第四講估計與檢驗

第四講估計與檢驗第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三一、區(qū)間估計第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三總體均值區(qū)間估計總體均值置信水平為100(1-α)%的置信區(qū)間為：注意：1、估計成立的條件是：樣本必須是隨機、獨立的；2、使用t分布表時，要求總體必須是近似正態(tài)的，需對樣本作正態(tài)性檢驗；3、置信水平不是概率（置信區(qū)間是確定的而不是隨機的），可以認為以置信水平（如95%）相信總體均值在執(zhí)行區(qū)間內；或是說，置信水平這一計算方法可以使得置信區(qū)間以95%的概率覆蓋總體均值。大樣本下：方差未知：或小樣本下第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例1某小組隨機抽樣調查了250戶家庭的年收入，樣本均值為9.8萬，樣本標準差為4.8萬。小組給出一個置信區(qū)間（9.2,10.4），但未給出置信水平。1、問該區(qū)間的置信水平？（試比較兩種分布的情形）2、小組給出解釋：該地區(qū)家庭平均年收入為9.2~10.4的概率為95%，這種說法對嗎？3、若同時有10個小組在進行相同的獨立調查，問9個或以上小組得出的95%置信區(qū)間都覆蓋總體均值的概率是多少？提示：可以將每一個區(qū)間是否覆蓋總體均值作為一次Bernoulli試驗。令Y為覆蓋總體均值的全金屬區(qū)間數(shù)，顯然Y~Bin(10,0.95)第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三單側置信區(qū)間總體均值100(1-α)%的置信區(qū)間：下限為：上限為：第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例21、同例1，問總體均值95%置信區(qū)間的下限？當置信水平提高時，估計的可靠性將（提高or降低）？精確性將（提高or降低）？第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三比例置信區(qū)間若X~Bin(n,p)，由中心極限定理傳統(tǒng)方法是以樣本p代替總體p進行區(qū)間估計，最近的研究表明，Agresti–Coull區(qū)間有改進，置信水平為100(1-α)%的置信區(qū)間計算公式如下：若下限小于0則用0代替，上限大于1則用1代替。第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例3：某企業(yè)從所購買的元件中隨機抽檢了150份，有5份不合格，估計不合格品率95%置信區(qū)間。（試用傳統(tǒng)方法和Agresti–Coull方法分別計算比較）第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)指定精度確定所需樣本數(shù)為獲得總體平均100(1-α)%的置信區(qū)間，且要求區(qū)間寬度不超過D時，則需從這個總體中抽取隨機樣本數(shù)為：總體方差未知的兩階段法：階段1：從總體中抽取n1個先期樣本（如n1=30），計算這個樣本的方差S2；階段2：以S2替代總體未知方差計算所需樣本數(shù)n，若n>n1，再補抽n–n1

份樣本。另：請同學們自行計算確定總體比例所需樣本數(shù)。第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例4例1中，若要求所獲得總體均值99%置信區(qū)間的偏差為（+-）0.5萬元，問至少要調查多少樣本？例3中，若要求所獲得總體不合格品率99%置信區(qū)間的偏差為（+-）0.5%萬元，問至少要抽取多少樣本？第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三兩個總體均值之差的置信區(qū)間根據(jù)第三講的知識，請同學們自行給出大樣本情形下的計算公式。小樣本不能使用中心極限定理，可以使用t分布，計算公式：第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例5欲比較A、B兩醫(yī)院住院病人的住院天數(shù)。隨機抽取A醫(yī)院64個住院病歷，計算平均住院天數(shù)為6.54天，標準差為1.2；隨機抽取B醫(yī)院81個住院病歷，計算平均住院天數(shù)為6.24天，標準差為0.96。則兩個醫(yī)院住院病人平均住院天數(shù)差的95%置信區(qū)間是多少？有人認為兩個醫(yī)院病人的住院時間沒有差異，與上述數(shù)據(jù)矛盾嗎？為什么？第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例6隨機抽取A、B兩地空氣污染指數(shù)PSI，如下表所示A150146132164126128B9510411299109假設兩地空氣污染指數(shù)都服從正態(tài)分布，試估計兩地PSI平均差95%置信區(qū)間。第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例7有文獻給出一項對睡眠習慣的研究結果。在一個由87個成年人組成的樣本中，每天躺在床上的平均時間為7.70小時（不管處于清醒狀態(tài)還是睡眠狀態(tài)），標準差為1.02小時，其中處于睡眠狀態(tài)的平均時間為7.06小時，標準差為1.11小時。所以躺在床上的平均清醒時間為7.70-7.06=0.64小時。有可能建立平均清醒時間95%的置信區(qū)間嗎？如果行，是多少？如不行，為什么？第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例8：數(shù)據(jù)對的置信區(qū)間某輪胎制造商希望比較新、舊材料制成的輪胎的磨損情況。從每種輪胎中各選一個隨機安裝在10輛前驅汽車左、右前輪上。4萬公里后測量磨損情況如下（單位：mm）：12345678910新材料4.355.004.215.035.714.614.706.033.804.70舊材料4.194.624.044.725.524.264.276.243.464.50差值0.160.380.170.310.190.350.43-0.210.340.2問新、舊材料輪胎磨損差值95%的置信區(qū)間。第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三兩個總體比例之差的置信區(qū)間若X~Bin(nx,px)，Y~Bin(ny,py)，則px-py

