2023年新高考方案二輪數(shù)學(xué)第二部分第五板塊解析幾何

第五板塊I解析幾何

:層級（一）:目標(biāo)學(xué)法:教學(xué)定位

囂矗鑫:基礎(chǔ)性考法自主評價?自我補短：二輪復(fù)習(xí)前的自查熱身

基礎(chǔ)考法（一）直線的方程

[評價?診斷]

1.已知直線2x—y+l=O與直線x+〃zy+2=0垂直，則機=（）

A.-2B.一彳

C.2D.1

解析：選C當(dāng)/麓=0時，工+"9+2=00X=-2,由2x—y+l=0知y=2x+l,斜率

為2,所以直線2x-y+l=0與工=一2不垂直，不符合題意；當(dāng)mWO時，x+my+2=0^y

-1丫-.2

==min9

因為直線2%—y+l=O與直線x+my+2=0垂直，所以一、X2=—1,解得m=2.

2.設(shè)直線/的方程為x-ysin9+2=0,則直線/的傾斜角a的范圍是（）

[n7T"|

A.[0,7r]B.[w，2J

rJr3九]Vn元、（n3n"|

c

[4>TJD.匕，2"匕，Tj

解析：選C直線/的方程為x—ysin，+2=0,

當(dāng)sine=O時，直線方程為x=-2,傾斜角

12

當(dāng)sin〃WO時，直線方程化為了=而彳”+而^

斜率

1sin夕

因為sin，G[-l,0）U（0,1],

所以AG（-8,—1]U[1,+°°）,

即tanaG（-8,—l]u[l,+°°）,又因為aG[O,n）,所以aG,,普].

綜上可得，ad|j,里

3.（2022??？荒＃┮阎本€kax-4j-3=0,Z2：x-aj+l=O,貝!|“a=2”是“/i〃

hn的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：選A若，1〃5則有一層+4=0,

解得a=±2,當(dāng)a=2時，2x-4y—3=0,

l2:x-2j+l=0,h//l2,當(dāng)。=一2時，

/i：2x+4y+3=0,I2：x+2y+l=0,l\//h,

所以若/i〃/2,a=±2,所以“a=2”是11n的充分不必要條件.

4.（2022?山東濟(jì)南二樓）已知拋物線方程為y2=4x,直線I：x+y+6=0,拋物線上一

動點P到直線1的距離的最小值為.

X+V+WJ=0,

解析：設(shè)與直線/平行且與拋物線相切的直線方程為x+y+〃?=0,由，得

y=4x

y2+4y+4m=0,則/=16—16根=0,得，〃=1,

所以切線方程為x+y+l=0,

1出一1|2—A/2

所以拋物線上一動點尸到直線/的距離的最小值為~=~2~-

田.2-g

答案：

［掃盲?補短】

傾斜角a與斜率M的關(guān)系：當(dāng)a?0,?時，*e［0,+8）,當(dāng)a=1時，斜率A不存

知識

盲點在，當(dāng)aeR,7t）時，左G（—8,0）

（1）設(shè)直線的方程時要注意其適用條件，如設(shè)點斜式時，要注意斜率不存在的情況；設(shè)

思維截距式時要注意截距為零的情況.

難點（2）已知直線的平行、垂直關(guān)系求參數(shù)值時，可以直接利用其系數(shù)的等價關(guān)系式求值，

也要注意驗證與x,y軸垂直的特殊情況

基礎(chǔ)考法（二）圓的方程

［評價?診斷］

1.設(shè)甲：實數(shù)“<3；乙：方程/+產(chǎn)-x+3y+a=0是圓，則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析：選B若方程/+,2—x+3y+a=0表示圓，

則（一1戶+32—4a=10—4?>0,

解得a<|;

55

Va<3=>/?<z,?<T=>?<3,

甲是乙的必要不充分條件.

故選B.

2.已知圓0的圓心是坐標(biāo)原點0,且被直線2x-j+5=0截得的弦長為4,則圓0的

方程為()

A.x2+j2=4B.x2+j2=8

C.x2+j2=5D.x2+j2=9

解析：選D由題意，設(shè)圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為好+丫2=/，

則圓心0(0,0)到直線2x-y+5=o的距離為

d=p；(—l)2=*'

又由圓。被直線2x-j+5=0截得的弦長為4,

可得2..一$=4,化簡得產(chǎn)一巾P=4,

解得產(chǎn)=9,即圓的方程為*2+)2=9.

