第四章有源濾波器

第四章有源濾波器第1頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.1濾波器近似如果需要抑制的信號(hào)和需要通過的信號(hào)在頻率上非常接近，那么在這種情況下二級(jí)濾波器的截止特性可能就不夠陡峭，此時(shí)就需要采用某種高階濾波器。實(shí)際的濾波器只能逼近圖3.1所示的理想響應(yīng)曲線。一般而言，如果要求逼近的程度愈好，那么濾波器的階數(shù)就會(huì)愈高。實(shí)際低通濾波器與它的理想模型之間的差別可用圖4.1（a）中的陰影部分來表示低通情況。引人衰減量為（4.1）圖4.1（a）低通響應(yīng)；（b）高通響應(yīng)的幅度限制第2頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三可以看到，對(duì)信號(hào)產(chǎn)生些微或幾乎沒有衰減的頻率范圍稱為通帶。對(duì)于低通濾波器，通帶一直從直流延伸到截止頻率。增益在通帶范圍內(nèi)不必為一個(gè)常數(shù)，對(duì)它的變化定義了一個(gè)最大變化量Amax，如Amax=1dB。增益在通帶內(nèi)可能會(huì)呈現(xiàn)起伏，此時(shí)Amax稱為最大通帶起伏，而通帶被稱為起伏帶。于是的含義就是相應(yīng)曲線離開起伏帶邊界點(diǎn)處的頻率。幅度在過了以后就會(huì)下降從而進(jìn)入阻帶。阻帶是一個(gè)基本上達(dá)到完全衰減的頻率區(qū)域。阻帶用某些最小允許衰減對(duì)其進(jìn)行了詳細(xì)標(biāo)定，如Amin=60dB。阻帶開始處的頻率記為。因?yàn)楸戎到o出了一種響應(yīng)陡峭程度的度量，所以它被稱為選擇性因子。介于和之間的頻率范圍稱為過渡帶，或者邊緣。某些濾波器近似以增大其他帶內(nèi)起伏為代價(jià)換取過渡帶內(nèi)下降曲線斜率的最大化。低通情況下所給出的一些術(shù)語(yǔ)，可以很容易地?cái)U(kuò)展到圖4.1（b）所示的高通，以及圖4.2所示的帶通和帶阻的情況中去。圖4.2（a）帶通響應(yīng)；（b）帶阻響應(yīng)的幅度限制第3頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三隨著傳遞函數(shù)階數(shù)n的增加，引入了其他的一些以高價(jià)多項(xiàng)式系數(shù)形式出現(xiàn)的參數(shù)。這些系數(shù)為設(shè)計(jì)者在給出幅頻和相頻特性時(shí)提供了更多的自由度，因而可以獲得更好的優(yōu)化程度。在這些各種各樣的近似中，有一些近似一直以來令人感到滿意，于是就在濾波器手冊(cè)中詳細(xì)列出了它們的系數(shù)表。它們是巴特沃茲、切比雪夫、考爾和貝塞爾近似。濾波器表格中列出了截止頻率為1rad/s的各種近似的分母多項(xiàng)式的系數(shù)。例如，五階巴特沃茲響應(yīng)的系數(shù)是b0=b5=1,b1=b4=3.236和b2=b3=5.236。于是（4.2）另外一種方法是把H(s)表示式分解成階數(shù)≤2的因式乘積的形式，然后再列出這些因式系數(shù)的表。若用這種方法來表達(dá)，上式變?yōu)椋?.3）第4頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三高階濾波器的設(shè)計(jì)是從選擇最適合應(yīng)用要求的近似開始的，然后是確定，，Amax和Amin。后者是利用濾波器手冊(cè)和計(jì)算機(jī)程序求得階次n的關(guān)鍵。確定了n以后，有源濾波器的設(shè)計(jì)者就有了很多的選擇，其中最為常用的是級(jí)聯(lián)方式和RLC梯形仿真方式。級(jí)聯(lián)方式是通過級(jí)聯(lián)第3章中所研究過的低階節(jié)來獲得所需要的響應(yīng)。而梯形仿真方式則是使用諸如回旋器和頻率負(fù)阻的有源阻抗轉(zhuǎn)換器，來模仿能滿足要求的無源RLC濾波器原型的。若選擇級(jí)聯(lián)設(shè)計(jì)方式，接下來是確定各個(gè)部分的和Q值（也可能是）；若選擇梯形仿真方式，則要確定各部分的R，L和C的值。這些數(shù)據(jù)可以通過濾波器表格和計(jì)算機(jī)程序來獲得。這些計(jì)算機(jī)程序是由運(yùn)算放大器制造商提供用來擴(kuò)大產(chǎn)品的應(yīng)用的。第5頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三巴特沃茲近似巴特沃茲近似的增益是(4.4)式中n是濾波器的階次，是截止頻率，是一個(gè)決定最大通帶起伏量的常數(shù)。例如。的2n-1階導(dǎo)數(shù)在處的值為零，表明曲線在處最大平滑。