第八章微分運算

第八章微分運算第1頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.1極限的計算Mathematica中使用Limit命令來計算極限，它總是力求確定極限的準確值Limit[f[x],x->a]:計算的值例1計算

Limit[(x^5-32)/(x^3-8),x->2]Factor[x^5-32]Factor[x^3-8]第2頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.1極限的計算可以利用Direction選項確定左、右極限的計算Direction->1:計算左極限，即x從左邊趨近于aDirection->-1:計算右極限，即x從右邊趨近于aLimit的默認值為Direction->Automatic，除了在無窮遠點外，方向為右極限。對于非連續(xù)函數(shù)，最好指定Direction，采用默認值可能會得到不正確的結(jié)果第3頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.1極限的計算例2考慮極限如果沒有選定方向，默認計算右極限Limit[Abs[x]/x,x->0]Limit[Abs[x]/x,x->0,Direction->1]Limit[Abs[x]/x,x->0,Direction->-1]第4頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.1極限的計算例3Mathematica也可以計算無窮極限及在無窮遠點處的極限Limit[1/x,x->0,Direction->-1]Limit[1/x,x->0,Direction->1]Limit[(2x^2+3x+4)/(x^2+1),x->Infinity,Direction->-1]第5頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.1極限的計算例4當x趨向某點時極限不存在，但f(x)有界時，Limit命令會返回一個區(qū)間[{min,max}]，表示值的范圍在此區(qū)間之內(nèi)Limit[Sin[1/x],x->0]Limit[Tan[1/x],x->0]第6頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三習題解答8.6如果每年支付利息n次，年利率為r，那么p美元在t年后變?yōu)閜(1+r/n)^nt美元，假設(shè)如果連續(xù)計息（n->infinty）,那么t年后錢數(shù)為多少？Limit[p(1+r/n)^(nt),n->Infinity]第7頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三習題解答8.7函數(shù)的導數(shù)定義為極限利用這個定義計算f(x)=Logx+x^5+sinx的導數(shù)f[x_]=Log[x]+x^5+Sin[x];Limit[(f[x+h]-f[x])/h,h->0]第8頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三習題解答8.8函數(shù)的2階導數(shù)可以用極限計算得到。利用這個極限計算f[x]=lnx+x^5+sinx的2階導數(shù)第9頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三習題解答利用這個極限計算f[x]=lnx+x^5+sinx的2階導數(shù)f[x_]=Log[x]+x^5+Sin[x];Limit[(f[x+h]-2f[x]+f[x-h])/h^2,h->0]第10頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.2導數(shù)的計算如果f[x]表示一個函數(shù)，那么它的導數(shù)表示為f'[x]。高階導數(shù)用f''[x]、f'''[x]...等表示例5f[x_]=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1f'[x]f''[x]f'''[x]第11頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.2導數(shù)的計算撇號也可作用到內(nèi)置函數(shù)上。如果不給出參數(shù)，Mathematica就返回一個純粹函數(shù)，表示所要求的導數(shù)(有關(guān)純粹函數(shù)見附錄A1)Sqrt'Sqrt'[x]Sqrt''Sqrt''[x]第12頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.2導數(shù)的計算用撇號表示高階導數(shù)并不方便D[f[x],x]：返回f相應于變量x的導數(shù)D[f[x],{x,n}]：返回f相應于變量x的n階導數(shù)例7D[x^5+x^4+x^3+x^2+x+1,x]D[x^5+x^4+x^3+x^2+x+1,{x,2}]D[x^5+x^4+x^3+x^2+x+1,{x,3}]第13頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.2導數(shù)的計算計算導數(shù)，也可以使用模板上的偏導符號返回相應于x的n階導數(shù)例8D[(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1),{x,3}]第14頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.2導數(shù)的計算Derivative[n]是一個算子，它作用到一個函數(shù)上，得到一個新的函數(shù)，即函數(shù)的n階導數(shù)Derivative[n][f]用純粹函數(shù)的形式給出f的n階導數(shù)Derivative[n][f][x]計算f在x點的n階導數(shù)，x為具體數(shù)或為符號在Mathematica內(nèi)部，f'被轉(zhuǎn)化為Derivative[1][f]第15頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.2導數(shù)的計算例9f[x_]:=x^5+x^4+x^3+x^2+x+1;Derivative[1][f]Derivative[1][f][x]第16頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.2導數(shù)的計算計算導數(shù)在特定點的多種方法，注意:=的用法例10f[x_]=(x^2-x+1)^5;f''[1]D[f[x],{x,2}]/.x->1g:=Derivative[2][f]g[1]f[x_]=x^3g[1]第17頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.2導數(shù)的計算作為符號計算軟件，Mathematica可以方便的進行公式推導，包括導數(shù)的運算法則例11Clear[f,g]D[f[x]+g[x],x]D[f[x]g[x],x]D[f[x]/g[x],x]//TogetherD[f[g[x]],x]第18頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.2導數(shù)的計算例12證明函數(shù)f[x]=(x^3+2x^2+15x+2)Sin[Pix]在區(qū)間[0,1]上滿足羅爾定理，求出定理中所聲稱的點cf[x_]=(x^3+2x^2+15x+2)Sin[Pix]f[0]f[1]FindRoot[f'[c]==0,{c,0.5}]Plot[{f[x],f[.640241]},{x,0,1}]第19頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三中值定理令f為有限閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