3.已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0,in),若直線2x—y+3=0與圓C相切于點A(2,7),則圓C

的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

解析：如圖所示，.

笠巴-y+3=0

由圓心C(0,M與切點A的連線與切線垂直，/TV

得解得機=8.所以圓心為(0,8),J

5

半徑為r=y/,_(2_-0_)2+_(_7-_8)2=y[5.7T

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為了2+什一8)2=5.

答案：/+3—8)2=5

4.(2022?全國乙卷)過四點(0,0),(4,0),(—1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為

解析：若圓過(0,0),(4,0),三點，設(shè)過這三點的圓的一般方程為x2+y2+￡)x+Ey

|F=0,D=-4,

+尸=0,分別將三點的坐標(biāo)代入，可得(16+40+尸=0,

解得，E=-6,易得。2+。

12—。+E+/=0,

F=0,

一4尸＞0,所以過這三點的圓的方程為x2+y2-4x-6y=0,即住一2)2+&-3)2=13.

若圓過(0,0),(4,0),(4,2)三點，

設(shè)過這三點的圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,分別將三點的坐標(biāo)代入,

|F=0,D=-4,

可得產(chǎn)

116+40+=0,解得，E=-2,易得。2+/2-4尸＞o,所以過這三點的

120+4D+2E+尸=0,

邛=0,

圓的方程為x2+j2—4x—2j=0,即(x—2產(chǎn)+3—1尸=5.

若圓過(0,0),(-1,1),(4,2)三點，設(shè)過這三點的圓的一般方程為x2+y2+°x+Ey+F=0,

|F=0,

分別將三點的坐標(biāo)代入，可得12—O+E+/=0,

120+40+2E+F=0,

r-8

o-

n=_V

-

^

解易得。2+后2—4f>0,所以過這三點的圓的方程為3+爐一爭:一爭,

)E=-14-

3

^^

㈣X7272659

^^

若圓過(4,0),(—1,1),(4,2)三點，設(shè)過這三點的圓的一般方程為*2+爐+加+￡y+尸=o,

分別將三點的坐標(biāo)代入，

(16+40+尸=0,

可得《2—。+￡+f=0,

解得，E=-2,易得。2+E2—4尸>0,所以過這三點

[20+40+2E+F=0,

的圓的方程為好+產(chǎn)一與x—2y一學(xué)=0,即g—§2+(y—1)2="^.

答案：(*_2)2+3_3)2=13或(*_2)2+&-1)2=5或q_32+Q_32=系或+

［掃盲?補短］

求圓的方程主要方法有兩種

(1)幾何法求圓的方程，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫

方法疑點出方程.

(2)待定系數(shù)法求圓的方程時，若已知條件與圓心3,。)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程，否則選擇圓的一般方程

思維難點求圓的方程時要注意應(yīng)用圓的幾何性質(zhì)，即應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法

基礎(chǔ)考法(三)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

［評價?診斷］

1.過拋物線y2=4x焦點F的直線與圓*2+中-12*+27=0相切于點P,則|尸司=()

A.3B.2^3

C.4D.3^2

解析：選C由題可得F(l,0),圓x2+j2-12x+27=0,即(*-6)2+爐=9,圓心為

(6,0),半徑為3,所以|PF|=d(6—1)2-32=4.

2.過點M(3,l)作圓好+中-2*一6廠1~2=0的切線/,貝！1/的方程為()

A.x+j—4=0B.x+y—4=0或x=3

C.x~y~2=0D.x+y-2=0或x=3

解析：選C根據(jù)題意，設(shè)圓好+y―2*—6y+2=0的圓心為C,

圓x2+y2—2x—6y+2=O,即(x-l)2+(y—3/=8,其圓心為(1,3),

又由點M的坐標(biāo)為(3,1),有(3—1尸+。-3)2=8,即點M在圓上，

則AMC=1IZ|=—1,則切線的斜率A=l,

則切線的方程為j—l=x—3,

即x—y-2=0,故選C.

