第08講實(shí)踐操作性問(wèn)題2019年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)巔峰沖刺28講（解析版）

PAGE年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)巔峰沖刺專題08實(shí)踐操作性問(wèn)題【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥,疑難突破；實(shí)踐操作題以趣味性強(qiáng)、思維含量高為特點(diǎn)，讓學(xué)生在實(shí)際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問(wèn)題，主要有：(1)裁剪、折疊、拼圖等動(dòng)手操作問(wèn)題，往往與面積、對(duì)稱性相聯(lián)系；(2)與畫(huà)圖、測(cè)量、猜想、證明等有關(guān)的探究性問(wèn)題．在動(dòng)手操作過(guò)程中或在給出的操作規(guī)則下，進(jìn)行探索研究、大膽猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，不僅為解題者創(chuàng)造了動(dòng)手實(shí)踐操作與方案設(shè)計(jì)的平臺(tái)，而且也借此考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力．解答操作型題一般要經(jīng)歷觀察、操作、思考、想象、反思等實(shí)踐活動(dòng)，利用自己已有的經(jīng)驗(yàn)，感知并發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而解決問(wèn)題．方案設(shè)計(jì)問(wèn)題涉及面較廣，內(nèi)容比較豐富，題型變化較多，不僅有方程、不等式、函數(shù)，還有幾何圖形的設(shè)計(jì)等．方案設(shè)計(jì)題是通過(guò)設(shè)置一個(gè)實(shí)際問(wèn)題情景，給出若干信息，提出解決問(wèn)題的要求，要求學(xué)生運(yùn)用學(xué)過(guò)的技能和方法，進(jìn)行設(shè)計(jì)和操作，尋求恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案．有時(shí)也給出幾個(gè)不同的解決方案，要求判斷哪個(gè)方案較優(yōu)．解決與方程和不等式有關(guān)的方案設(shè)計(jì)題，通常利用方程或不等式求出符合題意的方案；而與函數(shù)有關(guān)的方案設(shè)計(jì)題，一般有較多種供選擇的解決問(wèn)題的方案，但在實(shí)施中要考慮到經(jīng)濟(jì)因素，此類(lèi)問(wèn)題類(lèi)似于求最大值或最小值的問(wèn)題，通常用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析；與幾何圖形有關(guān)的方案設(shè)計(jì)題，一般是利用幾何圖形的性質(zhì)，設(shè)計(jì)出符合某種要求和特點(diǎn)的圖案解答操作性試題，關(guān)鍵是審清題意，學(xué)會(huì)運(yùn)用圖形的平移變換、翻折變換和旋轉(zhuǎn)變換、位似變換，注意運(yùn)用分類(lèi)討論、類(lèi)比猜想、驗(yàn)證歸納等數(shù)學(xué)思想方法，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，要注重操作習(xí)題解題訓(xùn)練，提高思維的開(kāi)放性，培養(yǎng)創(chuàng)新能力，要學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、分析、抽象、概括所給的實(shí)際問(wèn)題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題。【名師原創(chuàng)】原創(chuàng)檢測(cè)，關(guān)注素養(yǎng)，提煉主題；【原創(chuàng)1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將矩形OABC沿直線EF折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)C重合，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5,3），則點(diǎn)F的坐標(biāo)是。答案：（3.4,3）解析:如圖，根據(jù)折疊圖形前后的性質(zhì)關(guān)系，對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊相等得知CD=AB，DF=FB，，可設(shè)CF，即可得到FB=5-CF，則有DF，利用勾股定理計(jì)算出CF=3.4，所以點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3.4,3）.解：∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，3），∴AB=CD=3，設(shè)CF為,則BF=5-=FD,在直角三角形CDF中，根據(jù)勾股定理可得：解得：=3.4故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3.4,3）.總結(jié)：此類(lèi)折疊問(wèn)題主要涉及到在平面直角坐標(biāo)系中三角形、矩形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，靈活把握翻折變換（折疊問(wèn)題）圖形前后變換中的不變是解題的關(guān)鍵，解決問(wèn)題時(shí)注意要作出恰當(dāng)?shù)妮o助線，用來(lái)構(gòu)建直角三角形，借用勾股定理將所求的線段與已知線段的數(shù)量關(guān)系聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行解決．【原創(chuàng)2】如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BA延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，且AE=CE。（1）實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)字母（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）。①作∠DAC的平分線AM。②連接BE并延長(zhǎng)交AM于點(diǎn)F。（2）猜想與證明：試猜想AF與BC有怎樣的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由。