，并在開區(qū)間(a,b)上可微，則存在一個數(shù)c，介于a與b之間，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)羅爾定理與中指定理都保證至少存在一個數(shù)c，實際中可能存在滿足條件的多個數(shù)第20頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三中值定理例13對于函數(shù)f[x_]=Sqrt[x]+Sin[2Pix]，求出使得中值定理在區(qū)間[0,2]上成立的c值f[x_]=Sqrt[x]+Sin[2Pix]a=0;b=2;m=(f[b]-f[a])/(b-a);Plot[f'[x]-m,{x,0,2},PlotRange->{-8,8}]第21頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三中值定理FindRoot[f'[c]==m,{c,.3}]FindRoot[f'[c]==m,{c,.7}]FindRoot[f'[c]==m,{c,1.3}]FindRoot[f'[c]==m,{c,1.7}]第22頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三習題解答8.11在同一坐標系中繪出f(x)=x^4-50x^2+300及其導數(shù)在-10<=x<=10上的圖形<<Graphics`Legend`f[x_]=x^4-50x^2+300;Plot[{f[x],f'[x]},{x,-10,10},PlotStyle->{GrayLevel[0],Dashing[{.015}]},PlotLegend->{"f[x]","f'[x]"}];第23頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三習題解答8.12給定函數(shù)f(x)，其圖形為C，C在點a的切線斜率為f'(a)。令f(x)=sinx，畫出函數(shù)圖像及其在a=PI/3處的切線.過點(x1,y1)，斜率為m的直線方程為y-y1=m(x-x1)或y=y1+m(x-x1)切線斜率為m=f'(a)，切線方程為y=f(a)+f'(a)(x-a)第24頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三習題解答8.12給定函數(shù)f(x)，其圖形為C，C在點a的切線斜率為f'(a)。令f(x)=sinx，畫出函數(shù)圖像及其在a=PI/3處的切線.f[x_]=Sin[x];a=Pi/3;l[x_]=f[a]+f'[a](x-a);Plot[{f[x],l[x]},{x,0,2Pi}];第25頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值稱函數(shù)f在區(qū)間I中c點達到絕對最大值，指對I中所有點x，f(c)>=f(x)成立，即f(c)是f(x)在I上的最大值。最小值可類似定義最值定理：如果f為有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則f在這個區(qū)間既具有絕對最大值，也具有絕對最小值注意：最值是全局性的概念，極值是局部性概念第26頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值如果函數(shù)在有界閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則其最大值和最小值出現(xiàn)在駐點或者區(qū)間端點求最大值和最小值的步驟(1).求駐點和不可導點;(2).求區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數(shù)值，比較大小，哪個大哪個就是最大值，哪個小哪個就是最小值第27頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值例14計算函數(shù)f[x_]=x^4-4x^3+2x^2+4x+2在區(qū)間[0，4]上的絕對最大值和最小值。首先求其臨界點f[x_]=x^4-4x^3+2x^2+4x+2;Solve[f'[x]==0]c1=0;c2=1;c3=1+Sqrt[2];c4=4;pointstocheck={{c1,f[c1]},{c2,f[c2]},{c3,f[c3]},{c4,f[c4]}}//ExpandTableForm[pointstocheck,TableHeadings->{None,{"x","f[x]"}}]第28頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值例15一根線長100英寸，要用它構(gòu)成一個正方形和一個圓形。請問如何分配，才能使它所圍成的圖形面積和a)最大；b)最小設(shè)正方形的邊長為x，圓的半徑為r兩個形狀的組合面積為A(x)=x^2+Pir^2圓的周長為2Pir，正方形周長為4x4x+2Pir=1000<=x<=25還有其它設(shè)置變量的形式嗎？書上為什么要這樣處理？第29頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值Clear[a]Solve[4x+2Pir==100,r](*從周長的約束中解出r關(guān)于x的表達式，*)a[x_]=x^2+Pir^2/.r->-2(-25+x)/Pi(*定義面積函數(shù)a，自變量統(tǒng)一為x*)Solve[a'[x]==0](*求出臨界點*)x1=0;x2=100/(4+Pi)x3=25第30頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值pointstocheck={{x1,a[x1],N[a[x1]]},{x2,a[x2],N[a[x2]]},{x3,a[x3],N[a[x3]]}}//Together;TableForm[pointstocheck,TableHeadings->{None,{"x","a[x]","N[a[x]]"}}](*列表給出駐點處的面積值*)Sign[a''[100/(4+Pi)]](*使用二階導數(shù)驗證最小值*)第31頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值局部極值FindMinimum[f[x],{x,x0}]：求出f(x)靠近x0點的局部極小值如何求局部極大值？max(f(x))=-min(-f(x))第32頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三8.3最大值與最小值例16函數(shù)f(x)=x+Sin5x在區(qū)間[0,Pi]中有3個極大值點，2個極小值點f[x_]=x+Sin[5x];Plot[f[x],{x,0,Pi}]FindMinimum[f[x],{x,1}]FindMinimum[f[x],{x,2}]-FindMinimum[-f[x],{x,0.4}]-FindMinimum[-f[x],{x,1.6}]-FindMinimum[-f[x],{x,2.8}]-FindMinimum[-f[x],{x,2.8},Method->Newton]第33頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三習題解答8.16求出兩個和為50的正數(shù)，使得第一個數(shù)的平方根加上第二個數(shù)的立方根盡可能大y=50-x;f[x_]=Sqrt[x]+y^(1/3);Plot[f[x],{x,0,50}]NSolve[f'[x]==0]FindMinimum[-f[x],{x,40}]第34頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三習題解答8.17一個圓柱被單位球面所截。(a)求出最大可能的體積(b)求出最大可能的表面面積球面的大小是