3.(2022?洌博一模)(多選)若圓G：*2+爐=1與圓。2：(x-ap+u-力2=i的公共弦

的長為1,則下列結(jié)論正確的有()

A.a2+b2=l

B.直線AB的方程為2ox+2與-3=0

C.45中點的軌跡方程為工2+產(chǎn)=、

D.圓G與圓C2公共部分的面積為零-半

解析：選BC兩圓方程相減可得直線A3的方程為4+小―2or—2a=0,5p2ax+2by

-a2-b2=0,因為圓G的圓心為Ci(0,0),半徑為1,且公共弦A3的長為1,則G(0,0)到直

線2ax+2by—a?—/>2=0的距離為卓，所以二十：=坐,解得。2+廿=3,所以直線A5

1y］4(a2+b2)2

的方程為2ax+2%—3=0,故A錯誤，B正確；由圓的性質(zhì)可知直線垂直平分線段AB,

所以G(0,0)到直線2ax+2切一層一52=0的距離即為AB中點與點G的距離，設(shè)A5中點坐

標(biāo)為(x,y),因此7(x—0)2+(y—0)2=乎,即產(chǎn)+產(chǎn)二》故c正確；

因為AB=GA=G5=1,所以N5GA=g,即圓G中劣弧A5所對的圓心角為三，所以

7t

扇形的面積為jx7rX12=￡三角形C/8的面積為WxiXl義害=申,所以圓G與圓C2

LitOLZ4

公共部分的面積為2X,一坐^=W一坐，故D錯誤.

［掃盲?補短］

(1)與圓的弦長有關(guān)的問題常用幾何法，即利用圓的半徑r,圓心到直線的距離d,及

方法半弦長(構(gòu)成直角三角形的三邊，利用其關(guān)系來處理.

疑點

(2)判斷兩圓的位置關(guān)系時常用幾何法，即利用兩圓圓心之間的距離與兩圓半徑之間的

關(guān)系，一般不采用代數(shù)法

思想涉及圓的切線和弦長問題，一般都要連接圓心和切點，或圓心和弦的中點，利用數(shù)形

高點結(jié)合的思想方法求解

基礎(chǔ)考法(四)圓錐曲線的方程與簡單性質(zhì)

[評價?診斷]

X2V2

1.關(guān)于橢圓C：，+方=13＞方＞0),有下面四個命題：甲：長軸長為4；乙：短軸長

為2；丙：離心率為g；T：右準(zhǔn)線的方程為*=4；如果只有一個假命題，則該命題是()

A.甲B.乙C.丙D.丁

解析：選B依題意，甲：a=2;乙：b=l;丙：!=；；?。?=4；；?甲、

丙、丁真命題，故乙為假命題.故選B.

2.雙曲線E與橢圓G?+f=1焦點相同且離心率是橢圓C離心率的巾倍，則雙曲線

E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A./—[=]B.y2—2x2=l

c^d=iD-9一中=1

解析：選C雙曲線E與橢圓C:^+￡=1焦點相同，則焦點坐標(biāo)為(-2,0),(2,0),橢

亞_22

圓的離心率為乖=而雙曲線的離心率為小X赤=也，設(shè)雙曲線實半軸長為生虛半軸

長為b,焦距為2c,則C=2,、木今a=小,1b=巾,

所求雙曲線方程為：j—^=1.

3.(2022?北京高考)已知雙曲線丹\=1的漸近線方程為尸土坐x,則%=.

解析：法一：依題意得m＜0,雙曲線的方程可表示為爐一士=1,此時雙曲線的漸近

線的斜率為±-9==興

,解得/九=—3.

y1-mJ

法二：依題意得/九＜0,令y2一2一=0,

得尸±7^=x=土坐x,解得/n=-3.

J

答案：一3

4.已知拋物線V=2px(p>0),若過點(1,2)的直線/與拋物線恒有公共點，則p的值可

以是.(寫出一個符合題意的答案即可)

解析：若點(1,2)在拋物線y2=2px(p>o)的內(nèi)部或在拋物線上，則過點(1,2)的直線/與拋

物線恒有公共點，所以當(dāng)x=l時，y=4522,解得p》2,

故答案為2(答案不唯一，不小于2的實數(shù)均正確).

