第十二章 動(dòng)能定理

§1力的功§2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能§3動(dòng)能定理§5勢(shì)力場(chǎng)·勢(shì)能·機(jī)械能守恒定律§4功率·功率方程·機(jī)械效率§6普遍定理的綜合應(yīng)用舉例第1頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1力的功度量力在一段路程上對(duì)物體作用的積累效應(yīng)。一、常力的功SW=F·S=FScosφ力矢量與位移矢量的數(shù)量積。vFvvvφWorkdonebyaforce第2頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、變力的功質(zhì)點(diǎn)M在力F的作用下作曲線運(yùn)動(dòng)，xozyrdrFφM1M2τM→M'，ds=MM'，力F與質(zhì)點(diǎn)的無(wú)限小位移dr的數(shù)量積，稱為力的元功。δW=F·drdsdr=MM'rFM1M2dsrFM1M2dsrFM1M2dsdrdrdr

M

M

M

MφτφτφτM'=Fdscosφ

ds與dr為同階無(wú)窮小!ijkijkijkijk第3頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四δW=F·dr=Xdx+Ydy+Zdz

F=Xi+Yj+Zk，功的解析表達(dá)式元功的解析表達(dá)式若將F與r沿坐標(biāo)軸分解，則dr=dxi+dyj+dzk，第4頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、幾種常見(jiàn)力的功⒈重力的功X=0，Y=0，Z=－P第5頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四特點(diǎn)：重力的功只與重心的起止位置的高度差有關(guān)而與路徑無(wú)關(guān)。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，有第6頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四彈性力的功只與起止位置彈簧的變形量有關(guān),而與路徑無(wú)關(guān)。彈性力的功的特點(diǎn)式中1-----初始位置彈簧變形量；

2-----末了位置彈簧變形量；⒉彈性力的功第7頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四o1⒊定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功F

Fzzxyor

δW=F·dr=Fτds=Fτ

Rd∴力F的元功為δW=MzdFrFωF

r

FrFF

r

FrFF

r

FrFFzFzFzA又Mz(F)=Mz(F)=

FR

=Mz剛體從角1轉(zhuǎn)到2時(shí)，力F作的功為第8頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四⒋力偶的功當(dāng)剛體轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí),力偶M的功為MM=Fr

rFF'dδW=Fds+F’·0=FrdδW=Md即力偶M的元功為M=FrFF'dM=FrFF'dM=FrFF'dMMMdsdsdsds第9頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，某瞬時(shí)速度為v，則其動(dòng)能為恒正的標(biāo)量，與速度的方向無(wú)關(guān)。與動(dòng)量比較?Kineticenergy第10頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的代數(shù)和即質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能。第11頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四圓錐擺桿的動(dòng)能例桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，繞z軸以勻角速度ω作圓錐擺動(dòng)，圓錐頂角為2。求該桿的動(dòng)能。解：沿桿軸線取坐標(biāo)軸x。則微元體zmimimirivivivi第12頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四⑴平動(dòng)剛體的動(dòng)能即第13頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四⑵定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能ωzJzvirio即riωvivivi第14頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四⑶平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能JP----剛體對(duì)瞬心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第15頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四根據(jù)計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理，有∴即P

vcωvi(瞬心)driPmiC

第16頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四結(jié)論：作平面運(yùn)動(dòng)的剛體的動(dòng)能，等于隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能的和。第17頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四O

例計(jì)算下列各物體的動(dòng)能。均質(zhì)圓輪質(zhì)量為m，半徑為r；繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為ω，求其動(dòng)能。ωC

m

r第18頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四均質(zhì)圓輪質(zhì)量為m，半徑為r；在水平面上純滾動(dòng)，輪心速度為v，求其動(dòng)能。C

m

r

v

或P

瞬心=？ω第19頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四vABC解：PP為AB桿的瞬心[例3]均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，上端B靠在光滑的墻上，下端A用鉸與質(zhì)量為M半徑為R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示位置圓柱作純滾動(dòng)，中心速度為v，桿與水平線的夾角=45o，求該瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。第20頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四O1[例5]求橢圓規(guī)的動(dòng)能，其中OC、AB為均質(zhì)細(xì)桿，質(zhì)量為m和2m，長(zhǎng)為a和2a，滑塊A和B質(zhì)量均為m，曲柄OC的角速度為w，j