【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形即可；（2）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)與三角形的外角性質(zhì)證明∠C=∠FAC，進(jìn)而得到AF//BC，從而得到△AEF∽△CEB，即可得到AF=BC。解：（1）作圖如下：

（2）AF∥BC且AF=BC，理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C?！唷螪AC=∠ABC+∠C=2∠C。由作圖可知：∠DAC=2∠FAC，∴∠C=∠FAC?！郃F∥BC。∴△AEF∽△CEB。∴。∵AE=CE，∴AF=BC?！驹瓌?chuàng)3】課題學(xué)習(xí):正方形折紙中的數(shù)學(xué)動(dòng)手操作:如圖①,四邊形ABCD是一張正方形紙片,先將正方形ABCD對(duì)折,使BC與AD重合,折痕為EF,把這個(gè)正方形展平,然后沿直線CG折疊,使B點(diǎn)落在EF上,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'.數(shù)學(xué)思考:(1)求∠CB'F的度數(shù);(2)如圖②,在圖①的基礎(chǔ)上,連接AB',試判斷∠B'AE與∠GCB'的大小關(guān)系,并說(shuō)明理由.

圖①

圖②解決問(wèn)題:

圖③(3)如圖③,按以下步驟進(jìn)行操作:第一步:先將正方形ABCD對(duì)折,使BC與AD重合,折痕為EF,把這個(gè)正方形展平,然后繼續(xù)對(duì)折,使AB與DC重合,折痕為MN,再把這個(gè)正方形展平,設(shè)EF和MN相交于點(diǎn)O;第二步:沿直線CG折疊,使點(diǎn)B落在EF上,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B';再沿直線AH折疊,使點(diǎn)D落在EF上,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D';第三步:設(shè)CG,AH分別與MN相交于點(diǎn)P,Q,連接B'P,PD',D'Q,QB'.試判斷四邊形B'PD'Q的形狀,并證明你的結(jié)論.(1)解法一：如圖①,由對(duì)折可知,∠EFC=90°,CF=CD.∵四邊形ABCD為正方形,∴CD=CB.∴CF=CB.又由折疊可知,CB'=CB,

圖①∴CF=CB'.∴在Rt△B'FC中,sin∠CB'F=.∴∠CB'F=30°.解法二：如圖①,連接B'D,由對(duì)折知,EF垂直平分CD,∴B'C=B'D.由折疊知,B'C=BC.∵四邊形ABCD為正方形,∴BC=CD.∴B'C=CD=B'D,∴△B'CD為等邊三角形.∴∠CB'D=60°.∵EF⊥CD,∴∠CB'F=∠CB'D=×60°=30°.(2)∠B'AE=∠GCB'.理由如下:如圖②,連接B'D,同(1)中解法二,得△B'CD為等邊三角形,

圖②∴∠CDB'=60°.∵四邊形ABCD為正方形,∴∠CDA=∠DAB=90°.∴∠B'DA=30°.∵DB'=DA,∴∠DAB'=∠DB'A.∴∠DAB'=(180°-∠B'DA)=75°.∴∠B'AE=∠DAB-∠DAB'=90°-75°=15°.由(1)知∠CB'F=30°,∵EF∥BC,∴∠B'CB=∠CB'F=30°.由折疊知,∠GCB'=∠B'CB=×30°=15°.∴∠B'AE=∠GCB'.(3)四邊形B'PD'Q為正方形.證明:如圖③,連接AB',由(2)知,∠B'AE=∠GCB'.

圖③由折疊知,∠GCB'=∠PCN,∴∠B'AE=∠PCN.由對(duì)折知,∠AEB'=∠CNP=90°,AE=AB,CN=BC.又四邊形ABCD是正方形,∴AB=BC.∴AE=CN.∴△AEB'≌△CNP.∴EB'=NP.同理可得,FD'=MQ,由對(duì)稱性可知,EB'=FD'.∴EB'=NP=FD'=MQ.由兩次對(duì)折可知,OE=ON=OF=OM,∴OB'=OP=OD'=OQ.∴四邊形B'PD'Q為矩形.由對(duì)折知,MN⊥EF于點(diǎn)O,∴PQ⊥B'D'于點(diǎn)O.∴四邊形B'PD'Q為正方形.【典題精練】典例精講，運(yùn)籌帷幄，舉一反三；【例題1】動(dòng)手操作型：矩形紙片ABCD中，AB＝5，AD＝4.(1)如圖1，四邊形MNEF是在矩形紙片ABCD中裁剪出的一個(gè)正方形．你能否在該矩形中裁剪出一個(gè)面積最大的正方形，最大面積是多少？說(shuō)明理由；(2)請(qǐng)用矩形紙片ABCD剪拼成一個(gè)面積最大的正方形．要求：在圖2的矩形ABCD中畫(huà)出裁剪線，并在網(wǎng)格中畫(huà)出用裁剪出的紙片拼成的正方形示意圖(使正方形的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格的格點(diǎn)上)．

