高中數(shù)學新課程創(chuàng)新教學設(shè)計案例篇同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

33同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教材分析這節(jié)課主要是根據(jù)三角函數(shù)的定義，導出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式sin2a＋cos2a＝1與，并初步進行這些公式的兩類基本應(yīng)用．教學重點是公式sin2a＋cos2a＝1與的推導及以下兩類基本應(yīng)用：（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一個，求其余兩個三角函數(shù)．（2）化簡三角函數(shù)式及證明簡單的三角恒等式．其中，已知某角的一個三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時，正負號的選擇是本節(jié)的一個難點，正確運用平方根及象限角的概念是突破這一難點的關(guān)鍵；證明恒等式是這節(jié)課的另一個難點．課堂上教師應(yīng)放手讓學生獨立解決問題，優(yōu)化自己的解題過程．教學目標1.讓學生經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的探索、發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學生的動手實踐、探索、研究能力．2.理解和掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，并能初步運用它們解決一些三角函數(shù)的求值、化簡、證明等問題，培養(yǎng)學生的運算能力，邏輯推理能力．3.通過同角三角函數(shù)基本關(guān)系的學習，揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義世界觀．任務(wù)分析這節(jié)課的主要任務(wù)是引導學生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式：sin2a＋cos2a＝1及，并進行初步的應(yīng)用．由于該節(jié)內(nèi)容比較容易，所以，課堂上無論是關(guān)系式的探索還是例、習題的解決都可以放手讓學生獨立完成，即由學生自己把要學的知識探索出來，并用以解決新的問題．必要時，教師可以在以下幾點上加以強調(diào)：（1）“同角”二字的含義．（2）關(guān)系式的適用條件．（3）化簡題最后結(jié)果的形式．（4）怎樣優(yōu)化解題過程．教學設(shè)計一、問題情境教師出示問題：上一節(jié)內(nèi)容，我們學習了任意角α的六個三角函數(shù)及正弦線、余弦線和正切線，你知道它們之間有什么聯(lián)系嗎？你能得出它們之間的直接關(guān)系嗎？二、建立模型1.引導學生寫出任意角α的六個三角函數(shù)，并探索它們之間的關(guān)系在角α的終邊上任取一點P（x，y），它與原點的距離是r（r＞0），則角α的六個三角函數(shù)值是足2.推導紀同角三角函鮮數(shù)關(guān)系式導引導學生通曲過觀察、分場析和討論，壇消元（消去務(wù)x，y，r?。?，從而獲壤取下述基本喘關(guān)系．朝（1）平方當關(guān)系：si軋n僚2付a倘＋cos盒2恰a傍＝1．本（2）商數(shù)尸關(guān)系：t：培說明：箭①聞當放手讓學列生推導同角護三角函數(shù)的奸基本關(guān)系時飼，部分學生知可能會利用裁三角函數(shù)線起，借助勾股次定理及相似卡三角形的知動識來得出結(jié)號論．對于這授種推導方法者，教師也應(yīng)劑給以充分肯棍定，并進一稍步引導學生涌得出｜si謊nα｜＋｜下cosα｜恰≥1．殲②鍵除以上兩個法關(guān)系式外，歉也許部分學協(xié)生還會得出肅如下關(guān)系式寒：昂.語教師點撥：厘這些關(guān)系式戚都很對，但加最基本的還歪是（1）和賠（2），故篩為了減少大責家的記憶負菊擔，只須記述?。?）和乏（2）即可吳．以上關(guān)系袖式均為同角蓬三角函數(shù)的尿基本關(guān)系式及．縮教師啟發(fā)：捷（1）對“繞同角”二字規(guī)，大家是怎倉樣理解的？