=60°。解：在橢圓規(guī)系統(tǒng)中滑塊A和B作平動(dòng)，曲柄OC作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)尺AB作平面運(yùn)動(dòng)。首先對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，O1是AB的速度瞬心，因:ABOCjwvCvBvAwAB第21頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)于曲柄OC： AB作平面運(yùn)動(dòng)，用繞速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)的公式求動(dòng)能：系統(tǒng)的總動(dòng)能為： O1ABOCjwvCvBvAwAB第22頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(1)如圖所示，楔塊A向右移動(dòng)速度為v1,質(zhì)量為m的物塊B沿斜面下滑，它相對(duì)于楔塊的速度為v2，求物塊B的動(dòng)能TB。（）A.D.C.B.D第23頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四（2）如圖所示，平板A以勻速v沿水平直線向右運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)圓輪B在平板上以勻角速度ω朝順時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)而不滑動(dòng)，則輪的動(dòng)能為（）A.B.C.D.B第24頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ⅠⅡO

Ar2r1行星輪機(jī)構(gòu)中，行星輪Ⅰ在系桿OA的帶動(dòng)下繞定齒輪Ⅱ轉(zhuǎn)動(dòng)。已知系桿的質(zhì)量為m，角速度為ω，行星輪質(zhì)量為m1，半徑為r1，求系統(tǒng)的動(dòng)能。解：T=TOA+T輪ⅠωP

T輪ⅠvAωA瞬心式中：∴系統(tǒng)動(dòng)能為續(xù)例13-2第25頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的某過(guò)程中，其動(dòng)能的改變量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力（或力系）作的功。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式§3動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理Theoremofkineticenergy第26頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，速度為vi，1、受力：主動(dòng)力Fi、約束反力Ni，則n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，n個(gè)方程∑：主動(dòng)力的元功約束反力的元功第27頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四或?qū)硐爰s束，T∑WiN=0所以，dT=∑WF在理想約束條件下，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的主動(dòng)力的元功之和。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式第28頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)式T2－T1=∑WF

在理想約束條件下，質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)的某過(guò)程中，其動(dòng)能的改變量等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上的所有主動(dòng)力所作功的代數(shù)和。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式dT=∑WF積分，得第29頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1)光滑支撐面;一端固定的繩子N

drdrN

理想約束舉例：光滑軸承或光滑鉸支座δWN=0N

drdrN

N

drdrN

N

drdrN

第30頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四B

2)光滑鉸鏈聯(lián)接不可伸長(zhǎng)的柔索A

α

第31頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3)固定面上只滾不滑的輪子，不計(jì)滾動(dòng)摩阻（太?。?

drD----接觸點(diǎn)的位移；ω

F

T

N

G

DδW=F'·drD=F·vDdt=0純滾動(dòng)剛體上滑動(dòng)摩擦力不作功。C

ω

F

T

N

G

C

ω

F

T

N

G

C

ω

F

T

N

G

C

DD瞬心4)固定端約束：作用點(diǎn)無(wú)位移第32頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四問(wèn)題在非理想約束條件下，如何應(yīng)用動(dòng)能定理？將摩擦力、彈簧內(nèi)力等非理想約束的約束反力劃入主動(dòng)力計(jì)算功。第33頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、若將作用于質(zhì)點(diǎn)系上的力分為外力和內(nèi)力

積分形式：第34頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功FAFBdrAdrBrArBδW=FA·drA+FB·drB

=FA·drA－FA·drB

=FA·d(rA－rB)∵rA+AB=rB，即δW=－FAdAB內(nèi)力的功之和不一定等于零。A

O

FAFBdrAdrBrArBO

FAFBdrAdrBrArBO

FAFBdrAdrBrArBO

B

A

B

A

B

A

B

rA－

rB=－AB

∴δW=－FA·dAB第35頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四內(nèi)力的功不為零的實(shí)例摩擦力作負(fù)功。P

ωωN

F

P

ωN

F

P

ωN

F

P

ωN

F

第36頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例位于水平面內(nèi)的機(jī)構(gòu)如圖。已知曲柄OA=r，重P，受常力矩M作用；連桿AB=l，重Q；滑塊B重G。當(dāng)AO⊥OB時(shí)，A點(diǎn)的速度為u。求曲柄OA轉(zhuǎn)至與連桿AB成一直線時(shí)，A點(diǎn)的速度。uOBAvAOABvAvAMM第37頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：初始位置時(shí)，vCvB=u/r=u=uAB桿作瞬時(shí)平動(dòng)!vCvBvCvB系統(tǒng)的動(dòng)能為：OABu第38頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四代入T2－T1=∑WF得當(dāng)OAB成直線時(shí)，vCωAB瞬心系統(tǒng)的動(dòng)能為：瞬心瞬心瞬心vCvAvCMOBA第39頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[例4]．兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計(jì)，如機(jī)構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)，AB桿B端的速度。解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象第40頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例