解：(1)正方形的最大面積是16.設(shè)AM＝x(0≤x≤4)，則MD＝4－x.易推Rt△ANM≌Rt△DMF，∴DM＝AN，∴S正方形MNEF＝x2＋(4－x)2＝2(x－2)2＋8.∵此函數(shù)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x＝2，又0≤x≤4，∴當(dāng)x＝0或x＝4時(shí)，S正方形MNEF最大，最大值是16(2)畫(huà)出分割線，拼出圖形，如圖：

【點(diǎn)撥】(1)構(gòu)建函數(shù)模型，由自變量的取值范圍可求出最大面積；(2)由矩形面積為20→正方形邊長(zhǎng)為eq\r(20)→42＋22＝(eq\r(20))2→畫(huà)出符合要求的正方形．【例題2】方案設(shè)計(jì)型：某商場(chǎng)籌集資金12.8萬(wàn)元，一次性購(gòu)進(jìn)空調(diào)、彩電共30臺(tái)．根據(jù)市場(chǎng)需要，這些空調(diào)、彩電可以全部銷(xiāo)售，全部銷(xiāo)售后利潤(rùn)不少于1.5萬(wàn)元，其中空調(diào)、彩電的進(jìn)價(jià)和售價(jià)見(jiàn)表格．空調(diào)彩電進(jìn)價(jià)(元/臺(tái))54003500售價(jià)(元/臺(tái))61003900設(shè)商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)空調(diào)x臺(tái)，空調(diào)和彩電全部銷(xiāo)售后商場(chǎng)獲得的利潤(rùn)為y元．(1)試寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)商場(chǎng)有哪幾種進(jìn)貨方案可供選擇？(3)選擇哪種進(jìn)貨方案，商場(chǎng)獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？解：(1)y＝300x＋12000(2)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5400x＋3500（30－x）≤128000，,300x＋12000≥15000，))解得10≤x≤12eq\f(2,19)，∵x為整數(shù)，∴x＝10，11，12.即商場(chǎng)有三種方案可供選擇：①購(gòu)空調(diào)10臺(tái)，購(gòu)彩電20臺(tái)；②購(gòu)空調(diào)11臺(tái)，購(gòu)彩電19臺(tái)；③購(gòu)空調(diào)12臺(tái)，購(gòu)彩電18臺(tái)(3)∵y＝300x＋12000，k＝300＞0，∴y隨x的增大而增大，即當(dāng)x＝12時(shí)，y有最大值，y最大＝300×12＋12000＝15600(元)．故購(gòu)空調(diào)12臺(tái)，購(gòu)彩電18臺(tái)時(shí)，商場(chǎng)獲利最大，最大利潤(rùn)是15600元【點(diǎn)撥】審題，確定函數(shù)關(guān)系和不等關(guān)系―→由整數(shù)解得出供選方案―→由最大利潤(rùn)確定進(jìn)貨方案【例題3】猜想探究型操作題如圖，在銳角三角形紙片ABC中，AC＞BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上．(1)已知DE∥AC，DF∥BC.①判斷四邊形DECF一定是什么形狀？②裁剪當(dāng)AC＝24cm，BC＝20cm，∠ACB＝45°時(shí)，請(qǐng)你探索：如何剪四邊形DECF，能使它的面積最大，并證明你的結(jié)論；(2)折疊請(qǐng)你只用兩次折疊，確定四邊形的頂點(diǎn)D，E，C，F(xiàn)，使它恰好為菱形，并說(shuō)明你的折法和理由．

