人教版初中數(shù)學(xué)解一元二次方程導(dǎo)學(xué)案

第二十一章一元二次方程81.2.解一元二次方程一元二次方程的解法一直接開平方法直接開平方法是根據(jù)初一已學(xué)過平方根進(jìn)行開方運(yùn)算，學(xué)生見過此類型，非常容易理解。形如x2n的方程的解法：當(dāng)n0時(shí)，x<n;當(dāng)90時(shí)，Ax2 0;當(dāng)90時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。教學(xué)時(shí)，可以由淺入深的安排以下類型題：x2=a6>0)bx2a6、b同號，b于0)(x-b)2=a6>0)④m(x-b)2=a(a、m同號,m手0)(ax+b)2=(cx+d)2例6.用直接開平方法解下列方程：(1)x2 3(2)(x3)2 2(3)4x24x15練習(xí)：用直接開平方法解方程:(1)x24y250y(1)x24y250y2361(2)3x2 52x25x2、(x1)2 2(3x7)203)(4)169(x3)22892(x3)20(原方程無實(shí)根)12507x22x14(x2)2 (2x5)2§21.2.2配方法配方法：配方法是數(shù)學(xué)中一種很重要的式子變形，運(yùn)用了化歸的思想。即利用完全平方公式把方程轉(zhuǎn)化為（4土m”=n的形式，再運(yùn)用開平方法求解。配方不僅是解一元二次方程的一種基本解法，而且初三學(xué)習(xí)二次函數(shù)等其他數(shù)學(xué)概念時(shí)也會(huì)用到，在教學(xué)中，對配方法和化歸思想應(yīng)充分重視。依據(jù)由易到難的原則，先學(xué)習(xí)a=1，后學(xué)習(xí)a豐1的情況。具體步驟如下：①移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；②系數(shù)化1：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；③配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為（％土m）2=n的形式；④求解：若n>0時(shí)，方程的解為4=-m±『n，若n<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解。注意：在方程變形時(shí)要關(guān)注的方面較多，要做出標(biāo)記，引起學(xué)生注意，可以讓學(xué)生去記憶配方的具體步驟。例7.配方法解方程：42—84+1=0 (2)>2-3y+1=0 (3)42+2=2<24練習(xí)：1.填空(1)42+64+=(4+3)2 (2)42一34+=(4)2(3)42-44+=(4)2(4)42-p4+=(4)22.用配方法解下列方程：(2)42+24+5=0(3)y2+10y+4=0 (4)y2+5y+1=0(5)42-4-7=0 (6)42+2=2<344例8.用配方法解下列方程：1(1)242+1=34 (2) 42+1=2<242(3)42+2m4一n=0(m2+n>0)(4)(4-5)2=2(4一5)一1練習(xí)：用配方法解下列方程：(1)3y2+6y一3=0 (2)2y2-6y-3=0(6)ax2+x-2=0(a>0)x(x(x+4)=8x+12(x+1)2—2(x+1)=3§21.2.3公式法通過對一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a豐0)進(jìn)行配方得到一元二次方程的求根公式。推導(dǎo)求根公式時(shí)，特別給出條件“當(dāng)b24ac>0時(shí)”。教學(xué)中應(yīng)當(dāng)使學(xué)生認(rèn)識到這一條b b、件是根據(jù)(x+—)2非負(fù)性而產(chǎn)生的，如果b2-4ac<0,就有(x+—)2<0.這在實(shí)數(shù)范圍是不可2a 2a能的。因此，這里要約定b2-4ac>0.當(dāng)b2—4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；b當(dāng)b2—4ac=0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫為x1=x2=—五；當(dāng)b2—4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.，這樣可以避免配方過程，而直接得出方程的根?？梢奯—b±b2-4ac利用求根公式x= 2a，這樣可以避免配方過程，而直接得出方程的根?？梢姽椒ㄟm合解任何一個(gè)一元二次方程。安排先解數(shù)字系數(shù)的方程，后解字母系數(shù)的方程。用求根公式解一元二次方程的一般步驟一元二次方程化為一般式；確定的值；代入b2—4ac中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根;④若b2—4ac>0代入求根公式求值，否則，原方程無實(shí)數(shù)根。例9.用公式法解下列方程：x2—x+1=0(2)x2=3x(3)x2+2x+1=0(4)4x2—x+3=7x(5)3(x2+2)=4x(6)4x2+5=4<5x練習(xí)：用公式法解下列方程

