第十二章 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

第十二章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程第1頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§12.1平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的概念

在實(shí)際中,有相當(dāng)多的隨機(jī)過(guò)程,不僅它現(xiàn)在的狀態(tài),而且它過(guò)去的狀態(tài),都對(duì)未來(lái)狀態(tài)的發(fā)生有著很強(qiáng)的影響.有這樣一類(lèi)隨機(jī)過(guò)程,即所謂平穩(wěn)過(guò)程,它的特點(diǎn)是:過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征不隨時(shí)間的推移而變化.嚴(yán)格地說(shuō),有下面的定義.2第2頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義定義1設(shè){X(t),tT

}是隨機(jī)過(guò)程，如果對(duì)任意常數(shù)h和正整數(shù)n，t1,t2,,tnT,t1+h,t2+h,,tn+h

T，若(X(t1),

X(t2),,

X(tn))與(X(t1+h),

X(t2+h),,

X(tn+h))(1.1)有相同的分布函數(shù)，則稱(chēng){X(t)，tT

}為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，或簡(jiǎn)稱(chēng)平穩(wěn)過(guò)程.3第3頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在實(shí)際問(wèn)題中,確定過(guò)程的分布函數(shù),并用它來(lái)判定其平穩(wěn)性,一般是很難辦到的.但是,對(duì)于一個(gè)被研究的隨機(jī)過(guò)程,如果前后的環(huán)境和主要條件不隨時(shí)間的推移而變化,則一般就可以認(rèn)為是平穩(wěn)的.恒溫條件下的熱噪聲電壓過(guò)程;強(qiáng)震階段的地震波幅;船舶的顛簸過(guò)程;照明電網(wǎng)中電壓的波動(dòng)過(guò)程;各種噪聲和干擾等等.4第4頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三平穩(wěn)過(guò)程數(shù)字特征的特點(diǎn).設(shè)平穩(wěn)過(guò)程X(t)的均值函數(shù)E[X(t)]存在.對(duì)n=1,在(1.1)式中,令h=-

t1,由平穩(wěn)性定義,X(t1)和X(0)同分布.于是

E[X(t)]=E[X(0)],記為同樣,X(t)的均方值函數(shù)和方差函數(shù)亦為常數(shù),分別記為和依照?qǐng)D10-4的意義,可以知道,平穩(wěn)過(guò)程的所有樣本曲線(xiàn)都在水平直線(xiàn)上下波動(dòng),平均偏離度為5第5頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三又若平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX(t1,t2

)=

E[X(t1)X(t2)]存在.對(duì)n=2,在(1.1)式中,令h=-t1

,由平穩(wěn)性定義,(X(t1),X(t2))與(X(0),X(t2

-

t1))同分布.于是

RX(t1,t2

)=

E[X(t1)X(t2)]=E[X(0)X(t2

-

t1)].記為RX(t1,t2

)=RX(t2

-

t1)或RX(t,t+

)=

E[X(t)X(t

+)]=RX(

).這表明:平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)是時(shí)間差t2

-t1

=

的單變量函數(shù).6第6頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由第十章(2.7)式,協(xié)方差函數(shù):CX(t1,t2

)=

E{[X(t1)-

μX(t1)][X(t2)-

μX(t2)]}=RX(t1,t2

)-

μX(t1)μX(t2).

那么,協(xié)方差函數(shù)可以表示為:

CX()=

E{[X(t)-

μX][X(t+)-

μX]}=RX()-

μX2特別地,令=0,由上式,有7第7頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義2給定二階矩過(guò)程{X(t),tT

},如果對(duì)任意t,t+

TE[X(t)]=μX(常數(shù)),E[X(t)X(t

+)]=RX(

),則稱(chēng){X(t),tT

}為寬平穩(wěn)過(guò)程,也稱(chēng)廣義平穩(wěn)過(guò)程.簡(jiǎn)稱(chēng)平穩(wěn)過(guò)程.?相對(duì)地,前述按分布函數(shù)定義的平穩(wěn)過(guò)程稱(chēng)為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程或狹義平穩(wěn)過(guò)程.?一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程只要二階矩存在,則它必定也是寬平穩(wěn)過(guò)程.但反過(guò)來(lái),一般是不成立的.?特例:一個(gè)寬平穩(wěn)的正態(tài)過(guò)程必定也是嚴(yán)平穩(wěn).?泊松過(guò)程和維納過(guò)程是非平穩(wěn)過(guò)程.8第8頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三若T為離散集,稱(chēng)平穩(wěn)過(guò)程{X(t),tT