答案：2(答案不唯一，不小于2的實數(shù)均正確)

［掃盲?補短］

h/丫2

已知雙曲線的漸近線方程產(chǎn)力，可設(shè)雙曲線方程為今一方=如為常數(shù))，此

知識

盲點

時雙曲線的離心率1+02=業(yè)+卜2

(1)橢圓與雙曲線中參數(shù)的關(guān)系式弄混，橢圓中的關(guān)系式為層="+,2,雙曲線

方法

中的關(guān)系式為。2=9+系;

疑點

(2)圓錐曲線方程確定時還要注意焦點位置

［課時驗收評價］基礎(chǔ)性考法滿分練

1.已知直線ax+2y+6=0與直線x+(a-l)j+a2-l=0互相平行,則實數(shù)a的值為()

A.-2B.2或一1

C.2D.-1

解析：選D直線ax+2y+6=0斜率必存在，

已知兩直線平行，則一5=——即層一a—2=0,

/(I1

解得a=2或a=—1,

當(dāng)。=2時，兩直線重合，，〃=—1.

2.(2022?四川冰山二模)已知雙曲線］一,=1,則下列說法正確的是()

A.離心率為2B.漸近線方程為小x±y=0

C.焦距為mD.焦點到漸近線的距離為由

2x2________

解析：選A因為雙曲線：一1=1,所以“=v&，/c=-\Ja2+b2=2y/2,

所以離心率e=：=1亭=2;漸近線方程為7=±齊=±；景=土乎x,

即小x±3y=0;

10+3X2^21

焦距為2c=4g；焦點坐標(biāo)為(()，±272)焦點到漸近線的距離為d=水.

［（小尸+32

3.(2022?江蘇連云港模?擬)直線，"x-y+/n+/=0與圓x2+y2=4相切，則機的值為()

A.小B.1

D.一小

解析：選C因為直線mx—y+/n+由=0與圓*2+y2=4相切,

」,"+小|

所以由圓心到直線的距離等于半徑得：d=r,即—2,解得:亞

y]in2+l'"=3-

4.已知從點(一5,3)發(fā)出的一束光線，經(jīng)x軸反射后，反射光線恰好平分圓：(x-l)2+(j

-1)2=5的圓周，則反射光線所在的直線方程為()

A.2x—3j+l=0B.2x—3j—1=0

C.3x—2y+l=0D.3x—2j—1=0

解析：選A設(shè)點A的坐標(biāo)為(一5,3),圓(工-1)2+&-1)2=5的圓心坐標(biāo)為3(1,1),

設(shè)C(x,0)是x軸上一點，因為反射光線恰好平分圓(x—l)2+(y—1產(chǎn)=5的圓周，

所以反射光線經(jīng)過點8(1,1),

由反射的性質(zhì)可知：

3—0.1—01

匕C+ABC=0==二^+廠三=00*=-5,

于是癡=—I。小號,所以反射光線所在的直線方程為：產(chǎn)能+號)02x—3y+l=0,

1一1一2

故選A.

5.(2022?廣東潮州二樓)唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽

火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在

觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為8(3,4),若將軍從點4—2,0)處出發(fā)，河岸線所在

直線方程為y=x,則“將軍飲馬”的最短總路程為()

A.5B.3^5C.45D.5小

解析：選B因為點4(一2,0)關(guān)于直線y=x的對稱點為A'(0,—2),所以H'陰即為

“將軍飲馬”的最短總路程，則“將軍飲馬”的最短總路程為|A'B[=y/9+36=3下.

6.(2022?河北磬山二機再為拋物線C：y2=4x的焦點，點M(?i,4)在C上，直線交

C的準(zhǔn)線于點N,則|FN|=()

A4B.y

C.5D.12

解析：選B點M(?i,4)在拋物線C:y2=4x-L,則42=4,〃，解得膽=4,則M(4,4),

又拋物線C:V=4x的焦點粗1,0),準(zhǔn)線*=一1,

則直線MF的方程為4x-3j-4=0,

7.在圓M：*2+爐-2A—3=0中，過點E(0,l)的最長弦和最短弦分別為AC和5。，則

四邊形ABCD的面積為()

A.2y[2B.4巾

C.6^2D.8^2

解析：選B圓M:x2+j2-2x-3=0,即M:(x-l)2+V=4,圓心為M(l,0),半徑r

又|ME|=d#+(—iy=巾,

所以過點E(0,l)的最長弦|AC|=2r=4,

最短弦|8。|=2可=一附￡：|2=2吸,

且最短弦與最長弦互相垂直，

所以S臼邊好ABCD=^\AC\X\BD\=4y[2,

故選B.