圖示系統(tǒng)中，磙子C、滑輪O均質(zhì)，重量、半徑均為Q、r。磙子沿傾角為α的斜面純滾動(dòng)，借不可伸長(zhǎng)的繩子提升重W的物體，同時(shí)帶動(dòng)滑輪O轉(zhuǎn)動(dòng)，求磙子質(zhì)心C的加速度aC。COα第41頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四COαWQQ解：[法一]用動(dòng)能定理的微分形式。任意瞬時(shí),系統(tǒng)動(dòng)能為：vCvWωCωO瞬心DvCvWωCωO

vCvWωCωODD第42頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四COα續(xù)例13-5主動(dòng)力在位移ds上的元功為∑WF=(Qsinα－W)ds兩邊同除以dt，且得由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式dsQQ對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行受力分析,dsXOYOFNdT=∑WFQQXOYOFNWQQXOYOFNdsdsdsds第43頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四COαWQQXOYOFN[法二]用動(dòng)能定理的積分形式。設(shè)系統(tǒng)初始動(dòng)能為T(mén)0(定值)；當(dāng)輪心C經(jīng)過(guò)距離s后，速度為vC，系統(tǒng)動(dòng)能為T(mén)2－T1=∑WF由兩邊求導(dǎo)，得同樣可得得aCvCssss第44頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四小結(jié)：動(dòng)能定理最適于求解動(dòng)力學(xué)第二類基本問(wèn)題：已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)，即求速度、加速度或建立運(yùn)動(dòng)微分方程。求速度宜用動(dòng)能定理的積分形式；求加速度或建立運(yùn)動(dòng)微分方程宜用其微分形式，或先用積分形式再求導(dǎo)。動(dòng)能定理方程中不出現(xiàn)理想約束的反力使解題過(guò)程大為簡(jiǎn)便。第45頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§4功率·功率方程·機(jī)械效率一、功率---單位時(shí)間力所作的功度量作功快慢的程度功率等于切向力與力作用點(diǎn)速度的乘積。對(duì)轉(zhuǎn)體，作用在轉(zhuǎn)體上力的功率，等于該力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩與角速度的乘積。Power,powerequation，mechanicalefficiency第46頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、功率方程對(duì)質(zhì)點(diǎn)：對(duì)質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有力的功率的代數(shù)和。功率方程第47頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§5勢(shì)力場(chǎng)·勢(shì)能·機(jī)械能守恒定律一、勢(shì)力場(chǎng)力場(chǎng)---質(zhì)點(diǎn)在空間任意位置都受到一個(gè)大小、方向均為確定的力的作用，該空間稱為力場(chǎng)。勢(shì)力場(chǎng)---若質(zhì)點(diǎn)在力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功，僅與質(zhì)點(diǎn)的起止位置有關(guān)，而與路徑無(wú)關(guān)，則該力場(chǎng)稱為勢(shì)力場(chǎng)或保守力場(chǎng)。*重力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)、萬(wàn)有引力場(chǎng)等均為勢(shì)力場(chǎng)。*若質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)一封閉曲線回到起點(diǎn)，有勢(shì)力的功恒等于零。即Potentialforcefield,potentialenergy,conservationofmechanicalenergy第48頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、勢(shì)能在勢(shì)力場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到任選的參考點(diǎn)M0，有勢(shì)力所作的功稱為質(zhì)點(diǎn)在M位置的勢(shì)能。PM0(x0,y0,z0)xzyoM(x,y,z)*重力勢(shì)能PP第49頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四o*彈性力勢(shì)能0-----勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)彈簧的變形量。FMM0l0δ0δ若選彈簧自然位置為勢(shì)能零點(diǎn)，即

0=0，則δ0δδ0δ第50頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、機(jī)械能守恒定律質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系在某一位置的動(dòng)能與勢(shì)能之代數(shù)和稱為機(jī)械能。若質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受有勢(shì)力作用，則其機(jī)械能保持不變。機(jī)械能守恒定律這樣的系統(tǒng)稱為保守系統(tǒng)。T