由于巴特沃茲曲線在附近變成圓弧形，而且在阻帶以-20ndB/dec的斜率滾降，因而被貼切地稱為最大平坦。圖4.4（a）示出了時(shí)的情況，可見n的階數(shù)越高，則響應(yīng)曲線越逼近理想模型。圖4.4（a）巴特沃茲響應(yīng)第6頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三切比雪夫近似有時(shí)候響應(yīng)曲線的銳截止比最大平坦更為重要。切比雪夫?yàn)V波器以引入通帶起伏為代價(jià)，使過渡帶曲線下降的斜率最大化，如圖4.4（b）所示。一般來說，對(duì)于給定的，若越大，則過渡帶就越窄。若一個(gè)n階切比雪夫近似的截止頻率為，且滿足，則它的增益為（4.5）式中，稱為n階切比雪夫多項(xiàng)式，定義如下：（4.6b）（4.6a）由上式可得和。另外，在通帶內(nèi)使余弦項(xiàng)取0和1的頻率處，的值分別取最大峰值1或最小谷值。包括起點(diǎn)在內(nèi)的這些最大值和最小值的個(gè)數(shù)等于n。第7頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖4.4（b）1dB切比雪夫響應(yīng)巴特沃茲近似僅僅在通帶末端才呈現(xiàn)出對(duì)直流值的明顯偏離，與此形成對(duì)照的切比雪夫近似則通過增加通帶內(nèi)的起伏來提高它的過渡帶特性。切比雪夫響應(yīng)在直流處的分貝值若n是奇數(shù)時(shí)為0，n是偶數(shù)時(shí)則為。由于切比雪夫?yàn)V波器可以用低于巴特沃茲濾波器的階次來實(shí)現(xiàn)給定的過渡帶截止速率，因而降低了電路的復(fù)雜性和價(jià)格。然而，切比雪夫響應(yīng)在過渡帶以外就像同階的巴特沃茲響應(yīng)一樣，也以-20ndB/dec滾降。切比雪夫，俄文原名Пафну?тийЛьво?вичЧебышёв，（1821年5月26日－1894年12月8日），俄羅斯數(shù)學(xué)家。第8頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.2級(jí)聯(lián)設(shè)計(jì)這種方法是基于可以將傳遞函數(shù)H（s）因式分解后化成低階項(xiàng)乘積的形式來實(shí)現(xiàn)的。如果階次n是偶數(shù)，那么分解后的式子由n/2個(gè)二階項(xiàng)組成：(4.7)如果階次n是奇數(shù)，則分解后的式子就會(huì)含有一個(gè)一階項(xiàng)。有時(shí)可將這個(gè)一階項(xiàng)與二階項(xiàng)中的一個(gè)合并而產(chǎn)生一個(gè)三階項(xiàng)。如果存在一階項(xiàng)，則可用純粹的RC或CR網(wǎng)絡(luò)來實(shí)現(xiàn)，于是僅僅需要知道的是所要求的頻率。二階項(xiàng)則可以用從3.5節(jié)到3.6節(jié)所介紹的任何一種濾波器來實(shí)現(xiàn)。對(duì)于每一級(jí)，都需要知道它的和Q，如果這一級(jí)是帶阻的話，還需要知道。如前所述，這些數(shù)據(jù)可以通過濾波器手冊(cè)或者利用計(jì)算機(jī)計(jì)算而獲得。我們找出一些H(s),令我們滿意，比如巴特沃茲函數(shù)。第9頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三高階濾波器設(shè)計(jì)思路低階濾波器滿足不了應(yīng)用增大傳遞函數(shù)階數(shù)找到最佳傳遞函數(shù)巴特沃茲切比雪夫考爾貝塞爾將傳遞函數(shù)H（s）因式分解級(jí)聯(lián)的低階濾波器高階濾波器控制幅度和相頻響應(yīng)第10頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三級(jí)聯(lián)方式具有很多優(yōu)點(diǎn)。每一節(jié)的設(shè)計(jì)相對(duì)較簡(jiǎn)單，元件值也一般較低。每節(jié)低輸出阻抗消除了級(jí)間負(fù)載效應(yīng)，因此如果需要的話，可以將每節(jié)看成是獨(dú)立于其他部分的，從而可以單獨(dú)進(jìn)行協(xié)調(diào)。由于可以使用一些標(biāo)準(zhǔn)模塊來設(shè)計(jì)出各種各樣和更加復(fù)雜的濾波器，因此從經(jīng)濟(jì)的角度來看，這種設(shè)計(jì)方式本身的模塊化是很吸引人的。從數(shù)學(xué)的角度開說，各部分級(jí)聯(lián)的順序是沒有關(guān)系的。