置信水平為100(1-α)%的置信區(qū)間的計算方法為：傳統(tǒng)方法：改進方法：第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例9重復交易次數(shù)是顧客滿意度的一個很好的度量。某企業(yè)隨機抽取了今年的120個交易賬戶，有56個訂購次數(shù)在2次以上。從去年抽取80個樣本，有30個訂購次數(shù)在2次以上。試計算這兩年中訂購次數(shù)在2次以上顧客的比例之差的置信水平為95%的置信區(qū)間。第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三二、假設檢驗第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三問題1某校新入學學生被隨機分配進入高一兩個班，人數(shù)都是70人，化學課分別由2個老師任教。期末考試的平均分分別是70.5和72.4分，標準差都為5.4分。其中第一個班有一個學生想找第2個班的老師補課，他的選擇有道理嗎？第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三分析每一次考試都包含很多隨機因素；老師1可以認為自己的教學水平（以學生考試平均分來測量）為72.4分；老師1可以認為老師2的教學水平其實和自己是一樣的，這次考試的結果是因為自己班級發(fā)揮不好而對方班級發(fā)揮的好。對于這種具有隨機性的結果的證明只能尋求統(tǒng)計意義上的檢驗。第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三統(tǒng)計檢驗檢驗1：老師1的教學水平達不到72.4。零假設（nullhypothesis，也稱原假設）H0：1≥72.4,備擇假設（alternatehypothesis）

H1：1<72.4。檢驗2：老師1與老師2的教學水平有差異。零假設H0：1

-2=0,備擇假設H1：1–2

≠0。第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三假設檢驗的概念假設：對總體參數(shù)包括總體均值、比例、方差等的一種看法。假設檢驗：事先對總體參數(shù)或分布形式作出某種假設，然后利用樣本信息來判斷原假設是否成立。通常依據(jù)統(tǒng)計上的小概率不顯著原理而對0假設作反證。0假設：待檢驗的假設，表示為H0備擇假設：與0假設對立的假設表示為H1第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三假設檢驗思想示例圖因此我們拒絕假設

=50樣本均值抽樣分布這個值不像我們應該得到的樣本均值20H0如果這是總體的真實均值

μ=50第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三P-值（P-Value）首先我們假設0假設成立，P-值是觀測到的隨機樣本與0假設不一致的強度的度量。計算步驟（以均值檢驗為例）：在0假設H0為真的條件下，求樣本均值的分布，這個分布稱為的0分布；在0假設為真的條件下，計算觀察值與H0不一致（大于、小于或不等于）的概率即為P-值。當P-值充分?。ㄈ?/p>

），我們就放棄H0，而認為H1成立。判斷閾值稱為顯著水平（significantlevel），當P<，此時我們稱在顯著水平下拒絕原假設。第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三總體均值統(tǒng)計檢驗對總體和樣本的假設同前。對形如H0：≤