}為平穩(wěn)序列.廣義平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程廣義平穩(wěn)過(guò)程嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程廣義平穩(wěn)過(guò)程正態(tài)過(guò)程二階矩存在9第9頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1設(shè){Xk,k=1,2,…}是互不相關(guān)的隨機(jī)變量序列,E[Xk]=0,E[Xk2

]=σ2,則有

即相關(guān)函數(shù)只與k-l有關(guān),所以它是寬平穩(wěn)的隨機(jī)序列.如果X1,X2,…,

Xk,…又是獨(dú)立同分布的,則易證序列也是嚴(yán)平穩(wěn)的.10第10頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2設(shè)s(t)是一周期為T(mén)的函數(shù),Θ是在(0,T)上服從均勻分布的隨機(jī)變量,稱(chēng)X(t)=s(t+Θ)為隨機(jī)相位周期過(guò)程.試討論它的平穩(wěn)性.解由假設(shè),Θ的概率密度為于是,

X(t)的均值函數(shù)為

11第11頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用s(φ)的周期性,可知而自相關(guān)函數(shù)12第12頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三同樣,利用s(φ)s(φ+τ)的周期性,可知自相關(guān)函數(shù)僅與τ有關(guān),即所以,隨機(jī)相位周期過(guò)程是平穩(wěn)的.特別,隨機(jī)相位正弦波是平穩(wěn)的.(第十章§2例2).13第13頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例3

X(t)=Ycos(t)+Zsin(t),

t>0,Y,Z相互獨(dú)立,E(Y)=E(Z)=0,D(Y)

=D(Z)

=2.討論隨機(jī)過(guò)程{X(t),t>0}的平穩(wěn)性.解

14第14頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

所以{X(t),tT

}為寬平穩(wěn)過(guò)程.15第15頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例4設(shè){Xn,n=0,1,2,}是實(shí)的互不相關(guān)隨機(jī)變量序列，且E(Xn)=0，D(Xn)

=2.討論隨機(jī)序列的平穩(wěn)性.解因?yàn)镋(Xn)=0，所以,{Xn,n=0,1,2,}是平穩(wěn)隨機(jī)序列.16第16頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例5設(shè)狀態(tài)連續(xù)、時(shí)間離散的隨機(jī)過(guò)程X(t)=sin(2Θt),其中Θ是(0,1)上的均勻分布隨機(jī)變量,t只取整數(shù)值1,2,，討論隨機(jī)過(guò)程X(t)的平穩(wěn)性.

解17第17頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

所以X(t)是平穩(wěn)過(guò)程.18第18頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程定義3設(shè){X(t),tT

}和{Y(t),tT

}是兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，如果它們的互相關(guān)函數(shù)E[X(t)Y(t+)]和E[Y(t)X(t+)]僅與有關(guān),而與t無(wú)關(guān)，則稱(chēng)X(t)和Y(t)是平穩(wěn)相關(guān)的,或稱(chēng)這兩個(gè)過(guò)程是聯(lián)合(寬)平穩(wěn)的.RXY(t,t+)=E[X(t)Y(t+)]=RXY(),

RYX(t,t+)=E[Y(t)X(t+)]=RYX().?當(dāng)X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程時(shí),W(t)=X(t)+Y(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程.19第19頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三事實(shí)上,E[W(t)]=E[X(t)]+E[Y(t)]=常數(shù).20第20頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例6設(shè)X(t)=Asin(t+Θ)，

Y(t)=Bsin(

t+Θ

-)為兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，其中A,B,

是常數(shù),Θ是(0,2)上的均勻分布隨機(jī)變量,證明X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程.

