北師大版-必修三-第一章 統(tǒng)計-§4 數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 全市一等獎

《估計總體的數(shù)字特征》學案一、學習目標1．了解眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)并會求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．2．理解方差、標準差的概念并會求方差、標準差．3．會用方差、標準差估計總體的數(shù)字特征．4．形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識．二、重點、難點重點：用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均數(shù)與標準差．難點：能應用相關(guān)知識解決簡單的實際問題．三、課前預習（一）眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1．眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復出現(xiàn)次數(shù)的數(shù)稱為這組數(shù)的眾數(shù)．2．中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，把處于最中間位置的那個數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．（1）當數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時，中位數(shù)是按從小到大的順序排列的的那個數(shù)．（2）當數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，中位數(shù)是按從小到大的順序排列的最中間兩個數(shù)的．3．平均數(shù)：如果有n個數(shù)，那么叫這n個數(shù)的平均數(shù)．4．實際問題中求得的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)應帶上單位．（二）標準差、方差1．數(shù)據(jù)的離散程度可用極差、、來描述．樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大?。话愕?，設樣本的數(shù)據(jù)為，樣本的平均數(shù)為，則定義，表示方差．2．為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度，通常要求出樣本方差的算術(shù)平方根=，表示樣本標準差．不要漏寫單位．（三）估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)眾數(shù)：最高矩形的中點．中位數(shù)：左右兩邊直方圖的面積相等．平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．四、堂中互動教師點撥：對于中位數(shù)關(guān)鍵是把已知數(shù)據(jù)按順序排列，當數(shù)據(jù)個數(shù)為奇數(shù)時，中位數(shù)是按從小到大的順序排列的最中間的那個數(shù)．當數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)時，中位數(shù)是按從小到大的順序排列的最中間兩個數(shù)的平均數(shù)．眾數(shù)即找出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)，平均數(shù)只要按公式計算即可．例1：據(jù)報道，某公司的33名職工的月工資（以元為單位）如下：職務董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500（1）求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；（2）假設副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？（精確到元）（3）你認為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法．點評：熟練掌握平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)定義及其計算公式．【教師點撥】平均數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，平均數(shù)越大，平均水平越高，平均數(shù)越小，平均水平越低；方差是反映一組數(shù)據(jù)的波動水平，方差越大，波動越大，越不穩(wěn)定，方差越小，越穩(wěn)定．例2：甲乙二人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖．（1）分別求出兩人得分的平均數(shù)與方差；（2）根據(jù)圖和上面算得的結(jié)果，對兩人的訓練成績作出評價．點評：（1）先通過圖像統(tǒng)計出甲、乙二人的成績；（2）理解并掌握方差定義及其公式，了解平均數(shù)、方差表示的意義．利用公式求出平均數(shù)、方差，再分析兩人的成績，作出評價．【教師點撥】一般地，若數(shù)據(jù)的平均數(shù)方差為則數(shù)據(jù)的平均數(shù)方差為例3：若的平均數(shù)為8，方差為3，則的平均數(shù)為，方差為．點評：會綜合運用平均數(shù)和方差的定義來解題．五、即學即練1．下列說法正確的是（）A．在兩組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)較大的一組方差較大B．平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差則反映數(shù)據(jù)離平均數(shù)的波動大小C．方差的求法是求出各個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的平方后再求和D．在記錄兩個人射擊環(huán)數(shù)的兩組數(shù)據(jù)中，方差大的表示射擊水平高．2．一個樣本數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為13，14，19，x，23，27，28，31，其中位數(shù)為22，則x=（）A．