0，或H0：≥0，或H0：=0的0假設進行檢驗，檢驗統(tǒng)計量為：P-值就是對應分布密度曲線下某一區(qū)域的面積，分別對應的是單尾檢驗（右側面積），單尾檢驗（左側面積），雙尾檢驗（雙側面積）。大樣本下：方差未知：或小樣本下第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三總體比例的統(tǒng)計檢驗對總體和樣本的假設同前。對形如H0：p

≤

p0，或H0：p

≥p0

，或H0：p

=p0

的0假設進行檢驗，若np0和n(1-p0)都大于10，則有檢驗統(tǒng)計量為：P-值計算同上。第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例10某有線電視服務商在免費提供了一個月的某付費頻道后進行了調查。他們隨機抽取了400個家庭組成樣本，其中25個家庭愿意付費續(xù)訂該頻道。該公司能夠得出結論認為該地區(qū)有超過5%的家庭愿意付費觀看該頻道嗎？第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三兩個總體均值差的檢驗對總體和樣本的假設同前。對形如H0：X-Y

≤D0

，或H0：X-Y≥D0

，或

H0：X-Y=D0

的0假設進行檢驗，檢驗統(tǒng)計量為：大樣本下：方差未知：或小樣本下或當兩總體方差近似相等時，可以采用合并樣本方差的方法：第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三續(xù)P-值計算同上。第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三兩個總體比例差的檢驗設X~Bin(nx,px)和Y~Bin(ny,py)相互獨立且nx和ny都很大。對形如H0：pX-pY

≤0，或H0：pX-pY≥0，或

H0：pX-pY=0

的0假設進行檢驗，檢驗統(tǒng)計量為：P-值計算同上。第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例11為確定某燃油添加劑是否具有節(jié)油的功能，某司機記錄了自己的油耗。6箱油的平均油耗為7.4升/百公里，標準差為0.63；使用添加劑后的4箱油平均油耗為7.0升/百公里，標準差為0.75。添加劑價格為200元，問是否有必要使用該添加劑？此外，該實驗是否存在瑕疵？第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例12某課題組調查企業(yè)項目風險管理的方法。45個建筑企業(yè)樣本中有17家企業(yè)采用了風險轉移的方法，38個IT類企業(yè)中有16家企業(yè)采用了風險轉移的方法。你能認為IT企業(yè)風險轉移比例高于建筑企業(yè)嗎？第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三關于P-值P-值不能證明0假設的真實性；（科學方法本質上是否定虛假）例：某建筑工程師要為橋墩混凝土選定水泥，其抗壓強度必須大于0

，在對某一品牌水泥進行多次試驗后測度平均值和方差，然后進行假設檢驗。若他采用的假設檢驗為：H0：≥0，H1：<0

，計算得到P-值為0.168，他能否采用這一品牌水泥？P-值顯著也不一定有現(xiàn)實的意義。例：調查2X200個某一學校兩個專業(yè)學生畢業(yè)一年后平均月工資分別為1587元和1590元，方差都為100，這兩個專業(yè)的畢業(yè)生工資差異顯著嗎？這種差異有實際意義嗎？第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三關于顯著性水平a的值在固定的a水平下所作判斷可能導致兩類錯誤：第I類錯誤H0為真時拒絕了H0第II類錯誤H0為假時接受了H0犯第I類錯誤的概率不會大于a。通常我們選取a足夠小，但我們也希望確定第II類錯誤是可控的，于是定義功效（Power）如下：功效=1-P(第II類錯誤)功效需在采樣之前確定。第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三多項分布與c2檢驗頻數(shù)分析以下資料是從某工廠搜集而來的缺勤數(shù)。在0.05的顯著水平之下，試判定一周內每天的缺勤率是否有差異。星期次數(shù)期望星期一12089星期二

4589星期三

6089星期四

9089星期五13089合計445445第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三檢驗H0：p1=p2=……p5=1/5，當各單元格的期望次數(shù)﹙或理論次數(shù)﹚不小于5時，在0假設下有統(tǒng)計量其中：Oi為觀察值，Ei為期望值第36頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三列聯(lián)表（contingencytab