三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)專題訓(xùn)練

全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)典型試題優(yōu)質(zhì)題型解題技巧匯編(附詳解)三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)中的易錯(cuò)點(diǎn)一.學(xué)習(xí)目標(biāo).理解三角函數(shù)的定義域、值域和最值、奇偶性、單調(diào)性與周期性、對(duì)稱性..會(huì)判斷簡(jiǎn)單三角函數(shù)的奇偶性，會(huì)求簡(jiǎn)單三角函數(shù)的定義域、值域、j值、單調(diào)區(qū)間及周期..理解三角函數(shù)的對(duì)稱性，并能應(yīng)用它們解決一些問(wèn)題.二.方法總結(jié).三角函數(shù)奇偶性的判斷與其他函數(shù)奇偶性的判斷步驟一致：(1)首先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；⑵在滿足(1)后，再看f(—x)與fx)的關(guān)系.另外三角函數(shù)中的奇函數(shù)一般可化為y=Asinmx或y=Atanex,偶函數(shù)一般可化為y=Acosex+b的形式..三角函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)y=Asin(ex+V)(A>0,e>0)的單調(diào)區(qū)間的確定，其基本思想是把n nex+9看作一個(gè)整體，比如：由2kn—<ex+@<2kn+(k￡Z)解出x的范22圍，所得區(qū)間即為增區(qū)間.若函數(shù)y=Asin(ex+9)中A>0,eV0,可用誘導(dǎo)公式將函數(shù)變?yōu)閥=—Asin(—ex—9)，則y=Asin(—ex—9)的增區(qū)間為原函數(shù)的減區(qū)間，減區(qū)間為原函數(shù)的增區(qū)間.對(duì)函數(shù)y=Acos(ex+9),y=Atan(ex+9)等單調(diào)性的討論同上.全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)典型試題優(yōu)質(zhì)題型解題技巧匯編（附詳解）⑵三角函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用主要有比較三角函數(shù)值的大小，而比較三角函數(shù)值大小的一般步驟：①先判斷正負(fù)；②利用奇偶性或周期性轉(zhuǎn)化為屬于同一單調(diào)區(qū)間上的兩個(gè)同名函數(shù)；③再利用單調(diào)性比較..求三角函數(shù)的最值常見(jiàn)類型:(1)y=Asin(mx+利)+B或y=Atan?x+q)+B,(2)y=A(sinx—a)2+B,(3)y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx(其中A,B,a,beR,A^0,a和).三.函數(shù)圖象與性質(zhì)需要掌握的題型（一）三角函數(shù)圖象平移（二）三角函數(shù)的零點(diǎn)（三）函數(shù)的單調(diào)性（四）函數(shù)的解析式（五）三角函數(shù)圖象綜合（六）三角函數(shù)的奇偶性（七）三角函數(shù)的對(duì)稱性（八）三角函數(shù)的最值（九）三角函數(shù)與數(shù)列的綜合（十）三角函數(shù)的周期性四.典例分析（一）三角函數(shù)圖象平移例1.為了得到函數(shù) ’：一「的圖象，只需將函數(shù)y=CosZjtxER圖象上所全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)典型試題優(yōu)質(zhì)題型解題技巧匯編（附詳解）有的點(diǎn)（）3n 3nA,向左平行移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平行移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度n nC,向左平行移動(dòng)百個(gè)單位長(zhǎng)度 D,向右平行移動(dòng)口個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B［分析］根據(jù)誘導(dǎo)公式將函數(shù)『二工變?yōu)檎液瘮?shù)，再減去干得到二二三二;力-三：【解析】函數(shù)J=8三/=三二（功-］=二二小,-泊-1二二二故將畫數(shù)圖像上的點(diǎn)向右平移;巨個(gè)單位得到y(tǒng)=s：：-.；2.y-故答案為：B.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角函數(shù)的平移問(wèn)題，首先保證三角函數(shù)同名，不是

