第四章不定積分

第四章不定積分第1頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三注2：不定積分的結(jié)果必須包含一個任意常數(shù)C.3.不定積分的幾何意義：表示一簇積分曲線，每條曲線在其橫坐標(biāo)相同的點處的切線互相平行。0xy已知曲線的切線斜率求曲線方程就是對斜率求不定積分。第2頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三4.不定積分的性質(zhì)（1）求不定積分與求導(dǎo)數(shù)或微分互為逆運算1234思考：第3頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三(2)不為零的常數(shù)因子可提到積分號外（3）和的積分等于積分的和第4頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三5.基本積分公式表第5頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第6頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第7頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三6.不定積分中的常用變換與技巧（1）分解、折項、同除同乘；（2）三角變換：倍角、半角、積化和差、第8頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三被積函數(shù)中存在復(fù)合關(guān)系先換元再說.被積函數(shù)中含抽象函數(shù)時，設(shè)法求的表達式.第9頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三對三角函數(shù)的積分，化為同角同名.被積函數(shù)中含有導(dǎo)數(shù)的積分—分部積分被積函數(shù)中出現(xiàn)二、基本問題及解法問題(一)與原函數(shù)有關(guān)的命題運算依據(jù):原函數(shù)的定義、不定積分的定義、不定積分與微分的關(guān)系。第10頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三運算方法：（1）在單項選擇題中求不定積分，選擇具有任意常數(shù)C的備選答案求導(dǎo)，若其值等于被積函數(shù)，則此備選答案為所求；（2）已知不定積分的結(jié)果求被積函數(shù)，則對不定積分的結(jié)果求導(dǎo)第11頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三分析：由而故選(B)第12頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例4.則分析：第13頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三問題(二)：不定積分的計算計算不定積分，通常要對被積函數(shù)進行適當(dāng)?shù)淖儞Q，如代數(shù)變換（根式變換、指數(shù)對數(shù)變換、倒代換、分解折項，同乘、同除等）以及三角換、反三角變換，將積分化為常規(guī)型。1.直接積分法:有些積分可直接用不定積分的性質(zhì)和基本積分公式求之;或者進行代數(shù)、三角的恒等變換（因式分解、折項、添項、和角、倍角公式）化為簡單函數(shù)和的積分。第14頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第15頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三2.第一換元法(湊微分法)湊微分法是當(dāng)被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)時，將積分變量x的微分dx湊成的形式再用公式。第16頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第17頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第18頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第19頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第20頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例2.求列不定積分第21頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三3.第二換元法——結(jié)果要求變量回代類型特點（1）被積函數(shù)中含有根式、且又不便直接積分;（2）被積函數(shù)含指數(shù)、對數(shù)、三角、反三角函數(shù)、且又不便用其他方法積分.第22頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三（2）三角換元——變量回代用直角三角形Ⅰ第23頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三ⅡⅢ第24頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例1求解令第25頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例2求解令第26頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例３求解令第27頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第28頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例5.求下列積分第29頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例6.求下列積分（指數(shù)換元）第30頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例7.求下列不定積分（三角換元）例8.求下列不定積分第31頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第32頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三４.分部積分法第33頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第34頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三解（一）令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進行.例1求積分第35頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三解（再次使用分部積分法）例2求積分解（二）令第36頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例4求積分解第37頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例5求積分解注：本題也先換元后分部積分.第38頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例6解第39頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三例7求解:令,則第40頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三5.其它積分第41頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第42頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第43頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三4).抽象函數(shù)的積分運算方法:換元積分法、分部積分法。解第44頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三兩邊同時對求導(dǎo),得第45頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三問題(三)不定積分的應(yīng)用第46頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第47頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第48頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第49頁，共54頁，2023年，2月20日，星期三第50頁，共54頁，2023年，2月2