第八章一般殼體問(wèn)題的有限元法

第八章一般殼體問(wèn)題的有限元法第1頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

將殼體曲面劃分為有限個(gè)單元，它們都是曲面單元。但是在單元細(xì)分時(shí)，用平面單元組成的一個(gè)單向或雙向折板來(lái)近似殼體的幾何形狀將會(huì)得到良好的結(jié)果。通常對(duì)于任意形狀的殼體，采用三角形單元比較方便，如圖8-1所示。如果在殼體上容易找到同一平面上的四個(gè)點(diǎn)，可以采用平面四邊形單元。例如具有正交邊界的柱面殼體，如圖8-2所示。圖8-1任意殼體作為平面三角形單元的集合圖8-2圓柱殼作為平面矩形單元的集合§8-1平面殼體單元第2頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三殼體平面單元的應(yīng)力狀態(tài)是由平面應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的疊加而成的，因此在構(gòu)造殼體平面單元時(shí)，只要將第二章和第七章所討論的相應(yīng)單元進(jìn)行簡(jiǎn)單的組合就可以了。同樣，前述二章所導(dǎo)出的剛度矩陣可作為建立殼體平面單元?jiǎng)偠染仃嚨幕A(chǔ)?，F(xiàn)在把平面單元的計(jì)算步驟歸納如下

1.劃分單元，選定整體坐標(biāo)系oxyz，定出節(jié)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值。

2.對(duì)于各個(gè)單元利用節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值，建立一個(gè)局部坐標(biāo)系例如三角形單元123，可以選取節(jié)點(diǎn)1為局部坐標(biāo)系的原點(diǎn)，并且以1-2邊為軸的正方向，如圖8-3所示。于是，方向的單位e1求得是(8-1)第3頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式中是矢量12的長(zhǎng)度。取單元的外法線方向作為軸的正方向，于是它的單位矢量圖8-3三角形單元局部坐標(biāo)系第4頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三容易看出，矢量12和13的矢性積的模等于三角形面積Δ的一倍，即|12×13|=2Δ。最后，按右手定則可以決定y軸的正方向,它的單位矢量e2是e2=e3×e1(8-3)利用上述方法確定的局部坐標(biāo)系，三角形單元123是在平面內(nèi)，它的三個(gè)角點(diǎn)的局部坐標(biāo)值是很容易確定的。對(duì)于柱面上的矩形單元，局部坐標(biāo)的原點(diǎn)選在矩形的形心，通常選軸和x軸均沿柱面母線方向。如圖8-4中所示，由矢量12確定單位矢量e1,再由矢量14確定單位矢量e2，于是e3=e1×e2。第5頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

3.對(duì)于各個(gè)單元，確立在局部坐標(biāo)系中的結(jié)點(diǎn)載荷列陣。殼體載荷可以分解成二組：一組作用在平面內(nèi)，另一組垂直于平面。為此，在計(jì)算各個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)載荷列陣（包括等效結(jié)點(diǎn)力）可以直接引用第二章和第七章中所敘述的載荷計(jì)算的相應(yīng)公式。各個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)載荷列陣圖8-4矩形單元局部坐標(biāo)求得后，建立變換矩陣公式，從而把轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系中去求出在整體坐標(biāo)下的單元節(jié)點(diǎn)載荷列陣，然后經(jīng)各單元的簡(jiǎn)單疊加可以求出結(jié)構(gòu)在整體坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)載荷列陣。第6頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三顯然，平面單元在局部坐標(biāo)系中，結(jié)點(diǎn)i有五個(gè)廣義位移：即

，其中前兩個(gè)對(duì)應(yīng)于平面應(yīng)力問(wèn)題，后三個(gè)對(duì)應(yīng)于平板彎曲問(wèn)題。類似地，所對(duì)應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力列陣

顯然，在上式中實(shí)際上總是等于零的。。為了經(jīng)坐標(biāo)變換后不影響在整體坐標(biāo)系中對(duì)各特征量的計(jì)算，我們引進(jìn)(8-4)第7頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三容易看出，把以上結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力變換到整體坐標(biāo)中后，他的結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力列陣具有如下形式上式右端的前三項(xiàng)分別表示位移和力，后三項(xiàng)分別表示轉(zhuǎn)角和力矩，它們都是有明顯物理意義的矢量。因此，（8-4）式和（8-5）式之間的坐標(biāo)變換公式是