＋V

=常數(shù)

即第51頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四如質(zhì)點(diǎn)M在勢(shì)力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)：PMxzyoM2M0M1選M0為零勢(shì)點(diǎn)，則勢(shì)能M1處：V1=W10V2=W20M2處：∵W10=W12+

W20∴W12=W10－

W20=V1－V2

根據(jù)動(dòng)能定理，得T2－

T1=W12=V1－V2

即T1＋V1=T2＋V2

機(jī)械能守恒定律PPP第52頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[例]長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無(wú)初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達(dá)）。解：由于水平方向不受外力，且初始靜止，故質(zhì)心C鉛垂下降。由于約束反力不作功,主動(dòng)力為有勢(shì)力，因此可用機(jī)械能守恒定律求解。第53頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由機(jī)械能守恒定律：將代入上式，化簡(jiǎn)后得初瞬時(shí)：任一瞬時(shí)：第54頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§6普遍定理的綜合應(yīng)用一、重要物理量機(jī)械運(yùn)動(dòng)的度量力作用的度量物體慣性的度量動(dòng)量動(dòng)量矩沖量力、力系的主矢、力矩、力系的主矩動(dòng)能功功率質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Generaltheoremsofdynamicsanditsapplications第55頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[例]基本量計(jì)算(動(dòng)量,動(dòng)量矩,動(dòng)能)第56頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、動(dòng)力學(xué)普遍定理的共同特點(diǎn)揭示機(jī)械運(yùn)動(dòng)的特征量與力的作用量?jī)烧咧g的聯(lián)系。⑴建立起運(yùn)動(dòng)特征量隨時(shí)間的變化率與表示力的作用強(qiáng)弱的量之間的關(guān)系。⑵建立起運(yùn)動(dòng)特征量在某過(guò)程中的總變化量與力在該過(guò)程中作用的積累量之間的關(guān)系。微分形式的動(dòng)力學(xué)普遍定理積分形式的動(dòng)力學(xué)普遍定理第57頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三、動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用一題多解類同一問(wèn)題用不同的定理方法求解。綜合求解類不同問(wèn)題用不同的的定理簡(jiǎn)捷地解。第58頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：取桿為研究對(duì)象由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：[例6]均質(zhì)桿OA，重P，長(zhǎng)l，繩子突然剪斷。求該瞬時(shí)，角加速度及O處反力。由動(dòng)量矩定理：第59頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.如圖所示，均質(zhì)輪質(zhì)量為，半徑為R，偏心距，輪的角速度和角加速度在圖示位置時(shí)為和，輪在垂直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，求鉸支座O

的約束反力。OC答案：第60頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例已知磙子C、滑輪O均質(zhì)，重量、半徑均為Q、r。磙子向下作純滾動(dòng)，借不可伸長(zhǎng)的繩子提升重W的物體，同時(shí)帶動(dòng)滑輪O繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求

(1)磙子質(zhì)心C的加速度aC；

(2)系在磙子上的繩子的張力；

(3)軸承O處水平方向的反力。CαO第61頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Oα由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有WεOYOQS2S2'S1aW由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，有對(duì)重物，有XO又聯(lián)立解得研究輪O，受力如圖，εOYOQS2S1XOεOYOQS2S1XOεOYOQS2S1XOWS2'aWWS2'aWWS2'aW第62頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四問(wèn)題有無(wú)其他方法求系在磙子上的繩子的張力？CQFNS1'αaCCαO？第63頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例7已知質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿OA繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，桿的A端鉸接一質(zhì)量為2m半徑為R的均質(zhì)圓盤(pán)，初始時(shí)OA桿水平，桿和盤(pán)靜止；求桿落至與水平線成θ角時(shí)桿的角速度、角加速度。A'ωεOAθ第64頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：即：盤(pán)為平動(dòng)！系統(tǒng)落至θ角處，受力如圖，圓盤(pán)受力如圖，根據(jù)對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，有求導(dǎo)解得由動(dòng)能定理，有θOεA2mgωεAmgXOYO2mg2mg2mgYAYAYAYA2mg2mg2mg2mgXAXAXAXAAXOYOXOYOXOYO第65頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四問(wèn)題若桿與圓盤(pán)固接為一體，則桿落至與水平線成θ角時(shí)，桿的角速度、角加速度？第66頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

