第六章插值計算與插值多項式模型

第六章插值計算與插值多項式模型第1頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三

線性插值

線性插值是最簡單的插值方法，設(shè)已知函數(shù)y=f(x)，在x0、x1處的值分別為y0，y1，則過點（x0，y0），(xl，y1)的連線方程為[x。,x1]內(nèi)任一點的插值為也可以推廣為這樣處理實際上是將n十1個點（x。，y。），（xl，y1…（x。，yn）順序連接成折線近似代替原來的曲線y=f(x)。只有當(dāng)線性關(guān)系非常好的時候，計算才較準(zhǔn)確。第2頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三6．3拉格朗日插值6.3.1插值多項式模型已知函數(shù)y=f(x)在n個點xi上的值f(xi)（記作yi＝f（xi），i=l，2，…n），求一個低于n的插值多項式Ln-1（x），使Ln-1（xi）＝y(tǒng)i（i＝1,2，…n）拉格朗日插值法求多項式Ln-1（xi）模型為這是一組n—1次多項式、其分母是n—1個一次式之積，分子每一個因子都是（x-xi）形式，且缺少（x-xi；）因子；分母是xi代替分子中的x而得到，不包含x在內(nèi)，且xl，x2，…xn是互不相同的，所以分母不為零。數(shù)學(xué)上可以證明這種多項式可以滿足Ln-1（x）=y的要求，而且是唯一的。當(dāng)n=2，拉格朗多項式即為線性插值。第3頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三當(dāng)n=3，上述多項式即為典型的拋物線插值多項式，為常用公式之一。

拉格朗日多項式形式簡單、對稱，便于計算機編程計算；但計算工作量較大，而且當(dāng)全部點作插值時，舍人誤差也大，多項式次數(shù)較高，曲線的波動較大，一般計算時，取距插值點j較近的幾個點進行插值計算。第4頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三拉氏插值模型的余項估計用拉氏插值多項式模型表示函數(shù)f(x)時，引起的誤差由Rn-1(x)=f(x)-Ln-1(x)給出?；?qū)懗扇缦滦问終值由微分中值定理導(dǎo)出式中ξ滿足：min（x1，x2，…xn）≤ξ≤max（x1，x2，…xn）故余項可表達為如果f（x）的n階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)在區(qū)間[xl，xn]的絕對值最大值或上界為Mn（常數(shù)），則導(dǎo)出由此可知，余項大小不僅與f(x）的n階導(dǎo)數(shù)有關(guān)，而且還與插值點的位置密切有關(guān)。第5頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三例6．l已知一氧化碳在溶液中的溶解度為：t（℃）0135溶解度xi0.33460.32130.2978O.2774求4℃時溶解度為多少？解：取二次拉格朗日模型進行插值計算。Ln-1（x）模型為當(dāng)X=4℃時第6頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三例題6．l的Excel解法依次將原始數(shù)據(jù)輸人表格的前面兩列；然后輸人插值點；按照公式依次輸人Wi和Wj：乘Yl的計算公式。由于Excel具有輸人公式，自動顯示計算結(jié)果的能力，所以可以直接在屏幕上看到相應(yīng)的計算結(jié)果，最后在最下面的一行中輸人求和計算公式：=SUM（E3：E5）得到預(yù)料中的計算結(jié)果數(shù)值0.287213。溫度t溶解度x插值點ωω*y00.334610.3213-0.125-0.0401630.297840.750.2233550.27740.3750.1040250.287213第7頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三牛頓插值

牛頓插值多項式的數(shù)學(xué)模型

如果將函數(shù)f(x)在諸點x0，x1，…xn滿足：xi=xi-1十h上的函數(shù)值f(x0)，f(x0＋h)，f（x0十2h），f（x0十3h）…f（x0＋nh）簡記為f0，f1，f2…fn將相鄰兩數(shù)相減得簡記為上述各式稱為一階差分；類似地，二階差分i階差分為或簡記為第8頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三