(1)x2+x-12=0 (2) x2一x--=04(3) x2+4x+8=2x+11 (4) x(x-4)=2-8x(5) x2+2x=0 (6) x2+2v-5x+10=0(7)3x2=6x-2(8)p2+3=2、；3p(9)9n2=5n-2 (10)x+2=(x-2)(2x-1)-3例10.用公式法解下列關(guān)于x的方程(1)x2-mx-m2=0(2)(m-1)x2-2mx+m+1=0(m豐1)(3)(1-m)x2+(m-3)x+2=0(m豐1)(4)(m—1)x2+(m—2)x—1=0§21.2.4因式分解法如果一元二方程的左邊能分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊等于0,即ab=0；令每一個(gè)因式都為零，a=0或b=0，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。要適當(dāng)補(bǔ)充因式分解法解含有字母系數(shù)的方程。因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①將方程化右邊化為0;②把方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊等于0;③令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解.例11.用因式分解法解下列方程：- - 1 - 3(4)5x2-2x--=- - 1 - 3(4)5x2-2x--=x2-2x+—4 4(6)y2+4y-45=0(3(6)y2+4y-45=0(5)(x-4)2=(5-2x)2例12.解關(guān)于x的方程：x2+3a2=4ax-2a+1(1)xx2+3a2=4ax-2a+1(3)mx2+(3m+1)x+3=0(m于0 (4)(m+n)x2+2nx=m-n(m+n豐0)練習(xí)1：因式分解法解下列方程：(1)x2-5x-6=0) (2)y2-12y-28=0(3)丫7x2--221x=0(4)6x2-3y3x=2<2x--J6(5)(x-5)2=2(x-5)-1(6)(x2+3x)2-2(x2+3x)-8=0

2：解下列關(guān)于％的方程:(2)mx2-2mx-3=0(1)(m-1)(2)mx2-2mx-3=0(3(3)-x2+(m+1)x+(m+2)=0(4)mx2-(3m-1)x+2m-2=0(5)(5)mx2+(m-3)x-3=0(m〉0)(6)mx2+(3m+1)x+3=0(m豐0)§21.2.5 選用適當(dāng)方法解一元二次方程一元二次方程的常用解法有四種，即直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法。其中公式法、配方法是通法。在解一元二次方程時(shí)，方法的選擇是關(guān)鍵，要善于根據(jù)方程的特點(diǎn)，靈活選用恰當(dāng)?shù)姆椒?。一般來說，方法的選擇順序是先特殊解法再通法。明確每種解法的關(guān)鍵：①因式分解解法的關(guān)鍵是先使方程的右邊為0；②公式法解方程的關(guān)鍵是先把方程化成一般形式，正確寫出。,b,c的值③直接開平方法解方程的關(guān)鍵是先把方程化為（x+a）2=b（b>0）的形式④配方法解方程的關(guān)鍵是先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再把方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方練習(xí)：1用不同的方法解方程：2x2-5x+2=0.選用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?）p2=2v3p（C=0，因式分解法） （2）9n2=27（b=0，開平方法）3）<2（2x-7）2=<128 （4）x2-4x-5=0（5）x2-8x+3=0（b為偶數(shù)，配方法）（6）2y2-4y-3=0（系數(shù)化1后一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)可用配方法，也可用公式法）（7）2x2+2x-1=0（公） （8）2x2-2<2x+1=0（含無理數(shù)，用公式