[例]兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長(zhǎng)為l，在C處光滑鉸接，置于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初始靜止，C點(diǎn)高度為h，求鉸C到達(dá)地面時(shí)的速度。第67頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四討論動(dòng)量守恒定理＋動(dòng)能定理求解。計(jì)算動(dòng)能時(shí)，利用平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，可以不拆開(kāi)。研究對(duì)象：整體分析受力：，且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。代入動(dòng)能定理：第68頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[例3]均質(zhì)圓盤(pán)A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量不計(jì)，平行于斜面。斜面傾角，摩擦系數(shù)f，圓盤(pán)作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求：滑塊的加速度。解：選系統(tǒng)為研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：由動(dòng)能定理：對(duì)ｔ求導(dǎo)，得第69頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例長(zhǎng)為b質(zhì)量為m0的兩均質(zhì)桿AB和BC在B點(diǎn)用鉸鏈相連。桿AB的A端和固定鉸鏈支座相連，桿BC在C處用鉸鏈與一均質(zhì)圓柱體連接。圓柱的質(zhì)量為M，半徑為r。在B點(diǎn)作用一鉛垂力F。A、C兩點(diǎn)處于同一水平線上，桿AB與水平線夾角為θ

。初始時(shí)系統(tǒng)靜止不動(dòng)，求系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到桿AB和桿BC均處于水平位置時(shí)，桿AB的角速度。設(shè)圓柱在水平面上滾動(dòng)而無(wú)相對(duì)滑動(dòng)。

第70頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四可以采用動(dòng)能定理解決AB作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)BC處于水平位置時(shí),C為瞬心，也作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。第71頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例均質(zhì)桿OA=l=1m，質(zhì)量m=6kg，可繞軸O在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。當(dāng)OA桿鉛直時(shí)，角速度為0=10rad/s，轉(zhuǎn)至水平處恰好將彈簧壓縮了=0.1m，此時(shí)角速度為零。求

(1)彈簧的剛性系數(shù)k:（取g=10m/s2)

(2)桿水平時(shí)，軸承O處的約束反力。kOA第72頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四OAkmg解：(1)用動(dòng)能定理求彈簧k(2)桿水平時(shí)受力如圖，mg根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，有mgmgmg第73頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有代入數(shù)據(jù)，得桿轉(zhuǎn)至水平時(shí)，角速度為零，即OAkmg第74頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四BA例質(zhì)量為m=4kg的均質(zhì)桿,用兩根等長(zhǎng)的平行繩懸掛,如圖所示。試求其中一根繩被剪斷瞬間,另一繩的張力。第75頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四BACmgFTεaC解:以AB為研究對(duì)象,繩斷瞬間受力如圖示。因?yàn)樗椒较驘o(wú)外力作用,故aC沿鉛直方向。maC=mg–FTJCε

=FTl/2式中:JC=ml2/12aAn+aAτ=aC+anAC+aτAC因?yàn)?初始時(shí)刻aAn=0anAC=0aAτ=aC+aτACaC=aτAC=lε/2由此即可解出FT=mg/4

