探究二次函數(shù)最值問題 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選探究二次函數(shù)最值問題摘要：二次函數(shù)最值問題作為安徽中考必考的知識點(diǎn)，同時也是不少同學(xué)感覺得難點(diǎn)。難點(diǎn)在于構(gòu)建函數(shù)模型，分析函數(shù)圖像，解決實(shí)際問題，這里面最主要的就是體現(xiàn)了初中數(shù)學(xué)最主要的數(shù)形結(jié)合的思想。關(guān)鍵詞：函數(shù)模型，函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，最大值或者最小值。引言：本文首先從經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的基本過程，能分析實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系，其次運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型求實(shí)際問題中的最大值或最小值，感受數(shù)學(xué)建模的思想和數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。一、利用二次函數(shù)解決面積問題 1．利用二次函數(shù)求最大面積

例1小李想用籬笆圍成一個周長為60米的矩形場地，矩形面積S(單位：平方米)隨矩形一邊長x(單位：米)的變化而變化．(1)求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)x是多少時，矩形場地面積S最大？最大面積是多少？賞析：利用矩形面積公式就可確定二次函數(shù)．(1) 矩形一邊長為x，則另一邊長為，從而表示出面積；(2) 利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)． 解：(1)根據(jù)題意，得S＝·x＝－x2＋30x.自變量x的取值范圍是0＜x＜30； (2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，因?yàn)閍＝－1＜0，所以S有最大值，即當(dāng)x＝15(米)時，S最大值是225(平方米)．點(diǎn)評：二次函數(shù)與日常生活中的例子還有很多，體現(xiàn)了二次函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的廣泛性．解決這類問題關(guān)鍵是在不同背景下學(xué)會從所給信息中提取有效信息，建立實(shí)際問題中變量間的二次函數(shù)關(guān)系．2.利用二次函數(shù)判斷面積取值成立的條件 例2用長為32米的籬笆圍一個矩形養(yǎng)雞場，設(shè)圍成的矩形一邊長為x米，面積為y平方米．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)x為何值時，養(yǎng)雞場面積為60平方米？(3)能否圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場？如果能，請求出其邊長；如果不能，請說12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選明理由．賞析：(1)先表示出矩形的另一邊長，再利用矩形的面積公式表示出函數(shù)關(guān)系式；(2)通過已知矩形的面積，可以轉(zhuǎn)化為解一元二次方程；

(3)判斷能否圍成，其實(shí)就是利用根的判別式判斷一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，也可用配方法判斷．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；(2)當(dāng)y＝60時，－x2＋16x＝60，

解得x1＝10，x2＝6. 所以當(dāng)x＝10或6時，圍成的養(yǎng)雞場的面積為60平方米；

(3)方法一：當(dāng)y＝70時，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－280＝－24＜0，因此此方程無實(shí)數(shù)根，所以不能圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場． 方法二：當(dāng)y＝70時，－x2＋16x＝70，整理，得x2－16x＋70＝0，配方，得(x－8)2＝－6，因此此方程無實(shí)數(shù)根，所以不能圍成面積為70平方米的養(yǎng)雞場.[1]

點(diǎn)評：與面積有關(guān)的函數(shù)與方程問題，可通過面積公式列出函數(shù)關(guān)系式或方程．3.利用二次函數(shù)確定最大面積的條件 例3現(xiàn)有一塊矩形場地，如圖所示，長為40m，寬為30m，要將這塊地劃分為四塊分別種植：A.蘭花；B.菊花；C.月季；D.牽?；ǎ?(1)求出這塊場地中種植B菊花的面積y與B場地的長x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

(2)當(dāng)x是多少時，種植菊花的面積最大？最大面積是多少？ 賞析：這是花草種植面積的最優(yōu)化問題，先根據(jù)矩形的面積公式列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，再利用配方法或公式法求得最大值． 解：(1)由題意知，B場地寬為(30－x)m，∴y＝x(30－x)＝－x2＋30x，自變量x的取值范圍為0＜x＜30；

(2)y＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，當(dāng)x＝15m時，種植菊花的面積最大，最大面積為225m2.22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選二．利用二次函數(shù)解決實(shí)際生活問題1.在建筑問題中的應(yīng)用 例1如圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面寬4米時，拱頂(拱橋洞的最高點(diǎn))離水面2米．水面下降1米時，水面的寬度為________米．賞析：如圖，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)這條拋物線為y＝ax2，把點(diǎn)(2，－2)代入，得－2＝a×1 1 122，a＝－，∴y＝－x2，當(dāng)y＝－3時，－x2＝－3，x＝±2 2 26.故答案為26.點(diǎn)評：在解決呈拋物線形狀的實(shí)際問題時，通常的步驟是：(1)建立合適的平面直角坐標(biāo)系；(2)將實(shí)際問題中的數(shù)量轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)出拋物線的解析式，并將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)解析式；(4)利用函數(shù)解析式解決實(shí)際問題．2.運(yùn)動軌跡問題例2某學(xué)校初三年級的一場籃球比賽中，如圖，隊(duì)員甲正在投籃，已知球出手時距 20