然而在實(shí)際應(yīng)用中，由于在高Q的節(jié)中可能存在信號(hào)箝位，因此為了避免動(dòng)態(tài)范圍的損失和濾波器精度的降低，可以把各節(jié)按Q值升高的順序級(jí)聯(lián)在一起，即把低Q值的節(jié)放在信號(hào)通路的第一級(jí)上。但是，這種級(jí)聯(lián)順序并沒有考慮到在高Q值節(jié)中可能成為關(guān)注的內(nèi)部噪聲的影響。高Q模塊中任何落在諧振峰值處的噪聲都可能會(huì)被顯著放大。因此，應(yīng)將高Q部分放在級(jí)聯(lián)順序中的前列來減少噪聲。一般而言，最優(yōu)的級(jí)聯(lián)順序是根據(jù)輸入信號(hào)的頻譜，濾波器類型，以及各部分的噪聲特性來進(jìn)行選取的。第11頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三低通濾波器設(shè)計(jì)表4.1列舉出進(jìn)行級(jí)聯(lián)設(shè)計(jì)時(shí)所需的若干數(shù)據(jù)。巴特沃茲和貝塞爾分別對(duì)不同的n值列出了它們的數(shù)據(jù)，切比雪夫則是對(duì)不同的n和而列出。（表中示出了對(duì)應(yīng)于和的數(shù)據(jù)）?？紶杽t是對(duì)不同的n，和列出（表中未示出）。頻率則是通過對(duì)1Hz的截止頻率歸一化來表示的。這個(gè)頻率在巴特沃茲和貝塞爾情況下與-3dB頻率相重合，而在切比雪夫和考爾情況下代表響應(yīng)離開起伏帶時(shí)的頻率。把表中歸一化的頻率與將要設(shè)計(jì)的濾波器截止頻率相乘，可以得到實(shí)際頻率（4.8a）考爾濾波器表中不僅含有極點(diǎn)頻率，而且還含有零點(diǎn)頻率。零點(diǎn)頻率可按下式進(jìn)行轉(zhuǎn)換：（4.8b）第12頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三低通濾波器常用來與模數(shù)轉(zhuǎn)換（A-D）和數(shù)模轉(zhuǎn)換（D-A）相連接。由著名的采樣定理可知，輸入到A-D轉(zhuǎn)換器的信號(hào)帶寬必須限制到低于采樣頻率的一半，這樣才不會(huì)產(chǎn)生混疊。與此相類似，D-A轉(zhuǎn)換器的輸出信號(hào)為了不受離散化和時(shí)間采樣的影響，也必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)钠交Ｒ陨蟽蓚€(gè)任務(wù)都可以由在采樣頻率一半的頻率處提供足夠大衰減的低通濾波器實(shí)現(xiàn)。第13頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三表4.1第14頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第15頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第16頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用軟件設(shè)計(jì)第17頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三滿足要求的幅頻、相頻響應(yīng)特性曲線第18頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三濾波器電路第19頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三高通濾波器設(shè)計(jì)因?yàn)楦咄▊鬟f函數(shù)可以通過把低通傳遞函數(shù)中的換成后得到，以及表4.1所列出歸一化頻率在高通濾波器設(shè)計(jì)中仍然可以使用，只要實(shí)際頻率由表中頻率按如下方式來獲得（4.9a）（4.9b）即可，式中是將要設(shè)計(jì)的濾波器的截止頻率。第20頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.3通用阻抗轉(zhuǎn)換器阻抗轉(zhuǎn)換器是一種有源RC電路，可用來在有源濾波器總綜合電路中模仿像電感一類與頻率有關(guān)的器件。在多種不同結(jié)構(gòu)中，圖4.13所示通用阻抗轉(zhuǎn)換器(GIC)是應(yīng)用最為廣泛的一種。它不僅可以模仿電感，而且還可以綜合出和頻率有關(guān)的電阻。圖4.13通用阻抗轉(zhuǎn)換器（GIC)圖4.14求GIC對(duì)地的等效阻抗為了求出從A點(diǎn)看進(jìn)去的等效阻抗Z，可在圖4.14所示電路中加一個(gè)測(cè)試電壓V，會(huì)產(chǎn)生電流I,于是就有Z=V/I。由于運(yùn)算放大器都有，所以可將兩個(gè)運(yùn)算放大器輸入端電壓都標(biāo)記成V。