式中而(b)

(8-5)(8-6)(a)第8頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三于是，殼體單元e在局部坐標(biāo)下的結(jié)點(diǎn)位移列陣是或而所對(duì)應(yīng)的單元節(jié)點(diǎn)力（包括等效節(jié)點(diǎn)力）列陣是或式中n=3是對(duì)應(yīng)于三角形單元；n=4對(duì)應(yīng)于四邊形單元。本節(jié)以下的n所指的意義均是如此，不再重復(fù)說(shuō)明。(c)

(d)

(e)(f)第9頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

4.建立局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚕瑥亩蟪稣w坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?。如果將單元?jiǎng)偠染仃嚭蛯?duì)應(yīng)于單元節(jié)點(diǎn)劃分為n×n個(gè)子矩陣，每個(gè)子矩陣都是6×6的，于是的子矩陣有如下形式式中和分別是平面應(yīng)力問(wèn)題和平面彎曲問(wèn)題的相應(yīng)子矩陣，它們是2×2和3×3矩陣。圖8-5示出了在局部坐標(biāo)系中三角形殼體單元?jiǎng)偠染仃囉闷矫鎽?yīng)力和平面彎曲剛度矩陣的構(gòu)成方法。(8-7)第10頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖8-5三角形殼體單元?jiǎng)偠染仃囉闷矫鎽?yīng)力和平板彎曲剛度矩陣的構(gòu)成方法第11頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三單元e中任意結(jié)點(diǎn)i的平衡方程，在兩個(gè)坐標(biāo)系中分別為，式中是剛度矩陣的子矩陣。而對(duì)于局部坐標(biāo)和整體坐標(biāo)之間的變換公式是把(h)式代入(g)式得(g)(h)第12頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將公式(g)中的第一式左乘矩陣，并且同上式進(jìn)行比較，可以得到由于是正交陣，容易證明也是正交陣，即。這樣就得到關(guān)于矩陣的轉(zhuǎn)換公式(8-8)第13頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

5.集和單元?jiǎng)偠染仃嚰暗刃ЫY(jié)點(diǎn)力。線作簡(jiǎn)單求和然后將它們放入整體剛度矩陣[K]和等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣的相應(yīng)位置上去。第14頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

6.修改整體剛度矩陣，然后求解平衡方程式中是總的結(jié)點(diǎn)位移列陣。特別值得注意，在局部坐標(biāo)系中單元?jiǎng)偠染仃嘯K]對(duì)于三角形單元它的第6、12、及18行和列全是零元素，對(duì)于四邊形單元它的第6、12、18及24行和列全是零元素，其原因是轉(zhuǎn)角，并不包含在平面應(yīng)力的單元結(jié)點(diǎn)位移列陣中。當(dāng)所有在一個(gè)結(jié)點(diǎn)相連接的單元共面時(shí)，殼體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣將是奇異的。避免這個(gè)奇異性的一個(gè)辦法是引入關(guān)于殼體法線的轉(zhuǎn)動(dòng)為零的附加條件。第15頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

7．計(jì)算應(yīng)力。首先是按照公式求出局部坐標(biāo)系中的結(jié)點(diǎn)位移，再按第二章中所給出的公式計(jì)算應(yīng)力、和；通過(guò)第七章所給出的公式計(jì)算、和進(jìn)而求得應(yīng)力和。、和。于是，殼體應(yīng)力可以由簡(jiǎn)單的疊加求得；即，第16頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