地面 米，與籃圈中心的水平距離為7米，當(dāng)球出手后水平距離為4米時到達(dá)最大高度4 9米，設(shè)籃球運(yùn)行軌跡為拋物線，籃圈距地面3米．(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，問此球能否準(zhǔn)確投中？ (2)此時，若對方隊(duì)員乙在甲面前1米處跳起蓋帽攔截，已知乙的最大摸高為3.1米，那么他能否獲得成功？賞析：這是一個有趣的、貼近學(xué)生日常生活的應(yīng)用題，由條件可得到出手點(diǎn)、最高點(diǎn)(頂點(diǎn))和籃圈的坐標(biāo)，再由出手點(diǎn)、頂點(diǎn)的坐標(biāo)可求出函數(shù)表達(dá)式；判斷此球能否準(zhǔn)確投中的關(guān)鍵就是判斷代表籃圈的點(diǎn)是否在拋物線上；判斷蓋帽攔截能否獲得成功，就32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選是比較當(dāng)x＝1時函數(shù)y的值與最大摸高3.1米的大?。?20

解：(1)由條件可得到出手點(diǎn)、最高點(diǎn)和籃圈的坐標(biāo)分別為A(0， )，B(4，4)，C(7， 93)，其中B是拋物線的頂點(diǎn)． 1 設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x＋h)2＋k，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入，可得y＝－(x－4)2 9＋4.將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式，得左邊＝右邊，即點(diǎn)C在拋物線上．所以此球一定能投中；(2)將x＝1代入函數(shù)關(guān)系式，得y＝3.因?yàn)?.1＞3，所以蓋帽能獲得成功．[2]3.落點(diǎn)問題例3如圖，足球場上守門員在O處開出一高球，球從離地面1米的A處飛出(A在y軸上)，運(yùn)動員乙在距O點(diǎn)6米的B處發(fā)現(xiàn)球在自己頭的正上方達(dá)到最高點(diǎn)M，距地面約4米高，球落地后又一次彈起．據(jù)實(shí)驗(yàn)，足球在草坪上彈起后的拋物線與原來的拋物線形狀相同，最大高度減少到原來最大高度的一半．(1)求足球開始飛出到第一次落地時，該拋物線的表達(dá)式；(2)足球第一次落地點(diǎn)C距守門員多少米(取4 3＝7)?(3)運(yùn)動員乙要搶到第二個落點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑多少米(取2 6＝5)?賞析：要求足球開始飛出到第一次落地時，拋物線的表達(dá)式，則需要根據(jù)已知條件確定點(diǎn)A和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，因?yàn)镺A＝1，OB＝6，BM＝4，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是(6，4)．根據(jù)頂點(diǎn)式可求得拋物線關(guān)系式．因?yàn)辄c(diǎn)C在x軸上，所以要求OC的長，只要把點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y＝0代入函數(shù)關(guān)系式，通過解方程求得OC的長．要計(jì)算運(yùn)動員乙要搶到第二個落點(diǎn)D，他應(yīng)再向前跑多少米，實(shí)際就是求DB的長．求解的方法有多種．解：(1)設(shè)第一次落地時，拋物線的表達(dá)式為y＝a(x－6)2＋4，1由已知：當(dāng)x＝0時，y＝1，即1＝36a＋4，所以a＝－ .121 1所以函數(shù)表達(dá)式為y＝－ (x－6)2＋4或y＝－ x2＋x＋1；12 1242022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選 1

(2)令y＝0，則－ (x－6)2＋4＝0， 123＋6<0(舍去)．所以(x－6)2＝48，所以x1＝43＋6≈13，x2＝－4 所以足球第一次落地距守門員約13米；

(3)如圖，第二次足球彈出后的距離為CD，根據(jù)題意：CD＝EF(即相當(dāng)于將拋物線AEMFC向下平移了2個單位)． 1

所以2＝－ (x－6)2＋4，解得x1＝6－2 126，x2＝6＋26，所以CD＝|x1－x2|＝46≈10. 所以BD＝13－6＋10＝17(米)．[3]

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是先進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，將實(shí)際問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題中的條件.常有兩個步驟：(1)根據(jù)題意得出二次函數(shù)的關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題；(2)應(yīng)用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)作答.三．二次函數(shù)與幾何面積綜合1.三角形面積最值例1如圖，拋物線y=?x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，且點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)分別為線的頂點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的關(guān)系式；B(3,0).C(0,3)，點(diǎn)M是拋物（2）點(diǎn)P為線段MB上一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D.若OD=m，△PCD的面積為S，（1）求S與m的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量m的取值范圍．（2）當(dāng)S取得最值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在MB上是否存在點(diǎn)P，使如果不存在，請說明理由．賞析:△PCD為直角三角形？如果存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（1）將點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y=?x2+bx+c即可；