由歐姆定律，可得第21頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三然后分別在Z2和Z3的公共節(jié)點(diǎn)以及Z4和Z5的公共節(jié)點(diǎn)對(duì)電流求和，可得消去V1和V2，對(duì)Z=V/I求解，可得(4.10)可以根據(jù)Z1到Z5不同的元件類型來將電路組成各種不同的阻抗類型。其中最有意思與最有用途的電路如下所述：第22頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.除了Z2（或Z4）是電容以外，其他的Z都為電阻。令（4.10）式中可得（4.11a）（4.11b）由此可知，該電路模仿的是一個(gè)接地電感。如圖4.15（a）所示。如果需要的話，可以通過調(diào)節(jié)其中的電阻如R5來改變它的電感值。圖4.15（a）電感模仿器；（b）D元件實(shí)現(xiàn)第23頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.除了Z1和Z5是電容以外，其他的Z都為電阻。令（4.10）式中和，可得（4.12a）（4.12b）此時(shí)該電路模仿的是一個(gè)接地頻變負(fù)阻（接地FDNR）。因?yàn)殡娙輹?huì)產(chǎn)生一個(gè)和電流的積分成比例的電壓，所以FDNR（也常稱為D元件）可以被看成對(duì)電流積分兩次的一種元件。它的GIC實(shí)現(xiàn)和電路符號(hào)所示圖4.15（b）中，對(duì)它的應(yīng)用后面會(huì)作簡(jiǎn)單說明。D元件的值可以通過改變其中的一個(gè)電阻值來進(jìn)行調(diào)節(jié)。第24頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖4.16示出了另外一種常用的D元件實(shí)現(xiàn)電路。毋庸置疑，模仿阻抗的性能不可能有電路中所使用的電阻、電容和運(yùn)算放大器的性能那樣好。為了得到好的結(jié)果，可以采用金屬膜電阻和NPO陶瓷電容來獲得溫度的穩(wěn)定性，以及采用聚丙烯電容來獲得高Q特性。也可采用具有足夠快動(dòng)態(tài)響應(yīng)的雙運(yùn)算放大器。圖4.16另一種D元件電路第25頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三采用接地電感的電路綜合GIC最常應(yīng)用在源自于無源RLC濾波器原型的無電感濾波器的實(shí)現(xiàn)。設(shè)計(jì)過程如下：先設(shè)計(jì)出一個(gè)滿足給定條件的RLC濾波器，然后再將原電路中的電感替換成用GIC實(shí)現(xiàn)電感功能的電路。然而，必須注意的是這種一對(duì)一的替換只有在原型中的電感是接地類型時(shí)，才可采用。圖4.17（a）所示的帶通原型是這種電路典型的一個(gè)例子。因?yàn)榈皖l信號(hào)被L短路掉，高頻信號(hào)被C電路掉，中頻信號(hào)由于振諧而通過，所以該電路是一個(gè)帶通濾波器。一旦知道了濾波器特性，就可以得到一系列滿足條件的RLC值，然后就可將原來的電感替換成GIC電感模仿器，從而得到了一個(gè)僅僅含有電阻和電容的電路。結(jié)果就是圖4.17（b）中所示的雙運(yùn)算放大器帶通（DABP)濾波器。圖4.17（a)無源帶通濾波器原型；（b）采用電感模仿器后的電路有源實(shí)現(xiàn)第26頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第27頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三采用FDNR的電路綜合現(xiàn)在來分析作為采用FDNR有源濾波器綜合電路例子的圖4.18（a）所示的RLC濾波器。因?yàn)長(zhǎng)對(duì)低頻信號(hào)相當(dāng)于短路，而C相當(dāng)于開路，所以低頻信號(hào)通過電路。L對(duì)高頻信號(hào)相當(dāng)于一個(gè)二階低通響應(yīng)。既然L不是一個(gè)接地電感，就不能用模仿電路代替。可以用jw除原電路網(wǎng)絡(luò)的各個(gè)元件值來避免這個(gè)限制。這樣就將電阻變換成電容，電感變換成電阻，以及把電容變換成D元件，如下所示：（值為的電容)(值為L(zhǎng)的電阻）(值為C的D元件）(4.13a)(4.13b)(4.13c)第28頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三變換后的電路網(wǎng)絡(luò)如圖4.18（b）所示?？