8.(2022?北京西城一模)已知點A為圓C：(X一m)2+3—〃?-1)2=2上一點，點8(，0),

當(dāng)機變化時，線段4B長度的最小值為()

A.1B.2

C.^2D.2巾

解析：選C由圓C:(X—/n)2+(y—/n—1)2=2,可得圓心C("?,m+1),半徑為r=&,

則18cl=yj(m-3)2+(m+l)2=y]2m2-4m+U)=yj2(m~l)2+S,

當(dāng)機=1時，|8C|取得最小值，最小值為18clmm=2g，

所以線段AB長度的最小值2取一r=①

9.(多選)已知直線/：fcr—y+2A=0和圓。：x2+j2=9,貝！|()

A.直線/恒過定點Q,0)

B.存在#使得直線/與直線/o：x-2y+2=0垂直

C.直線/與圓。相交

D.若k=T,直線/被圓0截得的弦長為2巾

解析：選BCD直線/:kx-y+2k=0,即y=A(x+2),則直線恒過定點(-2,0),故A

錯誤；

當(dāng)k=—2時，直線/:Ax—y+2?=0與直線/()：r—2y+2=()垂直，故B正確；

,定點(-2,0)在圓O:x2+y2=9內(nèi)部，

，直線/與圓O相交，故C正確；

當(dāng)A=—1時，直線/化為一%—y—2=0,即x+y+2=0,

圓心。到直線的距離d=^=巾,

直線/被圓O截得的弦長為八萬二1=2由，故D正確，

故選B、C,D.

10.(多選)點尸在圓G：x2+j2=l±,點。在圓C2：(x-3)2+U+4)2=16上，貝！J()

A.|P°|的最小值為()

B.兩圓公切線有兩條

C.兩個圓心所在的直線斜率為一：

D.兩個圓相交弦所在直線的方程為3x-4y—5=0

解析：選AC由圓的方程知：圓G的圓心G(0,0),半徑n=1;圓C2的圓心Cz(3,一

4),

半徑/2=4；

22

|CiC2|=Aj(0-3)+(0+4)=5=ri+/-2,

兩圓外切；

對于A,若P,。重合，為兩圓的切點，則|PQ|min=0,A正確；

對于B,兩圓外切，則公切線有3條，B錯誤；

,_4—04.

對于C,kCC=1=_Q,C正確；

JUJ

對于D,I?兩圓外切，.?.兩個圓不存在相交弦，D錯誤.

22

11.(多選)設(shè)橢圓束x+v[=1的右焦點為F,直線產(chǎn)，”(0VZ巾)與橢圓交于A,5兩點,

則()

A.以尸|十|8/|為定值

B.△A3尸的周長的取值范圍是[6,12]

C.當(dāng),〃=乎時，ZXABF為直角三角形

D.當(dāng),〃=1時，ZVIB廠的面積為祈

解析：選ACD設(shè)橢圓的左焦點為F',則|A尸'|=|8尸|

所以|4尸|+|5尸|=以尸|+|4/|=6為定值，A正確；

△ABF的周長為\AB\+\AF\+\BF\,因為|4尸|+山川為定值6,

且用的取值范圍是(0,6),所以△AB尸的周長的取值范圍是(6,12),B錯誤；

將y=乎與橢圓方程聯(lián)立解得A(一嗜，明，3停，啜又因為尸(巡，0),

所以?萬7=0+可￥^)+G^)2=0,

所以448戶為直角三角形，C正確；

將y=l與橢圓方程聯(lián)立，解得A(一祈，1),B(木,1),所以SAABF=；X2出Xl=加,

D正確.