解：(1)平行四邊形(2)設(shè)FC＝xcm(0＜x＜24)，則AF＝(24－x)cm.過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，則FH＝eq\f(\r(2),2)x.∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴eq\f(DF,BC)＝eq\f(AF,AC)，∴DF＝eq\f(5,6)(24－x)，∴S?DECF＝DF·FH＝eq\f(5,6)(24－x)·eq\f(\r(2),2)x＝－eq\f(5,12)eq\r(2)(x－12)2＋60eq\r(2)，∴當(dāng)x＝12時(shí)，四邊形DECF面積取得最大值60eq\r(2)，此時(shí)FC＝eq\f(1,2)AC，即沿著三角形的中位線DF，DE剪四邊形DECF，能使它的面積最大(3)先折∠ACB的平分線(使CB落在CA上)，壓平，折線與AB的交點(diǎn)為點(diǎn)D；再折DC的垂直平分線(使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合)，壓平，折線與BC，CA的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，展平后四邊形DECF就是菱形．理由：對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形【最新試題】名校直考，巔峰沖刺，一步到位。一、選擇題：1.（XX·浙江臨安·3分）如圖，正方形硬紙片ABCD的邊長(zhǎng)是4，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，若沿左圖中的虛線剪開(kāi)，拼成如圖的一座“小別墅”，則圖中陰影部分的面積是（）

A．2 B．4 C．8 D．10【解答】解：陰影部分由一個(gè)等腰直角三角形和一個(gè)直角梯形組成，由第一個(gè)圖形可知：陰影部分的兩部分可構(gòu)成正方形的四分之一，正方形的面積=4×4=16，∴圖中陰影部分的面積是16÷4=4．故選：B．2.（XX·浙江舟山·3分）將一張正方形紙片按如圖步驟①，②沿虛線對(duì)折兩次，然后沿③中平行于底邊的虛線剪去一個(gè)角，展開(kāi)鋪平后的圖形是（

）。

A.

B.

C.

D.

【解析】：沿虛線剪開(kāi)以后，剩下的圖形先向右上方展開(kāi)，缺失的部分是一個(gè)等腰直角三角形，用直角邊與正方形的邊是分別平行的，再沿著對(duì)角線展開(kāi)，得到圖形A。故答案為A。3.如圖，把一個(gè)長(zhǎng)方形的紙片按圖示對(duì)折兩次，然后剪下一部分，為了得到一個(gè)鈍角為120°的菱形，剪口與第二次折痕所成角的度數(shù)應(yīng)為.

【分析】折痕為AC與BD，∠BAD=120°，根據(jù)菱形的性質(zhì)：菱形的對(duì)角線平分對(duì)角，可得∠ABD=30°，易得∠BAC=60°，所以剪口與折痕所成的角a的度數(shù)應(yīng)為30°或60°?！窘獯稹俊呷鐖D，根據(jù)剪紙的折疊對(duì)稱性質(zhì)可知，四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC?！摺螧AD=120°，∴∠ABC=180﹣∠BAD=180°﹣120°=60°∴∠ABD=30°，∠BAC=60°?！嗉艨谂c折痕所成的角a的度數(shù)應(yīng)為30°或60°。4.如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)為2，O為AB的中點(diǎn)，P為AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，OQ⊥OP交BC于點(diǎn)Q，M為PQ的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為（）

A． B． C．1 D．2【分析】連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得AC=BC=，∠A=∠B=45°，OC⊥AB，OC=OA=OB=1，∠OCB=45°，再證明Rt△AOP≌△COQ得到AP=CQ，接著利用△APE和△BFQ都為等腰直角三角形得到PE=AP=CQ，QF=BQ，所以PE+QF=BC=1，然后證明MH為梯形PEFQ的中位線得到MH=，即可判定點(diǎn)M到AB的距離為，從而得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線為△ABC的中位線，最后利用三角形中位線性質(zhì)得到點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)．【解答】解：連接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如圖，∵△ACB為到等腰直角三角形，∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O為AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都為等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC=×=1，∵M(jìn)點(diǎn)為PQ的中點(diǎn)，∴MH為梯形PEFQ的中位線，∴MH=（PE+QF）=，即點(diǎn)M到AB的距離為，而CO=1，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線為△ABC的中位線，∴當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)=AB=1．故選：C．

二、填空題：5.（XX·浙江舟山·4分）如圖，量角器的0度刻度線為AB，將一矩形直尺與量角器部分重疊，使直尺一邊與量角器相切于點(diǎn)C，直尺另一邊交量角器于點(diǎn)A，D，量得AD=10cm，點(diǎn)D在量角器上的讀數(shù)為60°，則該直尺的寬度為_(kāi)_______

cm。

【分析】因?yàn)橹背吡硪贿匛F與圓O相切于點(diǎn)C，連接OC，可知求直尺的寬度就是求CG=OC-OG，而OC=OA；OG和OA都在Rt△AOG中，即根據(jù)解直角三角形的思路去做：由垂定理可知AG=DG=AD=5cm，∠AOG=∠AOD=60°，從而可求答案.【解答】解：如圖，連結(jié)OD，OC，OC與AD交于點(diǎn)G,設(shè)直尺另一邊為EF，