同名通過(guò)誘導(dǎo)公式化為同名，在平移中符合左加右減的原則，在寫解析式時(shí)保證要將X的系數(shù)提出來(lái)，針對(duì)X本身進(jìn)行加減和伸縮.練習(xí)1.為了得到-一練習(xí)1.為了得到-一2：。2、的圖像，只需把函數(shù) .. .」的圖像（7i nA.向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度n nC.向左平移%個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移%個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】D【解析】【分析】逆用兩角和的余弦公式，得尸闞社然—一之加性以，再分析兩個(gè)函數(shù)圖象的變換.【詳解】因?yàn)?=」次"+弁「"忡+，要得到函數(shù)y=-2G,全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)典型試題優(yōu)質(zhì)題型解題技巧匯編（附詳解）n只需將的圖象向右平移%個(gè)單位長(zhǎng)度即可.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與變換，考查了兩角和的余弦公式的應(yīng)用；解決三角函數(shù)圖象的變換問(wèn)題，首先要把變換前后的兩個(gè)函數(shù)化為同名函數(shù).（二）三角函數(shù)的零點(diǎn)例2.函數(shù):一；的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，通過(guò)函數(shù)為0，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.【詳解】由已知：’【詳解】由已知：’,令/（門（），即,在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)和,?！膱D象，如圖所示，兩個(gè)函數(shù)圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以函數(shù)小::的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選B.全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)典型試題優(yōu)質(zhì)題型解題技巧匯編（附詳解）【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換，把函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.練習(xí)1.設(shè)函數(shù)”為定義域?yàn)椤暗钠婧瘮?shù),且：,.，當(dāng)時(shí)，”“則函數(shù).一 -一在區(qū)間上的所有零點(diǎn)的和為A.10B.8 C.16 D?20【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)得函數(shù)小圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又由：，?可得函數(shù)小;圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故而得出函數(shù)”是以4為周期的周期函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合便可得解。【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為定義域?yàn)?的奇函數(shù)，所以：--,又因?yàn)?1，1,??,所以m—「，可得：:、，即函數(shù)小;是周期為4的周期函數(shù)，且"作）圖像關(guān)于直線對(duì)稱。

全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)典型試題優(yōu)質(zhì)題型解題技巧匯編(附詳解)故：’'在區(qū)間上的零點(diǎn)，即方程…-的根，分別畫出尸13g)|與y=八%)的函數(shù)圖像，因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖像都關(guān)于直線」對(duì)稱，因此方程「「「「的零點(diǎn)關(guān)于直線」對(duì)稱，由圖像可知交點(diǎn)個(gè)數(shù)為8個(gè)，分別設(shè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左至右依次為則’.,' ?，所以所有零點(diǎn)和為8,故選B。<0練習(xí)2.設(shè)：‘、，則函數(shù)cD.是增函數(shù)A.有極值 B.有零點(diǎn)CD.是增函數(shù)【答案】D【解析】由xV0,求得導(dǎo)數(shù)判斷符號(hào)，可得單調(diào)性；再由三次函數(shù)的單調(diào)性，可得x>0的單調(diào)性，即可判斷正確結(jié)論.【詳解】由xV0,f(x)=x-sinx,導(dǎo)數(shù)為f‘(x)=1-cosx,且f(x)>0,f(x)遞增，f(x)>0；又x>0,f(x)=x3+1遞增，且f(0)=1>0-sin0,故f(x)在R上遞增；f(x)無(wú)極值和無(wú)零點(diǎn)，且不為奇函數(shù).全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)典型試題優(yōu)質(zhì)題型解題技巧匯編（附詳解）故答案為：D練習(xí)3.已知：,--一，若函數(shù)"在93上有兩個(gè)不同零點(diǎn)【答案】【解析】通過(guò)兩角和的正弦公式得到函數(shù)的解析式，再通過(guò)換元結(jié)合正弦函數(shù)的圖像得到兩根之和，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】函數(shù)」:，，在93上有兩個(gè)不同零點(diǎn),即函數(shù)/（匚；和y=m兩個(gè)圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，做出函數(shù)y=sint,和y=m的圖像,￡. fit通過(guò)觀察得到進(jìn)而得到〃/.；=,''故答案為：；.（五）三角函數(shù)圖象綜合例5.函數(shù)fE= ”在［-n,不A.q B.i【答案】D【解析】由題易得函數(shù)f(x)是奇B、C,當(dāng)0<x<兀時(shí)，fx)>0，2sinxf「3戀一］卜匚4:練習(xí)1.函數(shù) -一A. B.Q三#C. 1 D.【答案】A