梢宰C明，用相同的因子去除電路網(wǎng)絡(luò)中所有的阻抗后得到的修正后的網(wǎng)絡(luò)與原網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)是一樣的。因此，圖4.18（b）所示調(diào)整后的電路不僅保持了原電路的響應(yīng)，而且因?yàn)樽儞Q用接地D元件代替了浮地電感，所以修正電路就可以用GIC來實(shí)現(xiàn)了。圖4.18低通RLC濾波器原型和它的CRD等效電路第29頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.4直接設(shè)計(jì)從模塊化設(shè)計(jì)的角度來說，要求級(jí)聯(lián)濾波器各部分是互相獨(dú)立的。然而這種特性卻使得整個(gè)響應(yīng)對(duì)于各個(gè)部分由于容差、熱漂移和老化所帶來的參數(shù)變化非常敏感。特別對(duì)于高Q值的模塊來說，其中一個(gè)元件微小的變化都會(huì)導(dǎo)致整個(gè)級(jí)聯(lián)電路的響應(yīng)發(fā)生顯著變化。另一個(gè)面，很長(zhǎng)時(shí)間以來都認(rèn)為雙端終結(jié)的梯形RLC濾波器對(duì)元件變化的林敏度是最低的。梯形結(jié)構(gòu)是一個(gè)緊密的耦合系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的靈敏度是以一種群體的方式分布在它的所有元件上，而不是被限定在特殊的幾個(gè)上面。對(duì)靈敏度方面的考慮，以及在無源RLC網(wǎng)絡(luò)綜合領(lǐng)域里可資利用的豐富知識(shí)促使了梯形模仿設(shè)計(jì)方法的出現(xiàn)。先以用合適的濾波器表格和計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)出來的無源RLC梯形原型作為出發(fā)點(diǎn)。然后，用模仿模塊來代替電路中的電感使濾波器變成為有源結(jié)構(gòu)；也就是用來模仿電感特性而專門設(shè)計(jì)的有源電路。最后得到的電路仍然具有它的RLC原型低靈敏度的優(yōu)點(diǎn)。這種優(yōu)點(diǎn)使得它非常適合應(yīng)用在對(duì)特性參數(shù)要求很嚴(yán)格的場(chǎng)合。第30頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖4.20雙端終結(jié)串聯(lián)諧振RLC梯形電路圖4.20示出了雙端終結(jié)串聯(lián)諧振RLC梯形電路的一般形式。這是在有源濾波器綜合中最常用到的一種RLC原型電路。具體地說，對(duì)它的電路特性可分析如下。在低頻段，電感相當(dāng)于短路而電容相當(dāng)于開路，因此梯形電路提供了一條從輸入端直接到輸出端的信號(hào)通路。低頻信號(hào)得以通過，直流增益為。在高頻段，電路相當(dāng)于短路，電路主要呈感性，同時(shí)電路對(duì)信號(hào)的傳輸呈現(xiàn)出很大阻抗。因此，高頻信號(hào)被衰減掉了。在中頻段，由于每條臂上LC器件串聯(lián)諧振的影響，響應(yīng)呈現(xiàn)出一系列的凹陷。一個(gè)凹陷對(duì)應(yīng)于一條臂。因此，梯形電路產(chǎn)生的是一個(gè)有凹陷的低通響應(yīng)，或稱為橢圓低通響應(yīng)。響應(yīng)的階次n等于臂數(shù)的兩倍再加1，即n為一個(gè)奇數(shù)。若去掉最右端的電感，則n就會(huì)被減1而變成了一個(gè)偶數(shù)。去掉臂上的電感就不會(huì)產(chǎn)生諧振，因而也不會(huì)在阻帶上產(chǎn)生凹陷。這種簡(jiǎn)化了的梯形結(jié)構(gòu)也被稱為全極點(diǎn)梯形電路。它可被用來組成巴特沃茲、切比雪夫或者貝塞爾響應(yīng)。每個(gè)元件值都列于濾波器手冊(cè)的表格中，也可以通過計(jì)算機(jī)得到。表4.2是列表數(shù)據(jù)的一個(gè)例子。其中的元件值都是以1rad/s的截止頻率和進(jìn)行了歸一化的；然而，通過將全部電抗元件除以濾波器所需的截止頻率，就可以很方便地把它們適配成實(shí)際頻率。第31頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖4.20示出了雙端終結(jié)串聯(lián)諧振RLC梯形電路的一般形式。這是在有源濾波器綜合中最常用到的一種RLC原型電路。具體地說，對(duì)它的電路特性可分析如下。在低頻段，電感相當(dāng)于短路而電容相當(dāng)于開路，因此梯形電路提供了一條從輸入端直接到輸出端的信號(hào)通路。低頻信號(hào)得以通過，直流增益為。