21B．22C．20D．233．在某項體育比賽中，七位裁判為一選手打出的分數(shù)如下：90899095939493去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（）A．92，2B．92，2．8C．93，2D．93，4．樣本101，98，102，100，99的標準差為（）A．B．0C．1D．2六、練案1．某人5次上班途中所花的時間（單位：min）分別為：x，y，10，11，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是10，方差為2，則的值為（）A．1B．2C．3D．42．如圖，樣本A和B分別取自兩個不同的總體，它們的樣本平均數(shù)分別為，樣本標準差分別為，則（）A．＞，B．＜，C．＞，D．＜，3．一個容量為40的樣本數(shù)據(jù)依次為，若這個樣本的標準差為，記，則（）A．2B．C．D．44．若數(shù)據(jù)這20個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為；方差為，則這21個數(shù)據(jù)的方差為．5．甲、乙、丙、丁四人參加射擊項目選拔賽，成績?nèi)缦拢杭滓冶∑骄h(huán)數(shù)8方差則加奧運會的最佳人選是．6．從A、B兩種棉花中各抽10株，測得它們的株高如下：（CM）A．25414037221419392142B．27164427441640164040（1）哪種棉花的苗長得高？（2）哪種棉花的苗長得整齊？7．魚塘里放養(yǎng)魚苗4萬條，根據(jù)近幾年的經(jīng)驗知道，魚苗成活率為95%，一段時間后準備打撈出售．第一次網(wǎng)出40條，稱得平均每條魚重；第二次網(wǎng)出25條，稱得平均每條魚重；第三次網(wǎng)出35條，稱得平均每條魚重．（1）根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計魚塘中魚的總重量大約是多少；（2）如果把整塘魚全部售出，按市場價每千克10元計算，那么能收入多少元?除去成本80萬元，純收入是多少元?8．在一次歌手大獎賽上，七位評委為歌手打出的分數(shù)如下：,,,，,,，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均值和方差分別為（）A．B．C．D．3．從甲乙兩個總體中各抽取了一個樣本：甲658496乙876582根據(jù)以上數(shù)據(jù)，說明哪個波動小？4．從高三抽出50名學生參加數(shù)學競賽，由成績得到如圖的頻率分布直方圖．由于一些數(shù)據(jù)丟失，試利用頻率分布直方圖求：（1）這50名學生成績的眾數(shù)與中位數(shù)．（2）這50名學生的平均成績．參考答案課前預習（一）1．最多2．（1）最中間（2）平均數(shù)3．（二）1．標準差、方差2．四、堂中互動例1．解析：（1）平均數(shù)是=1500+≈1500+591=2091（元）．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．（2）平均數(shù)是≈1500+1788=3288（元）．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．（3）在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平．因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平．反思：在用平均數(shù)估計總體的時候，樣本中的每一個數(shù)據(jù)都會影響到平均數(shù)的大小，因此在實際操作中，一定要注意個別極端值對平均數(shù)的影響．例2．【解析】：解（1）由圖像可得甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分．＝eq\f(10＋13＋12＋14＋16,5)＝13（分），＝eq\f(13＋14＋12＋12＋14,5)＝13（分），＝eq\f(1,5)[（10－13）2＋（13－13）2＋（12－13）2＋（14－13）2＋（16－13）2]＝4（分），＝eq\f(1,5)[（13－13）2＋（14－13）2＋（12－13）2＋（12－13）2＋（14－13）2]＝（分）．（2）由可知乙的成績較穩(wěn)定．從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態(tài)，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高．反思：一組數(shù)據(jù)的方差，刻畫了這組數(shù)據(jù)的波動大?。锤鲾?shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小，也稱離散性、差異性）．方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的波動越大，即這組數(shù)據(jù)越分散；方差越小，說明這組數(shù)據(jù)越集中．例3．【解析】：（1）因為的平均數(shù)為，的平均數(shù)為，（2）因為得方差為3，即所以的方差反思：若的平均數(shù)為，方差為，則 的平均數(shù)為，方差為，標準差為．五、即學即練1．B2．A3．B4．A六、練案1．D2．B3．A4．5．丙6．乙種棉花的苗長得高，甲種棉花的苗長得整齊。7．所以魚塘中魚的總重量約為×（40000×95%）=96140（kg）．即魚塘中魚的總重量大約是96140kg．（2）10×96140=961400（元），961400-800000=161400（元），所以把整塘魚全部售出能收入961400元，純收入是161400元．8．D9．甲波動小10．解析：（1）由眾數(shù)的概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．在直方圖中高度最高的小長方形框的中間值的橫坐標即為所求，所以眾數(shù)應為75．由于中位數(shù)是所有數(shù)據(jù)中的中間值，故在頻率分布直方圖中體現(xiàn)的是中位數(shù)的左右兩邊頻數(shù)應相等，即頻率也相等，從而就是小矩形的面積和相等．因此在頻率分布直方圖中將頻率分布直方圖中所有小矩形的面積一分為二的直線所對應的成績即為所求．∵×10+×10+×10=++=，∴前三個小矩