12.(多選)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M(4,4)在拋物線V=2px(p>0)上，拋物線的焦

點為尸，延長MF與拋物線相交于點N,則下列結(jié)論正確的是()

A.拋物線的準(zhǔn)線方程為了=一1

B.\MN\=^

C.△0MN的面積為T

D.|MF|+|NF|=|MF||NF|

2

解析：選AD\,點M(4,4)在拋物線V=2px(p>0)上，.\4=8p=>p=2>ir

：.y2=4x,焦點為f(1,0),準(zhǔn)線為*=-1,A正確，因為M(4,4),

4—044

故匕WF="T[=3，故直線MF為：J=j(x—1),1

j2=4x,

{廠%_])=￥(X—1)2=4X,解得X=；或X=4,—1),

)[u5525

.,.|MF|=4+5=5,|N尸|=]+§=不.,.附N|=5+w=1,B錯誤，

25ii

|MF|+|NF|=|MN|=N=|MF|?|N尸I,D正確，△OMN的面積為予。尸Ky“一yN)=5XlX5

.故C錯誤，故選A、D.

13.(2022?天津一桃)直線Z：x—y一帆=0被圓C：x2+j2—4x+6j—3=0截得的弦長為

4^2,則，〃的值為.

解析：x2+j2—4x+6j—3=0=>(x—2)2+(y+3)2=16,

|2+3一川||5一相|

圓心C(2,—3),半徑r=4,圓心。到直線/的距離d=啦=飛廠

則2年產(chǎn)一.=4啦,即16_?；“)=8,

解得m=9或1.

答案：1或9

*2y2、5

14.(2022?遼寧鞍山一中模擬)與橢圓五+方=1有公共焦點，且離心率eq的雙曲線方

程為.

解析:由元+看=1可得焦點坐標(biāo)為(0,—5),(0,5),

由題意設(shè)雙曲線方程為，一戶=l(a>0,Z>>0),貝4

22

所以方2=。2-〃2=25—16=9,所以雙曲線方程為標(biāo)一方=1.

15.漸近線方程為y=±V5x且過點P(黃，2M3)的雙曲線方程為.

工2M%7—3［2

解析：若雙曲線的焦點在X軸上，設(shè)雙曲線方程為'-笈=1,則且親一爺=1,無

2yla3

解；若雙曲線的焦點在丁軸上，設(shè)雙曲線方程為右v一於=1,則稱=小且5?一本=1,得。2=3,

ft2=l,則雙曲線方程為］一必=1.

答案：專一好=1

16.(2022?北京海淀二模)已知圓C：x2+j2+2x=0,則圓C的半徑為；若直線

y=kx被圓C截得的弦長為1,則k=.

解析：將好+產(chǎn)+2%=0化為標(biāo)準(zhǔn)式得(x+l)2+y2=l,故半徑為1；圓心(-1,0)到直線y

=kx的距離為由弦長為1可得22=1,解得k=±\其

答案：1±73

;層級(二);目標(biāo)學(xué)法:教學(xué)定位

器矗矗:綜合性考法i深化學(xué)習(xí)?精細(xì)研究i二輪復(fù)習(xí)的重心所在

微專題(一)圓的綜合問題

命題點(一)公共弦問題

［例1］過圓M：(x-l)2+y2=4內(nèi)一點A(2,l)作一弦交圓于8,C兩點，過點8,C分

別作圓的切線尸3,PC,兩切線交于點P,則點尸的軌跡方程為()

A.j-5=0B.x+y+5=0

C.x+j-5=0D.x-j-5=0

［關(guān)鍵點撥］

設(shè)尸點坐標(biāo)為(xo,%),寫出以MP為直徑的圓的方程，作差求得公共弦所在直線

切入點

的方程，將點AQ,1)代入方程，由此得出結(jié)論

障礙點確認(rèn)點A在兩圓的公共弦上

［解析］設(shè)尸點坐標(biāo)為(Xo,Jo),

根據(jù)圓的直徑式方程知，以MP為直徑的圓的方程為(x-l)(x-xo)+y(y—泗)=0,

兩圓方程作差可得公共弦BC的方程為(孫一l)x+yy(＞一刈-3=0,

,

而4(2,1)在直線8c上，..xo+jo-5=O,故點尸的軌跡方程為x+y—5=0,故選C.

［答案］C

2222

［例2］(2022?山東臨沂二模)若圓G：x+y=l與圓C2：(x-a)+(y-b)=l的公共弦

AB的長為1,則直線層*+2尤y+3=o恒過定點M的坐標(biāo)為.

