,0,2．（1）依題意DC，DEuuurn0設n0x,y,z為平面CDE的法向量，則DC02y0，n0uuur即2x2zDE00沒關系令z–1，可得n01,0,1．uuuur1,-3,1uuuurn00，又MN，可得MN2又因為直線MN平面CDE，因此MN∥平面CDE．（2）依題意，可得uuur–1,0,0uuur1,2,2uuur0,1,2BC，BE，CF．nuuur0x0設nx,y,z為平面BCE的法向量，則BC即，nuuur02y2zBEx0沒關系令z1，可得n0,1,1．uuurm0x0設mx,y,z為平面BCF的法向量，則BC，muuur即y2zBF00沒關系令z1，可得m0,2,1．因此有cosm,nmn310，于是sinm,n10．mn1010因此，二面角E–BC–F的正弦值為10．10（3）設線段DP的長為hh0,2，則點P的坐標為0,0,h，uuur1,2,huuur0,2,0為平面ADGE的一個法向量，可得BP．易知，DC

uuuruuuruuuruuurBPDC2，故cosBPDCuuuruuurh25BPDC由題意，可得2sin603，解得h3．h220,253因此線段DP的長為3．38．（此題滿分15分）如圖，已知多面體ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．

（Ⅰ）證明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值．解答：（1）∵ABB1B2，且B1B平面ABC，∴B1BAB，∴AB122.同理，AC1AC2C1C2(23)21213.過點C1作B1B的垂線段交B1B于點G，則C1GBC2且B1G1，∴B1C15.在AB1C1中，AB12B1C12AC12，∴AB1B1C1，①過點B1作A1A的垂線段交A1A于點H.則B1HAB2，A1H2，∴A1B122.在A1B1A中，AA12AB12A1B12，∴AB1A1B1，②綜合①②，∵A1B1B1C1B1，A1B1平面A1B1C1，B1C1平面A1B1C1，AB1平面A1B1C1.

（2）過點B作AB的垂線段交AC于點I，以B為原點，以AB所在直線為x軸，以BI所在直線為y軸，以B1B所在直線為z軸，成立空間直角坐標系Bxyz.則B(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,0,2)，C1(1,3,1)，r設平面ABB1的一個法向量n(a,b,c)，ruuur02a0rnAB則ruuur，令b1，則n(0,1,0)，nBB102c0

又∵uuuur，ruuuur3391(3,3,1)cosn,AC.AC111313由圖形可知，直線AC1與平面ABB1所成角為銳角，設AC1與平面ABB1夾角為.∴sin39.139．（本小題滿分14分）在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，AA1AB,AB1B1C1．求證：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC．【剖析】（1）在平行六面體ABCDA1B1C1D