解21第21頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三22第22頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所以X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程.23第23頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§12.2各態(tài)歷經(jīng)性本節(jié)主要討論,根據(jù)實(shí)驗(yàn)記錄確定平穩(wěn)過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù)的理論依據(jù)和方法.按照數(shù)學(xué)期望的定義來(lái)計(jì)算平穩(wěn)過(guò)程X(t)的數(shù)字特征,不易辦到.若用統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)的方法作近似計(jì)算:需要對(duì)一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程重復(fù)進(jìn)行大量觀測(cè).24第24頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三隨機(jī)過(guò)程積分的概念給定二階矩過(guò)程{X(t),tT

},如果{X(t),tT

}它的每一個(gè)樣本函數(shù)在[a,b]上的積分都存在,則說(shuō)隨機(jī)過(guò)程X(t)在[a,b]上的積分存在,并記為顯然,Y是一隨機(jī)變量.在某些情況下,對(duì)于隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)來(lái)說(shuō),在[a,b]上的積分未必全都存在.此時(shí),引入所謂均方意義下的積分.25第25頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三均方意義下的積分考慮[a,b]內(nèi)的一組分點(diǎn):的隨機(jī)變量Y存在,則稱(chēng)Y為X(t)在[a,b]上的均方積分,并記為26第26頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三可以證明:二階矩過(guò)程X(t)在[a,b]上均方積分存在的充分條件是相關(guān)函數(shù)的二重積分存在.而且此時(shí)還成立有就是說(shuō),過(guò)程X(t)的積分的均值等于過(guò)程的均值函數(shù)的積分.27第27頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義1設(shè){X(t),t

T}是均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程，則時(shí)間均值:時(shí)間相關(guān)函數(shù):

可以沿用高等數(shù)學(xué)中的方法求積分和求極限,其結(jié)果一般來(lái)說(shuō)是隨機(jī)的.

時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)28第28頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1計(jì)算隨機(jī)相位正弦波X(t)=acos(ωt+Θ)的時(shí)間平均<X(t)>和<X(t)X(t+τ)>.

解29第29頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將例1的結(jié)果與第十章§2例2算得的結(jié)果比較,可知μX=E[X(t)]=<X(t)>,RX(τ)

=E[X(t)X(t+τ)]=<X(t)X(t+τ)>

.

這表明:對(duì)于隨機(jī)相位正弦波,用時(shí)間平均和集中平均分別算的均值和自相關(guān)函數(shù)是相等的.這一特征并不是隨機(jī)相位正弦波所獨(dú)有的.下面引入一般概念.30第30頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

定義2設(shè){X(t),tT}是一平穩(wěn)過(guò)程，1°如果<X(t)>

=E[X(t)]=μX以概率1成立,則稱(chēng)過(guò)程X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性.2°如果對(duì)任意實(shí)數(shù)τ,<X(t)X(t+τ)>=E[X(t)X(t+τ)]=RX(τ)以概率1成立,則稱(chēng)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)性.特別當(dāng)τ

=0時(shí),稱(chēng)均方值具有各態(tài)歷經(jīng)性.3°如果X(t)的均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性,則稱(chēng)X(t)是(寬)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程,或者說(shuō)X(t)是各態(tài)歷經(jīng)的.

31第31頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例2

討論隨機(jī)過(guò)程X(t)=Y的各態(tài)歷經(jīng)性,其中Y是方差不為零的隨機(jī)變量.解

X(t)=Y是平穩(wěn)過(guò)程,E[X(t)]=E[Y]=常數(shù)32第32頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

33第33頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理一（均值各態(tài)歷經(jīng)定理）平穩(wěn)過(guò)程X(t)的均值具有各態(tài)歷經(jīng)性的充要條件是34第34頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三推論在存在的條件下,若則(2.1)式成立,均值具有各態(tài)歷經(jīng)性;若則(2.1)式不成立,均值不具有各態(tài)歷經(jīng)性.

注意對(duì)例1中的隨機(jī)相位正弦波而言,

不存在,但它的均值是各態(tài)歷經(jīng)的.35第35頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理二(自相關(guān)函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)定理）平穩(wěn)過(guò)程X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX(τ)具有各態(tài)歷經(jīng)的充要條件是其中在(2.2)式中令τ=0,就可得到均方值具有各態(tài)歷經(jīng)的充要條件.如若在定理二中以X(t)Y(t+τ)代替X(t)X(t+τ),RX