［關(guān)鍵點撥］

先求出公共弦所在直線方程，由公共弦48的長為1結(jié)合圓中弦長公式求得涼+

切入點

b2=3,將直線轉(zhuǎn)化為，(x-2y)+6y+3=0,解方程組即可求得定點坐標(biāo)

障礙點求公共弦AB所在的直線方程

關(guān)鍵點尋求a和5的關(guān)系式

［解析］由G：x2+j2=l和C2：(x-a)2+(y-6)2=l可得公共弦所在直線方程為x2+y2

—[(X—a)2+(y—b)2]=0,

BP2ax+2by-a2~b2=0,由公共弦AB的長為1可得直線2ax+2by-a2-b2=()與圓Ci：

*2+y2=l相交弦長即為1,

|一o2-yja2-\-b2

又圓心到直線的距離

'yj4a2+4b2~2

故心呼2,

即/+"=3,

故直線。2*+2尤y+3=0,可化為a2x+(6—2a2)j+3=0,整理得a2(x-2J)+6J+3=0,

Jx—2j=0,故定點M的坐標(biāo)為(一1,一，.

由6j+3=0,

【答案】(一1，-1)

口方法技巧

(1)若兩圓相交，則兩圓公共弦所在直線的方程可由兩圓的方程作差消去了2,y2項得到.

(2)求兩圓公共弦長，在其中一圓中，由弦心距d,半弦長￡半徑r構(gòu)成直角三角形，利

用勾股定理求解.

(3)兩圓公共弦的垂直平分線過圓的圓心.

*對訓(xùn)練

1.已知圓G：爐+產(chǎn)―"a―3=0平分圓。2：(X—l)2+(y—2)2=4的周長，則帆=()

A.2B.4C.6D.8

解析：選C由圓Ci：好+產(chǎn)一切x—3=0平分圓C2：(x-lp+ty—2)2=4的周長可知，

圓G經(jīng)過圓C2的一條直徑的兩個端點，所以圓C2的圓心在圓G與圓。2的公共弦上，兩圓

方程相減整理得圓G與圓。2的公共弦所在直線的方程為(2—山)工+4y一4=0,又圓心。2(1,2),

所以2—膽+8—4=0,所以〃1=6,故選C.

2.已知圓Oi：爐+爐―2工-3=0與圓。2：爐+爐―4x+2y+3=0相交于點A,B,則四

邊形4。山。2的面積是()

A.1B.2C.3D.4

解析：選B根據(jù)條件易知01(1,0),02(2,-1),所以|01。2|=也，圓Oi：x2+y2-2x

-3=0的半徑為2,

圓Oi：爐+產(chǎn)-2榮一3=0與圓。2：d+儼一4x+2y+3=0相交于點A,B,

|1一0-3|

A5的方程為：2x-2y-6=0.即x-y-3=0,圓心Oi到A5的距離為:=也,

于是［46|=26，因為OIO2>LA8,

所以四邊形408。2的面積為：||AB||O,O2|=|X2y［2Xy［2=2.

命題點(二)隱圓問題

在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中，要通過分析、轉(zhuǎn)化、發(fā)現(xiàn)圓

(或圓的方程)，從而最終利用圓的知識來求解，我們稱這類問題為“隱圓問題”.

［例1］已知點4(—5,—5)在動直線,,“一3"=0上的射影為點8,若點C(5,

-1),那么|BC|的最大值為()

A.16B.14C.12D.10

［解析］動直線的方程可變形為機(工-1)+〃。-3)=0,所以，該直

線過定點Q(l,3),

又因為點4(—5,—5)在動直線mx+ny—m—3n=0上的射影為點

B,所以，NA8Q=90。，

設(shè)線段4。的中點為點M,則M(—2,-1),

由直角三角形的基本性質(zhì)可得|8M=；|AQ=W(-5-l)2+(-5-3)2=5,

所以點B在以線段AQ為直徑的圓上，即點B在圓(X+2)2+(J+1)2=25上，

又因為點C(5,-1),故|CM|=y(5+2)2+()2=7,因此，|BC|max=|CM+5=7+5=12.

