解析函數(shù)的零點及唯一性

解析函數(shù)的零點及唯一性第1頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四1、函數(shù)的零點例定義

若函數(shù)

定義

若函數(shù))(zf在點0z的某個鄰域),(0dzO內(nèi)解析，；且除了點0z外，在),(0dzO內(nèi)，)(zf處處不為零，則稱0z為)(zf孤立零點.

在點解析，并且z0，則稱為函數(shù)的零點2第2頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四

定義若為函數(shù)的零點，且存在自然數(shù)使在的Taylor級數(shù)為則稱為的m級零點，其中3第3頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四m級零點的判別方法零點的充要條件是：定理1如果在解析,那末為的級證明：對于在點解析函數(shù)來說，它在該點的鄰域內(nèi)的Taylor級數(shù)展開式的系數(shù)是唯一的，并且有，從而根據(jù)函數(shù)零點的定義：前m項為零，有4第4頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四定理2

0z

其中)(zy在點0z解析，且為)(zf的m級零點的充要條件為

另外，我們有我們下面僅證明其必要性。充分性自己思考。5第5頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四證明：如果是函數(shù)的m級零點，則此處展開式的前m項系數(shù)都為零。若記則有其中：在處解析，并且6第6頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四

事實上，設(shè)0z為)(zf的m級零點，則由定義，

7第7頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四除0z外，再無零點，即:0z是)(zf的孤立零點.

8第8頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四9第9頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四推論：設(shè))(zf在區(qū)域D內(nèi)解析，}{nz(n=1,2,…)是)(zf在D內(nèi)的一列零點，且，當(dāng)

則在中必恒為零。

10第10頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四11第11頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四練習(xí)求的奇點,如果是極點,指出它的級數(shù).答案12第12頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四推論1

點為的級極點的充要條件為是的級零點。推論2

若點為函數(shù)的級零點，則z0為函數(shù)的級零點；當(dāng)時，z0為函數(shù)的級極點。13第13頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四推論3(L’Hospital法則)

設(shè)函數(shù)不恒為零，若為函數(shù)和的零點(極點)，則當(dāng)時，函數(shù)的極限一定存在或為，且有注意：

若函數(shù)在點解析，，則當(dāng)為函數(shù)的級零點或級極點時，也分別是函數(shù)的級零點或級極點。14第14頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四(1)由于知是的一級零點.練習(xí)是五級零點,是二級零點.知是的一級零點.解

(2)由于答案例1求以下函數(shù)的零點及級數(shù):(1)(2)的零點及級數(shù).求15第15頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四例2

函數(shù)有些什么奇點,如果是極點,指出它的級.解

函數(shù)的奇點是使的點,這些奇點是孤立奇點.的一級極點.即推論1為判斷函數(shù)的極點提供了一個較為簡便的方法.16第16頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四例3．求下列函數(shù)孤立奇點的類型，并指出極點級數(shù)（2）解：顯然和是函數(shù)的孤立奇點，分別取和

則可見和分別是的二級極點和三級極點。17第17頁，共18頁，2023年，2月20日，星期四（4）解：點為的一級零點;函數(shù)的零點為，且在這些點處不為零，由定理1，這些點為函數(shù)的一級