(τ)代替RXY(τ)來(lái)進(jìn)行討論,那么還可以相應(yīng)地得到互相關(guān)函數(shù)的各態(tài)歷經(jīng)定理.36第36頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在實(shí)際應(yīng)用中通常只考慮定義在0t<+上的平穩(wěn)過(guò)程.此時(shí)上面的所有時(shí)間平均都以0t<+上的時(shí)間平均來(lái)代替.而相應(yīng)的各態(tài)歷經(jīng)定理可以表示為下述的形式:定理三

37第37頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定理四

38第38頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三各態(tài)歷經(jīng)定理的重要價(jià)值在于它從理論上給出了如下保證:一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程X(t),若0<

t

<+,只要它滿(mǎn)足條件(2.1)'和(2.2)',便可以根據(jù)“以概率1成立”的含義,從一次試驗(yàn)所得到的樣本函數(shù)x(t)來(lái)確定出該過(guò)程的均值和自相關(guān)函數(shù),即39第39頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果記錄數(shù)據(jù)x(t)只在時(shí)間區(qū)間[0,T]上給出,則相應(yīng)于(2.3)和(2.4)式,有以下無(wú)偏估計(jì)式:40第40頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在實(shí)際中一般不可能給出x(t)的表達(dá)式,因此通常通過(guò)模擬方法或數(shù)字方法來(lái)測(cè)量或計(jì)算估計(jì)式(2.5)和(2.6).1°模擬自相關(guān)分析儀.這種儀器的功能是當(dāng)輸入樣本函數(shù)x(t)時(shí),X-Y記錄儀自動(dòng)描繪出自相關(guān)函數(shù)的曲線(xiàn).它的方框圖如下圖所示.41第41頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2°數(shù)字方法如下圖,把[0,T]等分為N個(gè)長(zhǎng)為的小區(qū)間,然后在時(shí)刻對(duì)x(t)取樣,得N個(gè)函數(shù)值xk

=

x(tk),k=1,2,…,N.把積分(2.5)近似表示為基本區(qū)間Δt上的和,就有無(wú)偏估計(jì):42第42頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三相應(yīng)于(2.6)式,我們可以寫(xiě)出在τr=rΔt時(shí),自相關(guān)函數(shù)的無(wú)偏估計(jì):由這個(gè)估計(jì)式算出自相關(guān)函數(shù)的一系列近似值,從而擬合出自相關(guān)函數(shù)的近似圖形.43第43頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三§12.3相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

假設(shè)X(t)和Y(t)是平穩(wěn)過(guò)程,RX

(τ),RY

(τ)和RXY

(τ)分別是它們的自相關(guān)函數(shù)和互相關(guān)函數(shù).1°

因?yàn)镽X

(τ)=E[X(t)X(t+τ)]

2°

RX

(-τ)=RX

(τ),即RX

(-τ)是τ

的偶函數(shù).而互相關(guān)函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù),但滿(mǎn)足RXY

(-τ)=RYX

(τ)

44第44頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3°關(guān)于自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)有不等式:|RX

(τ)|RX

(0)和|CX

(τ)|CX

(0)=σX2此不等式表明:自相關(guān)(自協(xié)方差)函數(shù)在τ=0處取到最大值.類(lèi)似地,可以得到:|RXY

(τ)|

2RX

(0)RY

(0)和|CXY

(τ)|2CX

(0)CY

(0)標(biāo)準(zhǔn)自協(xié)方差函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)互協(xié)方差函數(shù):45第45頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4°RX(τ)是非負(fù)定的,即對(duì)任意t1,t2,…,tn

T和任意實(shí)值函數(shù)g(t),都有事實(shí)上,根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì),有46第46頁(yè)，共51頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5°如果平穩(wěn)過(guò)程X(t)滿(mǎn)足P{X(t+T0)=X(t)}=1,則稱(chēng)它為周期T0的平穩(wěn)過(guò)程.周期平穩(wěn)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)必是周期函數(shù),且其周期也是T0.事實(shí)上,由平穩(wěn)性,E[X(t)–X(t+T0)]=0.又根據(jù)第四章§2方差的性質(zhì),條件P{X(t+T0)=X(t)}=1與E{[X(t+T0)–X(t)]2}=0等價(jià).于是,由柯西－施瓦茲不等式,得{E[X(t)(X(t+τ+T0)–X(t+τ))]}2E[X2(t)]E{[X(t+τ+T0)–X(t+τ)]2}右端為零,推知