2022-2023學年廣東省珠海市斗門區(qū)高二年級上冊學期期末數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年廣東省珠海市斗門區(qū)高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．從某社區(qū)65戶高收入家庭，280戶中等收入家庭，105戶低收入家庭中選出90戶調(diào)查社會購買力的某一項指標，應采用的最佳抽樣方法是（

）A．系統(tǒng)抽樣 B．分層抽樣 C．簡單隨機抽樣 D．各種方法均可【答案】B【分析】根據(jù)分層抽樣的概念判斷即可；【詳解】解：因為社會購買力的某項指標受到家庭收入的影響，而社區(qū)中各個家庭收入差別明顯，所以應采用分層抽樣法，故選：B.2．已知橢圓的長軸長為10，離心率為，則橢圓的短軸長為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】根據(jù)已知求出，再求出即得解.【詳解】由題意，得，，所以，所以，所以橢圓的短軸長為8.故選：D.3．有一個人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對立事件是（

）.A．至多有1次中靶 B．2次都中靶C．2次都不中靶 D．只有1次中靶【答案】C【分析】根據(jù)對立事件的概念可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)對立事件的概念，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對立事件是“2次都不中靶”.故選：C.4．圓上一點到原點的距離的最大值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】求得圓的圓心和半徑，由此求得圓上一點到原點的距離的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓心到原點的距離為，所以圓上一點到原點的距離的最大值為.故選：C【點睛】本小題主要考查點和圓的位置關系，屬于基礎題.5．已知雙曲線的漸近線方程為，則（

）A．5 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線方程的特點確定m為負，再求出雙曲線漸近線方程作答.【詳解】在雙曲線中，，其實半軸長，虛半軸長，因雙曲線的漸近線方程為，于是得，解得，所以.故選：B6．設等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用等差數(shù)列通項和求和公式化簡已知等式可求得，由可得結(jié)果.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，，，解得：，，解得：，，.故選：A.7．若直線與圓相離，則過點的直線與圓的位置關系是（

）A．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【答案】C【分析】根據(jù)題意，求出圓心到直線的距離大于半徑，得到，故點在圓內(nèi)，進而判斷結(jié)果.【詳解】因為直線與圓相離，所以圓心到直線的距離大于半徑，即，所以，故點在圓內(nèi)，所以過點的直線與圓相交，故選：C.8．在平行六面體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構建基向量，，表示，并根據(jù)向量的夾角公式求其夾角的余弦值即可.【詳解】如下圖，構建基向量，，.則，所以所以.故選：C.二、多選題9．（多選）對于拋物線上，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．焦點到準線的距離為4 D．準線方程為【答案】AC【分析】寫出標準形式即，即可得到相關結(jié)論【詳解】由拋物線，即，可知拋物線的開口向上，焦點坐標為，焦點到準線的距離為4，準線方程為．故選：AC10．已知為直線l的方向向量,分別為平面,的法向量（,不重合）,那么下列說法中正確的有（

）．A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)法線面垂直平行的性質(zhì)及法向量、方向向量的概念即可選出選項.【詳解】解:若,因為,不重合,所以,若,則共線,即,故選項A正確;若,則平面與平面所成角為直角,故,若,則有,故選項B正確;若,則,故選項C錯誤;若,則或,故選項D錯誤.故選:AB11．某縣相鄰兩鎮(zhèn)在一平面直角坐標系下的坐標分別為，，交通樞紐，計劃經(jīng)過C修建一條馬路l（l看成一條直線，l的斜率為k），則下列說法正確的是（