（2）求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，直線MB的解析式，由PD⊥x軸且OD=m知P(m,?2m+6)，即可用 含m的代數(shù)式表示出S；②在①和情況下，將S與m的關(guān)系式化為頂點(diǎn)式， 由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；52022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選（3）分情況討論，如圖2?1，當(dāng)∠CPD=90°時，推出PD=CO=3，則點(diǎn)P縱坐標(biāo)為3，即可寫出點(diǎn)P坐標(biāo)；如圖2?2，當(dāng)∠PCD=90°時，證∠PDC=∠OCD，由銳角三角函數(shù)可求出m的值，即可寫出點(diǎn)P坐標(biāo)；當(dāng)∠PDC=90°時，不存在點(diǎn)P．解：(1)將點(diǎn)B(3,0)，C(0,3)代入y=?x2+bx+c，得{0=?9+3b+3c=3 ，解得，{b=2c=3，∴二次函數(shù)的解析式為y=?x2+2x+3；(2)①∵y=?x2+2x+3=?(x?1)2+4，∴頂點(diǎn)M(1,4)，設(shè)直線BM的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B(3,0)，M(1,4)代入，得{3k+b=0k+b=4，解得{k=?2b=6，∴直線BM的解析式為y=?2x+6，∵PD⊥x軸且OD=m，∴P(m,?2m+6)，∴S=S△PCD=12PD?OD=12m(?2m+6)=?m2+3m，即S=?m2+3m，∵點(diǎn)P在線段BM上，且B(3,0)，M(1,4)，∴1≤m≤3；②∵S=?m2+3m=?(m?32)2+9，∵?1>0，∴當(dāng)m=3時，S取最大值，92 4∴P(32,3)；62022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選（3）存在，理由如下：如圖2?1，當(dāng)∠CPD=90°時，∵∠COD=∠ODP=∠CPD=90°，∴四邊形CODP為矩形，∴PD=CO=3，將y=3代入直線y=?2x+6，得，x=3，2∴P(32,3)；如圖2?2，當(dāng)∠PCD=90°時，∵OC=3，OD=m，∴CD2=OC2+OD2=9+m2，∵PD//OC，∴∠PDC=∠OCD，∴cos∠PDC=cos∠OCD，∴PD=OC，∴DC2=PD?OC，∴9+m2=3(?2m+6)，解得，m1=?3?32(舍去，m2=?3+32，∴P(?3+32,12?62)，當(dāng)∠PDC=90°時，∵PD⊥x軸，∴不存在，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(32,3)或(?3+32,12?62).點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求解析式，函數(shù)的思想求極值以及直角三角形的存在性與動點(diǎn)結(jié)合等，解題關(guān)鍵是注意分類討論思想在解題過程中的運(yùn)用．2.涉及圓的知識綜合72022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選例1如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象與x軸交于點(diǎn)B(?1,0)，點(diǎn)C(4,0)，與y軸交于點(diǎn)A． （1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+2的表達(dá)式；

（2）連接AC，AB，若點(diǎn)N在線段BC上運(yùn)動，不與點(diǎn)B，C重合，過點(diǎn)N作NM//AC， 面積最大時，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；交AB于點(diǎn)M，當(dāng)

△AMN （3）在（2）的結(jié)論下，若點(diǎn)Q在第一象限，且tan∠CQN=2，線段BQ是否存在最值？如果存在請直接寫出最值，如果不存在，請說明理由．賞析：（1）由B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）可設(shè)N(n,0)，則可用n表示出 AM

△ABN的面積，由NM//AC，可求得 ，則可用nAB表示出△AMN的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其面積最大時n的值，即可求得N點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）取點(diǎn)F(32,54)，過點(diǎn)C、N、F作圓，則點(diǎn)E(114,58)為圓心，利用同圓等弦所對圓周角相等，再根據(jù)已知條件點(diǎn)Q在第一象限，找到BQ的最值，計(jì)算可得結(jié)果．解：（1）將點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx+4可得{16a+4b+2=0,a?b+2=0解得{b=3 2

2,

a=?1∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=?12x2+32x+4；（2）設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(n,0)(?1<n<4)，則BN=n+1，CN=4?n．∵B(?1,0)，C(4,0)，∴BC=5，82022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選在y=?12x2+32x+2中，令x=0，解得y=2，∴點(diǎn)A(0,2)，OA=2，∴S△ABN=12BN?OA=12(n+1)×2=n+1，∵M(jìn)N//AC，∴AB=NCBC=4?n，∴S△AMN=AMAB=4?n，S△ABN∴S△AMN=4?n5S△ABN=15(4?n)(n+1)=?15(n?