對(duì)于一個(gè)殼體結(jié)構(gòu)，如果采用上節(jié)所述的平面單元，將會(huì)引起幾何上的離散誤差。人們希望采用曲面單元來(lái)描述殼體的真正幾何形狀，使之用不太多的單元來(lái)替代復(fù)雜形狀的殼體，并得到具有一定精度的解答。另外，在薄殼理論中都是用中面位移來(lái)表示中面轉(zhuǎn)動(dòng)。正如在第七章中所述，這將要求在單元交界面上有橫向位移及其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，于是增加了選擇位移模式的困難。如果考慮橫向剪切變形的影響就可以認(rèn)為中面轉(zhuǎn)動(dòng)是獨(dú)立變量而不依賴于位移的一階導(dǎo)數(shù)。因此，只要利用單元交界面上位移函數(shù)的連續(xù)性就可以了，并不要求其一階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。

現(xiàn)在我們來(lái)論述一個(gè)考慮橫向剪切影響的曲面單元，稱為八結(jié)點(diǎn)四十個(gè)自由度的一般殼體單元，如圖8-6所示。8-2考慮橫向剪切變形影響的殼體單元第17頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

在圖8-6中所示的殼單元，象空間等參數(shù)單元一樣引進(jìn)一個(gè)自然坐標(biāo)系。命為殼體中面上的曲線坐標(biāo)；對(duì)應(yīng)于的表面稱為頂面（或上表面），對(duì)應(yīng)于的表面稱為底面（或下表面）。在單元的中面上選取八個(gè)點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)，過(guò)各結(jié)點(diǎn)i(i=1,2,…,8)作中面的法線，交頂面和底面的點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)i的對(duì)點(diǎn)。結(jié)點(diǎn)i相對(duì)應(yīng)的對(duì)點(diǎn)，它的整體坐標(biāo)值分別記作圖8-6八結(jié)點(diǎn)四十個(gè)自由度的一般殼體單元一.單元幾何形狀的確定第18頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三于是，中面上的結(jié)點(diǎn)i的整體坐標(biāo)值是顯然，結(jié)點(diǎn)i處的中面法線方向可以由下列單位矢量所確定(8-10)

(8-9)第19頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式中l(wèi)3i、m3i和n3i是結(jié)點(diǎn)i處中面法線方向?qū)τ谡w坐標(biāo)軸oxyz的方向余弦，而hi是結(jié)點(diǎn)i處的殼體厚度，即

(a)結(jié)點(diǎn)i處法線上任意點(diǎn)的整體坐標(biāo)值，可以通過(guò)矢量相加得到（圖8-7），即(b)第20頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三于是，單元內(nèi)任意點(diǎn)的坐標(biāo)值可以通過(guò)形函數(shù)的插值得到，即式中形函數(shù)由公式（5-1）表示。這樣，我們就可以通過(guò)八對(duì)點(diǎn)的整體坐標(biāo)值，按照（8-11）式近似地確定了單元的形狀。當(dāng)時(shí)，分別確定上下表面各點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，確定中面各點(diǎn)；而單元的側(cè)表面是由中面法線（或近似的中面法線）所構(gòu)成。(8-11)第21頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

假設(shè)中面法線變形后仍為直線，但是不再是變形后的中面法線。也就是說(shuō)，中面法線有繞兩不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，這兩不同軸分別垂直于法線。設(shè)V1i和V2i分別是這兩軸上的單位矢量，顯然它們具有一定的任意性。為了唯一地確定起見，不妨設(shè)式中(c)

(8-12)二.位移模式第22頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三于是有而另一軸的單位矢量可以由V3i和V1i的矢量積求得注意，在（8-12）式中如果i×V3i=0，則可用j×V3i來(lái)代替，而(j)(d)

(e)

(8-13)第23頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)結(jié)點(diǎn)i處的中面法線V3i繞V1i和V2i兩軸的轉(zhuǎn)角分別為和，如圖8-8所示。于是，轉(zhuǎn)動(dòng)矢量可以寫成圖8-8結(jié)點(diǎn)的自由度(8-14)第24頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三現(xiàn)在我們來(lái)計(jì)算結(jié)點(diǎn)i處法線上任意點(diǎn)的位移值。這可以通過(guò)結(jié)點(diǎn)i在整體坐標(biāo)中的位移ui、vi、wi以及法線繞i點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)而產(chǎn)生的位移相加而得到；關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)引起的位移可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)中的公式計(jì)算。于是，在結(jié)點(diǎn)i處法線上各點(diǎn)在整體坐標(biāo)系中的位移是顯然。于是，上式就可以寫成(h)(g)第25頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三這樣，利用插值方法可以得到單元內(nèi)任意結(jié)點(diǎn)的位移列陣是式中(8-16)(8-15)第26頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三可以將（8-15）式寫成標(biāo)準(zhǔn)形式式中[I]是三階單位陣。(8-17)(i)第27頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

