第四節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程

第四節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程第1頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第四節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的概念及其性質(zhì)二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

第2頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三證明解的線性組合對(duì)于二階常系數(shù)齊次線性微分方程，具有下面的性質(zhì)第3頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三證畢問(wèn)題:例如第4頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例如線性無(wú)關(guān)例如第5頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三將其代入上方程,得故有特征方程特征根(p,q為常數(shù))是方程的解.二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法第6頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(1)

有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解：得齊次方程的通解為設(shè)特征根為如特征方程為第7頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2)

有兩個(gè)相等的實(shí)根一特解為得齊次方程的通解為特征根為如特征方程為第8頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)

有一對(duì)共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為設(shè)特征根為如特征方程為第9頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱(chēng)為特征方程法.總之第10頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解特征方程為解得故所求通解為解特征方程為解得故所求通解為(C1,C2為任意常數(shù)).第11頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解特征方程為解得故所求通解為第12頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解特征方程為解得方程的通解為

于是對(duì)其求導(dǎo)得所求特解為第13頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三圖6.1解由題意可得微分方程其特征方程為特征根為第14頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所以方程的通解為若令則通解為第15頁(yè)，共16頁(yè)，2023年，2月20日，星期三四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.