。第76頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例已知物塊A、B的質(zhì)量均為m，兩均質(zhì)圓輪C、D的質(zhì)量為2m，半徑均為R，無(wú)重懸臂梁CK長(zhǎng)為3R；求(1)A的加速度(2)HE段繩的拉力(3)固定端K的約束反力。CDKHAEB第77頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解：設(shè)運(yùn)動(dòng)情況如圖，系統(tǒng)動(dòng)能為式中所以DBvAωCvBvAvAvAωCωCωCωDvBvBvBACCDKHAEB2mm2mm第78頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四系統(tǒng)受力如圖，由功率方程可解得且所有力的功率為：CDKHAEBvAωCωDvBmgmgFKxFKy2mg2mgMKmgmgmg2mg2mg2mgmgmgmg2mg2mg2mgFKxFKxFKxMKMKMKFKyFKyFKy第79頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ECvAAωC（2）求HE段繩的拉力；FCxFCy取物塊A與輪C系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖，由有式中且解得由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，有求得FEH2mgmgFCxFCxFCxFCyFCyFCy第80頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(3)求固定端K處的約束反力。CK取懸臂梁CK為研究對(duì)象，受力如圖，由FKxFKyFCx'Fcy'解得MK又FKxFKxFKxFKyFKyFKyMKMKMKFcy'Fcy'Fcy'FCx'FCx'FCx'第81頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四OOO例已知質(zhì)量為m1的三棱柱放在光滑水平面上，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱體O由靜止沿三棱柱的斜面向下純滾動(dòng)；求三棱柱的加速度。ωOOθ第82頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四θm2gm1gFNveaeveaearO解：研究整個(gè)系統(tǒng)，受力如圖，∵∑X=0，且初始靜止，∴系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒，即得設(shè)圓柱體O的半徑為r，其質(zhì)心由靜止沿斜面向下滾動(dòng)距離s時(shí)，對(duì)上式求導(dǎo)且知解得FNFNFNm1gm1gm1gm2gm2gm2gaearaearaearveveveve由動(dòng)能定理，有s即三棱柱的加速度。vrvrvr第83頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例均質(zhì)連桿AB，質(zhì)量為m1=4kg，長(zhǎng)為600mm；均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為m2=6kg，半徑r=100mm，彈簧剛性系數(shù)為k=2N/m，若不計(jì)套筒A和彈簧的質(zhì)量，連桿在圖示位置被無(wú)初速釋放后，A端沿光滑桿落下，圓盤(pán)作純滾動(dòng)。求（1）桿AB落到水平位置而接觸彈簧時(shí)圓盤(pán)及桿的角速度；（2）彈簧的最大壓縮量。ABC30om1g我們可以將問(wèn)題分為兩個(gè)階段1、套筒下落到接觸彈簧2、接觸彈簧后到靜止第84頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第一階段只有桿AB的重力做功初始靜止ABC30om1g套筒與彈簧接觸時(shí)B套筒速度垂直向下，圓盤(pán)質(zhì)心速度水平向右B為瞬心圓盤(pán)角速度為零AB桿繞B作瞬時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)由動(dòng)能定理B第85頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ABC30om1g第二階段桿AB的重力和彈簧力同時(shí)做功假設(shè)套筒靜止時(shí)彈簧的壓縮量為δ此時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能外力做功由動(dòng)能定理第一階段已知第86頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例圖示斜面D的傾角為θ,重物A沿斜面下滑,A和B的質(zhì)量分別為m1和m2,滑輪C和繩的質(zhì)量及一切摩擦均忽略不計(jì),試求斜面D作用于地面凸出部分E的水平壓力。ABθDCE第87頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解:以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象,受力如圖示。任意時(shí)刻系統(tǒng)的動(dòng)能為ABθDCEm1gm2gFxvT

=

(m1+m2)v2/2dT

=

(m1+m2)vdv∑δWi=(m1sinθ

–m2)gds而a=(m1sinθ

–m2)g/(m1+m2)第88頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四ABθDCEm1gm2gFxva=(m1sinθ

–m2)g/(m1+m2)再由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理在水平方向的投影可得x將a代入即可得水平壓力Fx。第89頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四本章結(jié)束！本章結(jié)束！本章結(jié)束！第90頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四本章小結(jié)動(dòng)能是物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)的一種度量。

質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

平動(dòng)剛體的動(dòng)能

繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能第91頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四力的功是力對(duì)物體作用的積累效應(yīng)的度量?；?/p>

重力的功

彈性力的功

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功

平面運(yùn)動(dòng)剛體上力系的功第92頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四動(dòng)能定理微分形式積分形式理想約束條件下，只計(jì)算主動(dòng)力的功。注意：質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力作功之和不一定等于零！功率是力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功（力矩的功率）第93頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四功率方程P輸入－P有用－P無(wú)用機(jī)械效率有效功率輸入功率η=η=

P有用+P輸入即有勢(shì)力的功只與物體的運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)和終點(diǎn)的位置有關(guān)，而與物體內(nèi)各點(diǎn)軌跡的形狀無(wú)關(guān)。第94頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四物體在勢(shì)力場(chǎng)中某位置的勢(shì)能等于有勢(shì)力從該位置到任選的零勢(shì)能位置所作的功。重力場(chǎng)中的勢(shì)能V=mg(z－z0)彈性力場(chǎng)中的勢(shì)能萬(wàn)有引力場(chǎng)中的勢(shì)能若以自然位置為零勢(shì)能點(diǎn)，則若以無(wú)限遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)，則第95頁(yè)，共104頁(yè)，2023年，2月20日，星期四有勢(shì)力的功可通過(guò)勢(shì)能的差來(lái)計(jì)算W12=V1－V2機(jī)械能=動(dòng)能+勢(shì)