差商是設(shè)函數(shù)f(x)以及自變量的一系列互不相等的值為：x0，x1，…xn，所謂不相等，即在f≠j時，有xi≠xj，此時稱為一階差商。同樣二階差商：其余類推。如果x0，x1，x2，…xn是等步長的，且步長為h，即x1=x0十h；x2=x0＋2h，…xn=x0十nh；則m階差商與差分的關(guān)系為注意：等式右邊為常數(shù)！若各數(shù)據(jù)點m階差商為常數(shù)，則說明已不用再計算更高一階差商值。第9頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三牛頓插值多項式為當(dāng)n=3點計算時；上式可寫成：第10頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三例：6.2某流體實測溫度與粘度的關(guān)系如下表所示；試求出t=25℃時的粘度值。解：用牛頓插值計算首先求一階差分，二階差分…并列入表中：T℃μ△△2△3△4201.0051-0.04720.0035-0.0003-0.0001220.9579-0.04370.0032-0.0004-0.0000240.91442-0.04050.0028-0.004260.8737-0.03370.0024280.8360-0.0353300.8007由表可以看出，△3已接近常數(shù)，故代人牛頓插值公式y(tǒng)0＝μ0=1.0051；x0＝20，x1＝22;…y＝μ；x=25，h＝x1-x0＝2所以第11頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三例6.3某二元物質(zhì)，溶質(zhì)在溶劑中的溶解度C與溶劑組成X的關(guān)系如下表。試用差分法確定兩者之間的模型關(guān)系。XCC△△2C△3CC計算0.10.2120.2510.580.140.2110.20.4630.3090.720.190.4630.30.7220.3810.910.190.7710.41.1530.4720.1100.181.1520.51.6250.5820.1280.211.6250.62.2070.7100.1490.142.2070.72.9170.8590.1630.182.9180.83.7760.10220.1813.7750.94.7980.1023/4.7971.06.001/6.001解：設(shè)所求的多次式模型為第12頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三此時h=0.1，并將求得的代人式中，即有

展開化簡得到：C=-0.0024十2.017x十0.965x2十3.021x3對于內(nèi)在數(shù)學(xué)規(guī)律復(fù)雜的數(shù)據(jù)，要使插值函數(shù)P（xi）盡量接近真實函數(shù)f(xi)，減小在插值點上的誤差，插值多項式的次數(shù)則應(yīng)高一些為好。但插值多項式的次數(shù)高了又會造成誤差積累過大。為解決這一矛盾，可以將原始數(shù)據(jù)分段，分布采用次數(shù)較低的多項式插值。但在不同數(shù)據(jù)段接點上，由于插值函數(shù)不同，會造成曲線不光滑。在很多實際應(yīng)用場合，這又是不允許的。如時間設(shè)備的外形尺寸放樣等問題。因此又出現(xiàn)了新的插值方法。如能保證P（xi）=f(xi)=yi，P‘（xi）=f’(xi)=y‘i的Hemit插值，保證P（xi）=f(xi)=yi，P‘（xi）=f’(xi)=y‘i，P‘’（xi）=f’‘(xi)=y‘’i的樣條函數(shù)插值等。第13頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三6．5樣條插值

上用多項式插值時，當(dāng)插值結(jié)點很多時，作一個高次插值多項式是不理想的，通常采用分段插值法。然而分段插值只能保證插值曲線連續(xù)，不能保證光滑，即節(jié)點處的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)。樣條插值就是既能夠保證結(jié)點處曲線連續(xù)，又能保證光滑的一種計算方法。本節(jié)只討論常用的三次樣條插值,其特點是它可保證擬合曲線一階及二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。插值多項式次數(shù)不高，為三次。一階及二階導(dǎo)數(shù)可不通過求導(dǎo)計算設(shè)曲線y=f(x)通過平面上n個點（xi，yi），假定a＜x1＜x2…＜xn=b，于是，三次樣條插值函數(shù)S（x）就是滿足如下條件的函數(shù)。（1）S（xi）=yi（i=1，2，…，n）（2）S（x）在插值區(qū)間[a，b]上有一階及二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，以保證曲線的光滑。（3）在每個子區(qū)間[xi，xi-1]上,s(x)均為三次多項式?？梢?，三次樣條插值函數(shù)是一個分段函數(shù)，它在每個子區(qū)間上都是x的三次多項式，但通常又是不相同的，同時，它在各分段結(jié)點處又都有一階及二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。第14頁，共15頁，2023年，2月20日，星期三子區(qū)間[xi，xi＋1]三次樣條插值公式為：(i=1,2,n-1)式中hi=xi＋1－xi；是任一