攏（2）這兩熱個基本關(guān)系誘式中的角α跟有沒有范圍怠限制？障（3）自然逃界的萬物都斗有著千絲萬押縷的聯(lián)系，炮大家只要養(yǎng)謹成善于觀察押的習慣，也欺許每天都會議有新的發(fā)現(xiàn)裙．剛才我們喘發(fā)現(xiàn)了同角蔑三角函數(shù)的要基本關(guān)系式海，那么這些脅關(guān)系式能用堡于解決哪些底問題呢？悠三、解釋應(yīng)抵用［例題］倡1.已知田sinα＝路，且α是第迫二象限角，悅求角α的余捆弦值和正切信值．鍛2.已知付tanα＝驢－隸，且α是第蕩二象限角，啟求角α的正好弦和余弦值屢．控說明：這兩辱個題是關(guān)系肝式的基本應(yīng)寬用，應(yīng)讓學傻生獨立完成賢．可選兩名窄同學到黑板阿前板書，以親便規(guī)范解題遞步驟．浙變式1在型例2中若去愛掉“且α是堅第二象限角逼”，該題的光解答過程又把將如何？卡師生一起完闊成該題的解姨答過程．獄解：由題意挎和基本關(guān)系族式，列方程漸組，得墾由晌②本，得sin竄α＝－起cosα，額代入園①歡整理，得6測cos諒2罷α＝1，c筋os巾2賢α＝流．湖∵演tanα酒＝－黃＜０，甘∴際角α是第二富或第四象限糞角．碌當α是第二喉象限角時，塘cosα＝捆－罷，境代入衣②亡式，得哪；貿(mào)當α是第四儀象限角時，悲cosα＝申，端代入偏②巴式，得集.悼小結(jié)：由平調(diào)方關(guān)系求值赴時，要涉及束開方運算，籍自然存在符桃號的選取問泄題．由于本更題沒有具體叢指明α是第鹽幾象限角，閉因此，應(yīng)針撥對α可能所扮處的象限，茄分類討論．貍變式2把幕例2變?yōu)椋翰艘阎猼an區(qū)α＝－耍，求乞的值．弦解法1：由喘tanα＝閥－罰及基本關(guān)系摸式可解得相針對兩種情朱況下的結(jié)果波居然一致的荒情況，教師敢及時點撥：遞觀察所求式造子的特點，紹看能不能不暢通過求si存nα，co晉sα的值而棋直接得出該廣分式的值．蟻學生得到如止下解法：府由此，引出健變式3．敲已知：ta茂nα＝－呆，求（si望nα－co葛sα）賤2閑的值．車有了上一題虎的經(jīng)驗，學律生會得到如欄下解法：孟教師歸納、飽啟發(fā)：這個派方法成功地蓄避免了開方榮運算，因而藏也就避開了亞不必要的討崗論．遺憾的脾是，因為它站不是分式形答式，所以解隨題過程不像送“變式2”夢那樣簡捷．嫂那么，能解號決這一矛盾友嗎？易學生得到如豐下解法：思教師引導學扣生反思、總狠結(jié)：（1）培由于開方運云算一般存在午符號選取問羽題，因此，柄在求值過程節(jié)中，若能避既免開方的應(yīng)駛盡量避免．踐（2）當式憤子為分式且孝分子、分母解都為三角函兄數(shù)的n（n蓋∈胞N鳳且n≥1）孩次冪的齊次慘式時，采用家上述方法可醉優(yōu)化解題過營程．［練習］遣當學生完成抱了以上題目俘后，教師引喬導學生討論光如下問題：墨（1）化簡咽題的結(jié)果一愿定是“最簡團”形式，對項三角函數(shù)的逃“最簡”形漆式，你是怎唱樣理解的？奔（2）關(guān)于疤三角函數(shù)恒際等式的證明可，一般都有鬼哪些方法？燙你是否發(fā)現(xiàn)拳了一些技巧般？各四、拓展延綁伸掠教師出示問稠題，啟發(fā)學哈生一題多解純，并激發(fā)學虛生的探索熱垃情．渾已知sin兇α－cos驢α＝－狂，180°銅＜α＜27找0°，求t面anα的值旗．顛解法1：由并sinα－喉cosα＝銳－襲，得艇反思：（1桂）解法1的號結(jié)果比解法想2的結(jié)果多陜了一個，看套來產(chǎn)生了“肚增根”，那粘么，是什么鎖原因產(chǎn)生了告增根呢？探（2）當學提生發(fā)現(xiàn)了由啄sinα－捷cosα＝盾－御得到sin六2芽α－2si振nαcos臭α＋cos色2燃α＝桃的過程中，榮α的范圍變規(guī)大了時，教蔑師再點撥：寺怎樣才能使眠平方變形是紐等價的呢？俘由學生得出位如下正確答喘案：業(yè)∵呢180°未＜α＜27臉0°，且s傍inα－c夜osα＝－診＜0，旁∴腎sinα喚＜0，co開sα＜0，心且｜sin籠α｜＞｜c組osα｜，橋因此｜ta牧nα｜＞1陳，只能取t供anα＝2板．則強調(diào)：非等再價變形是解撿法1出錯的還關(guān)鍵！點評投這篇案例力馳求體現(xiàn)新課鍛程理念下的云以人為本的盒思想，充分婚發(fā)揮了學生派的主體作用格．教師充當雷著學生學習版的引導者、瀉支持者和幫毛助者的角色豈．教師和學折生是本課的屯共同參與者眾，共同努力搏