［答案］C

［例2］若平面內(nèi)兩定點A,B之間的距離為2,動點尸滿足|尸3『也|E4|,貝iltanNAB尸

的最大值為()

C巾D.小

【關(guān)鍵點撥】

由題意，建立坐標(biāo)系后，設(shè)點4(-1,0),8(1,0),根據(jù)題意，求出動點尸

切入點

的軌跡方程，再數(shù)形結(jié)合即可求解

隱藏點根據(jù)動點P滿足確定動點P的軌跡

遷移點數(shù)形結(jié)合，利用直線和圓的位置關(guān)系確定使tanNABP最大的點尸

［解析］以經(jīng)過A,B的直線為x軸，線段43的垂直平分線為y

軸，建立直角坐標(biāo)系，

則A(—1,0),3(1,0),設(shè)尸(x,y),"：\PB\=y［2\PA\,

.^(X~l)2+j2r-

,,y(*+］)2+尸2,

兩邊平方整理可得：*2+6x+V+l=0=(x+3)2+y2=8,

即動點尸的軌跡是以(一3,0)為圓心，以2加為半徑的圓，

當(dāng)點尸在如圖所示的位置時，tanNABP的值最大，

+3.2g2yli

tanZABP-1,

［答案］B

口方法技巧

發(fā)現(xiàn)確定隱圓的主要方法

(1)利用圓的定義或圓的幾何性質(zhì)確定隱圓.

(2)在平面上給定相異兩點4,8,設(shè)點P在同一平面上且滿足|松|=川產(chǎn)陰，當(dāng)2>0且2#1

時，點尸的軌跡是個圓，這個圓我們稱作阿波羅尼斯圓.

(3)兩定點A,B,動點P滿足鉉?不了=2,確定隱圓.

斗■對訓(xùn)練

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：x2+j2-6x+5=0,點4,8在圓上，且|AB|

=2小，則|畝+蘇|的取值范圍是.

解析：設(shè)4(X1,Ji),B(X2,J2),A5中點M(x',y').

"=空至,y'=肛瞥，：.~OA+~OB=(xi+x2,yi+yi)=2OM,

?圓C:x2+y2-6x+5=o,?,.(x-3)2+/=4,圓心C(3,0),半徑|C4|=2.

一點A,B在圓C上，|AB|=2小，A|CA|2-\CM^=(1\AB\\2,即|CM|=1.

點M在以C為圓心，半徑r=l的圓上.

：.\OM\^\OC\-r=3-1=2,|OM|4|OC|+r=3+1=4.

：.2^\OM\^4,：.4^\OA+7)B\^S.

答案：［4,8］

2.已知圓O：/+了2=1,圓Af：(x—2a)2+(y—a+l)2=l,若圓M上存在點P,過點尸

作圓。的兩條切線，切點為A,B,使得NAP5=60。，則”的取值范圍是.

解析：圓。的半徑為1,圓M上存在點P,過點尸作圓。的兩條切線，

切點分別為A,B,使得NAPB=60°,則N4Po=30。，

在Rtz\jR40中，|尸0|=2,所以點尸在圓好+?2=4上，

由于點P也在圓M上，故兩圓有公共點.又圓M的半徑等于1,圓心坐標(biāo)M(2a,a-

1),

：.2-l^\OM\^2+l,，2—1W-4a2+5一1)2卜2+l=>"e0U.

答案:mm，氣叵

命題點(三)與圓有關(guān)的最值、范圍問題

與圓相關(guān)的最值問題上，主要考查與圓相關(guān)的參數(shù)范圍問題、與圓相關(guān)的長度或面積的

最值問題.除了以選擇題、填空題的形式考查外，有與圓錐曲線相結(jié)合的考查趨勢.

［例1］(2022?新高考II卷)設(shè)點A(—2,3),5(0,a),若直線AB關(guān)于y=a對稱的直線與

圓(x+3)2+(y+2)2=l有公共點，則a的取值范圍是.

［解析］由題意知點4(一2,3)關(guān)于直線y=a的對稱點為A'(-2,2a~3),所以以，B=

3—ci3-a

,所以直線4'5的方程為了=「廠工+。，即(3-a)x-2y+2a=0.由題意知直線4'B與

圓(x+3)2+&+2)2=1有公共點，易知圓心為(-3,-2),半徑為1,所以

L313-,+(二這］,整理得6a2-ua+3W0,解得;Waw|,所以實數(shù)a的取

y(3—十(一2)~J/

值范圍是I］.

［答案］?

［例2］