因?yàn)辄c(diǎn)D在量角器上的讀數(shù)為60°，所以∠AOD=120°，

因?yàn)橹背咭贿匛F與量角器相切于點(diǎn)C，所以O(shè)C⊥EF，因?yàn)镋F//AD，所以O(shè)C⊥AD，由垂徑定理得AG=DG=AD=5cm，∠AOG=∠AOD=60°，在Rt△AOG中，AG=5cm，∠AOG=60°，則OG=cm,OC=OA=cm則CG=OC-OG=-cm.6.如圖,將邊長(zhǎng)為12的正方形ABCD沿其對(duì)角線AC剪開(kāi),再把△ABC沿著AD方向平移,得到△A'B'C',當(dāng)兩個(gè)三角形重疊部分的面積為32時(shí),它移動(dòng)的距離AA'等于.

【解析】分析：本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)及平移的基本性質(zhì)．【解析】設(shè)CD與A′C′交于點(diǎn)H，AC與A′B′交于點(diǎn)G，由平移的性質(zhì)知，A′B′與CD平行且相等，∠ACB′=45°，∠DHA′=∠DA′H=45°，

∴△DA′H是等腰直角三角形，A′D=DH，四邊形A′GCH是平行四邊形，

∵SA′GCH=HC?B′C=（CD-DH）?DH=1，

∴DH=A′D=1，∴AA′=AD-A′D=1．故答案為1．

點(diǎn)評(píng)：本題需要運(yùn)用等腰直角三角形的判定和性質(zhì)及平移的基本性質(zhì)結(jié)合求解．注意平移不改變圖形的形狀和大??；經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等．7.把標(biāo)準(zhǔn)紙一次又一次對(duì)開(kāi)，可以得到均相似的“開(kāi)紙”．現(xiàn)在我們?cè)陂L(zhǎng)為2eq\r(2)，寬為1的矩形紙片中，畫(huà)兩個(gè)小矩形，使這兩個(gè)小矩形的每條邊都與原矩形的邊平行，或小矩形的邊在原矩形紙的邊上，且每個(gè)小矩形均與原矩形紙相似，然后將它們剪下，則所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長(zhǎng)之和的最大值是__eq\f(15,4)＋4eq\r(2)__.【解析】∵在長(zhǎng)為2eq\r(2)，寬為1的矩形紙片中，畫(huà)兩個(gè)小矩形，使這兩個(gè)小矩形的每條邊都與原矩形紙的邊平行，或小矩形的邊在原矩形的邊上，且每個(gè)小矩形均與原矩形紙相似，∴要使所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長(zhǎng)之和最大，則這兩個(gè)小矩形紙片長(zhǎng)與寬的和最大．∵矩形的長(zhǎng)與寬之比為2eq\r(2)∶1，∴剪得的兩個(gè)小矩形中，一個(gè)矩形的長(zhǎng)為1，寬為eq\f(1×1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4)，∴另外一個(gè)矩形的長(zhǎng)為2eq\r(2)－eq\f(\r(2),4)＝eq\f(7\r(2),4)，寬為eq\f(\f(7\r(2),4)×1,2\r(2))＝eq\f(7,8)，∴所剪得的兩個(gè)小矩形紙片周長(zhǎng)之和的最大值是2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),4)＋\f(7\r(2),4)＋\f(7,8)))＝4eq\r(2)＋eq\f(15,4).三、解答題：8.如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，將紙片折疊，點(diǎn)A、D分別落在點(diǎn)A′、D′處，EF為折痕，D′F與BC交于點(diǎn)G．試判斷∠A′EB與∠BGD′之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