在整體坐標(biāo)系中，利用幾何方程和（8-17）式可以將應(yīng)變列陣寫成標(biāo)準(zhǔn)形式是（8-18）三.應(yīng)變計(jì)算第28頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式中而(j)(8-19)第29頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因此，為了計(jì)算應(yīng)變需要算出六個(gè)偏導(dǎo)數(shù)、、和、前三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)可以按照公式（5-54）進(jìn)行計(jì)算，后三個(gè)則按定義分別是[J]-1的第三列的三個(gè)元素，即由（5-58）式得到(8-20)第30頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三出現(xiàn)在所提到的各式中的S、T和V分別按公式（5-55）所定義。將（8-11）式代入（5-55）式得(8-21)第31頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

我們還假設(shè)中面法線上的線段不伸長(zhǎng)也不縮短。如果在單元中面各點(diǎn)處建立局部的直角坐標(biāo)系，而軸是中面法線方向，于是有；這里表示方向的位移分量。建立局部坐標(biāo)系的關(guān)鍵是中面上各點(diǎn)的法線方向余弦矢量V3，一個(gè)合理的簡(jiǎn)單做法是由單元各結(jié)點(diǎn)處中面法線的方向余弦矢量V3i通過(guò)內(nèi)插法構(gòu)造而成，即(8-22)四.坐標(biāo)變換第32頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三中面法線的方向余弦矢量構(gòu)成后，可以按照如下方法作出軸及軸的方向余弦矢量V1和V2于是，在坐標(biāo)系中的矢量都可以通過(guò)下列變換矩陣變換為整體坐標(biāo)系oxyz中的矢量。(8-23)(k)第33頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在局部坐標(biāo)系中，它的應(yīng)變列陣是根據(jù)應(yīng)變張量的定義，立刻可以寫出應(yīng)變的坐標(biāo)形式式中(8-26)(8-24)(8-25)第34頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

在殼體中還假設(shè)，于是在局部坐標(biāo)中有如下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式中以及(8-28)(8-27)(1)五.彈性矩陣的變換第35頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在整體坐標(biāo)系oxyz中，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系雖然仍可寫成如下形式式中。但是彈性矩陣[D]不再像以前那樣具有簡(jiǎn)單的形式，而需要用坐標(biāo)將變換成[D]。由于這兩組應(yīng)力表示同一個(gè)應(yīng)力狀態(tài)，因此在任意虛位移上，兩個(gè)坐標(biāo)系中單位體積內(nèi)的應(yīng)力所做的虛功必須相等，即是(8-30)(8-29)第36頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將（8-27）式代入上式并利用（8-25）式，由于的任意性得和（8-29）式相比較，得到這就是坐標(biāo)變換情況下彈性矩陣的變換公式。可以證明這一形式具有普遍意義。(m)(8-31)第37頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

習(xí)慣下，我們要計(jì)算的殼體應(yīng)力是對(duì)應(yīng)于局部坐標(biāo)系的。利用（8-25）式和（8-18）式，公式（8-27）可以寫成其中(8-33)(8-32)根據(jù)（8-19）式和（8-26）式，很容易地算出矩陣的顯式。為了使公式書寫不致太長(zhǎng)，我們給出它的分塊形式，即(8-34)六.應(yīng)力計(jì)算第38頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式中(n)(o)(p)(q)第39頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三而(j=1,2,3)(r)于是(8-35)第40頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三式中(s)第41頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在進(jìn)行強(qiáng)度校核時(shí)，只要計(jì)算殼體上下表面上的應(yīng)力，即(8-36)第42頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三容易算出(8-37)(8-38)第43頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

若將單元?jiǎng)偠染仃噷懗扇纾?-61）式的形式，于是