）A．若A，B兩個鎮(zhèn)到馬路l的距離相等，則或B．若A，B兩個鎮(zhèn)到馬路l的距離相等，則或C．若A，B兩個鎮(zhèn)位于馬路的兩側(cè)，則k的取值范圍為D．若A，B兩個鎮(zhèn)位于馬路的兩側(cè)，則k的取值范圍為【答案】AD【分析】結(jié)合圖象，由兩點斜率公式求對滿足條件的直線的斜率.【詳解】若A，B兩個鎮(zhèn)到馬路l的距離相等，當l與直線平行時，則.當直線與l相交時，則直線過的中點，又的中點為，所以，故或.若A，B兩個鎮(zhèn)位于馬路的兩側(cè)，則，，故k的取值范圍為，故答案為：AD.12．設數(shù)列的前項和為，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為C．若，則數(shù)列的前17項和為D．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則當時，的最大值為2023【答案】BC【分析】令時，由求出可判斷A；由知，，當時，取得的最小值可判斷B；若，求出數(shù)列的前項和可判斷C；由數(shù)列的下標和性質(zhì)可得，則可判斷D.【詳解】對于A，由，當時，，由，當時，，所以，A不正確；對于B，若，當時，，則，所以當時，取得的最小值為，所以，B正確；對于C，若，設數(shù)列的前項和為，所以，故C正確；對于D，數(shù)列為等差數(shù)列，且，則，所以，當時，的最大值為，所以D不正確.故選：BC.三、填空題13．已知等差數(shù)列中，，，則數(shù)列的前9項和____________．【答案】63【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前n項和公式及等差數(shù)列性質(zhì)計算作答.【詳解】等差數(shù)列中，，，所以.故答案為：6314．過點作圓的兩條切線，切點分別為，則直線的方程為__________.【答案】【分析】先求得切線長，然后結(jié)合圓與圓的位置關系求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑，設，,所以切線長為，以為圓心，半徑為的圓的方程為，即①，圓即②，由①-②得直線的方程為，即.故答案為：15．將一張坐標紙折疊一次，使點與點重合，則折痕所在直線的一般式方程為___________.【答案】【分析】利用折痕所在直線與兩點連線垂直可得所求直線斜率，利用中點在折痕所在直線上可得所求直線方程.【詳解】點與點連線斜率，折痕所在直線斜率，又點與點的中點為，折痕所在直線方程為：，即.故答案為：.16．橢圓的左、右焦點為F1?F2，點P在橢圓上，若RtF1PF2，則點P到x軸的距離為_____.【答案】或【解析】點，易得點P到軸的距離為，然后分或，，三種情況結(jié)合橢圓的定義求解.【詳解】設點，則到軸的距離為，因為，，，當或時，則，得，，即到軸的距離為．當時，則，，，，由（1）（2）知：到軸的距離為或，故答案為：或．四、解答題17．求經(jīng)過點和點的橢圓的標準方程.【答案】.【分析】根據(jù)給定條件，設出橢圓的方程，利用待定系數(shù)法計算作答.【詳解】設橢圓的方程為：，因該橢圓經(jīng)過點和，于是得，解得，即有，所以橢圓的標準方程為：.18．為慶祝建黨100周年，謳歌中華民族實現(xiàn)偉大復興的奮斗歷程，增進全體黨員干部職工對黨史的了解.某單位組織開展黨史知識競賽活動，以支部為單位參加比賽.現(xiàn)把50名黨員的成績繪制了頻率分布直方圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)回答下列問題：(1)求a的值及這50名黨員成績的眾數(shù)；(2)試估計此樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù).【答案】(1)，眾數(shù)為75(2)93.75【分析】（1）利用頻率和為1列方程即可求得a的值；利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求得這50名黨員成績的眾數(shù)；（2）依據(jù)利用頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求得此樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù).【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：，解得.由眾數(shù)概念可知，眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以眾數(shù)為.（2）前5個小組的頻率之和是，所以第90百分位數(shù)在第六小組內(nèi)，設其為x，則，解得，則可以估計此樣本數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)為93.75.19．已知是等差數(shù)列的前項和，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)12【分析】（1）設出公差，利用等差數(shù)列通項公式基本量列出方程，求出公差，進而求出通項公式；（2）在第一問的基礎上，求出，得到不等式，求出，結(jié)合，得到的最小值.【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，因為，所以.解得.所以.（2），所以.令，得，解得：（舍去）.因為，所以的最小值是12.20．已知直線l：(a+1)x+y+2-a=0(a∈R)．（1）若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程；（2）當O(0，0)點到直線l的距離最大時，求直線l的方程．【答案】（1）x+y+2=0或3x+y=0；（2）x-3y-10=0．【分析】（1）求得橫截距和縱截距，由此列方程求得的值，從而求得直線的方程.（2）求得直線所過定點，根據(jù)求得直線的斜率，由此求得直線的方程.【詳解】（1）依題意得，a+1≠0．令x=0，得y=a-2；令y=0，得x=．∵直線l在兩坐標軸上的截距相等，∴a-2=，化簡，得a(a-2)=0，解得a=0或a=2．因此，直線l的方程為x+y+2=0或3x+y=0．（2）直線l的方程可化為a(x-1)+x+y+2=0．令解得因此直線l過定點A(1，-3)．由題意得，OA⊥l時，O點到直線l的距離最大．因此，kl==，∴直線l的方程為y+3=(x-1)，即x-3y-10=0．21．如圖1，在中，，，，是的中點，在上，.沿著將折起，得到幾何體，如圖2(1)證明：平面平面；(2)若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)圖1可知折疊后，，由此可證平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）由題可知是二面角的平面角，易證是等邊三角形，連接，根據(jù)圖1中的幾何關系和面面垂直的性質(zhì)定理可證平面，再以為原點，，，為，，軸建系，利用空間向量法即可求出線與平面所成角.【詳解】（1）證明：因為在圖1中，沿著將折起，所以在圖2中有，，又，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）解：由（1）知，，，所以是二面角的平面角，所以，又因為，所以是等邊三角形，連接，在圖1中，因為，，所以，因為是的中點，所以，所以是等邊三角形.取的中點，連接，，則，，因為平面平面，平面平面，所以平面，所以，，兩兩垂直，以為原點，，，為，，軸建系，如圖所示.，，，所以，，設平面的法向量為，則即取，得平面的一個法向量為，所以.設直線與平面所成角為，則.22．在平面直角坐標系中，圓：，圓：，點，一動圓M與圓內(nèi)切、與圓外切.(1)求動圓圓心M的軌跡方程E；(2)是否存在一條過定點的動直線，與E交于A、B兩點，并且滿足？若存在，請找出定點；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，過定點【分析】（1）由題意得，則動圓圓心的軌跡是以為焦點，實軸長為2的雙曲線的左支，可得，即可得出結(jié)果；（2）設直線為，代入，并整理得，設，由題知，即，結(jié)合韋達定理求得，代入直線方程即可得出答案.【詳解】（1）由圓方程知：圓心，半徑；由圓方程知：圓心，半徑，設動圓的半徑為，動圓與圓內(nèi)切，與圓外切，，，且，動圓圓心的軌跡是以為焦點，實軸長為2