【分析】：根據(jù)菱形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可知∠EA′D′=60°，∠A′D′G=120°，∠ABC=120°，再根據(jù)周角的定義和多邊形內(nèi)角和定理即可求解．本題考查了翻折變換的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，周角的定義，熟記翻折前后的圖形能夠重合得出∠EA′D′=60°，∠A′D′G=120°是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．【解答】：∠A′EB+∠BGD′=120°，證明：∵在菱形紙片ABCD中，∠A=60°，∴∠D=120°，∠ABC=120°，由折疊的性質(zhì)可知∠EA′D′=60°，∠A′D′G=120°，∴∠A′EB+∠BGD′=180°×3-（360°-120°）-（120°+60°）=120°．9.如圖，矩形紙片ABCD，將△AMP和△BPQ分別沿PM和PQ折疊(AP＞AM)，點(diǎn)A和點(diǎn)B都與點(diǎn)E重合；再將△CQD沿DQ折疊，點(diǎn)C落在線段EQ上點(diǎn)F處．(1)判斷△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪幾對(duì)相似三角形？(不需說(shuō)明理由)(2)如果AM＝1，sin∠DMF＝eq\f(3,5)，求AB的長(zhǎng)．

【解析】(1)△AMP∽△BPQ∽△CQD，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠APM＝∠EPM，∠EPQ＝∠BPQ，∴∠APM＋∠BPQ＝∠EPM＋∠EPQ＝90°，∵∠APM＋∠AMP＝90°，∴∠BPQ＝∠AMP，∴△AMP∽△BPQ，同理：△BPQ∽△CQD，根據(jù)相似的傳遞性，△AMP∽△CQD；(2)∵AD∥BC，∴∠DQC＝∠MDQ，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠DQC＝∠DQM，∴∠MDQ＝∠DQM，∴MD＝MQ，∵AM＝ME，BQ＝EQ，∴BQ＝MQ－ME＝MD－AM，∵sin∠DMF＝eq\f(DF,MD)＝eq\f(3,5)，∴設(shè)DF＝3x，MD＝5x，∴BP＝PA＝PE＝eq\f(3x,2)，BQ＝5x－1，∵△AMP∽△BPQ，∴eq\f(AM,BP)＝eq\f(AP,BQ)，∴eq\f(1,\f(3x,2))＝eq\f(\f(3x,2),5x－1)，解得x＝eq\f(2,9)或x＝2，又∵AP>AM，∴x＝eq\f(2,9)時(shí)，AP＝eq\f(1,3)<AM，∴x＝eq\f(2,9)時(shí)，不符合題意，∴AB＝6.10.山地自行車(chē)越來(lái)越受到中學(xué)生的喜愛(ài)，各種品牌相繼投放市場(chǎng)，某車(chē)行經(jīng)營(yíng)的A型車(chē)去年銷(xiāo)售總額為5萬(wàn)元，今年每輛銷(xiāo)售價(jià)比去年降低400元，若賣(mài)出的數(shù)量相同，銷(xiāo)售總額將比去年減少20%.(1)今年A型車(chē)每輛售價(jià)多少元？(用列方程的方法解答)(2)該車(chē)行計(jì)劃新進(jìn)一批A型車(chē)和新款B型車(chē)共60輛，且B型車(chē)的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A型車(chē)數(shù)量的兩倍，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批車(chē)獲利最多？A，B兩種型號(hào)車(chē)的進(jìn)貨和銷(xiāo)售價(jià)格如下表：

A型車(chē)B型車(chē)進(jìn)貨價(jià)格(元)11001400銷(xiāo)售價(jià)格(元)今年的銷(xiāo)售價(jià)格2000【解析】：(1)設(shè)今年A型車(chē)每輛售價(jià)為x元，則去年每輛售價(jià)為(x＋400)元，由題意得eq\f(50000,x＋400)＝eq\f(50000（1－20%）,x)，解得x＝1600，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝1600是方程的根，則今年A型車(chē)每輛售價(jià)為1600元(2)設(shè)今年新進(jìn)A型車(chē)a輛，則B型車(chē)(60－x)輛，獲利y元，由題意得y＝(1600－1100)a＋(2000－1400)(60－a)，∴y＝－100a＋36000.∵B型車(chē)的進(jìn)貨數(shù)量不超過(guò)A型車(chē)數(shù)量的兩倍，∴60－a≤2a，∴a≥20.∵y＝－100a＋36000，∴k＝－100＜0，∴y隨a的增大而減小，∴a＝20時(shí)，y最大＝34000元，此時(shí)B型車(chē)的數(shù)量為60－20＝40(輛)，∴當(dāng)新進(jìn)A型車(chē)20輛，B型車(chē)40輛時(shí)，這批車(chē)獲利最大11.如圖①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，如果點(diǎn)P由點(diǎn)B出發(fā)沿BA的方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，