計(jì)算方法方程的擬合

計(jì)算方法方程的擬合1第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四logη=-2.137+882.43/(T-160.036)2第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四1.最小二乘法曲線擬合的原理如果觀測數(shù)據(jù)存在較大誤差，通常采用“近似函數(shù)在各實(shí)驗(yàn)點(diǎn)的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的偏差平方和最小”的原則建立近似函數(shù)。最小若稱此曲線擬合法為最小二乘法曲線擬合。式中R稱為均方誤差。由于計(jì)算均方誤差的最小值的原則容易實(shí)現(xiàn)而被廣泛采用。定義:3第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四經(jīng)驗(yàn)建模經(jīng)驗(yàn)建模又分為兩種情況：一是無任何理論依據(jù)，但有經(jīng)驗(yàn)公式可供選擇，例如很多物性數(shù)據(jù)（熱容、密度、飽和蒸氣壓）與溫度的關(guān)系常表示為:

二是沒有任何經(jīng)驗(yàn)可循的情況，只能將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫出圖形與已知函數(shù)圖形進(jìn)行比較，選擇圖形接近的函數(shù)形式作擬合模型。最小二乘法的優(yōu)點(diǎn)是函數(shù)形式多種多樣，根據(jù)其來源不同，可分為半經(jīng)驗(yàn)建模和經(jīng)驗(yàn)建模兩種。半經(jīng)驗(yàn)建模如果建模過程中先由一定的理論依據(jù)寫出模型結(jié)構(gòu)，再由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)模型參數(shù)，這時建立的模型為半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。例如，描述反?yīng)速率常數(shù)與溫度的關(guān)系可用阿侖紐斯方程，即這種情況下，工作要點(diǎn)在于如何確定函數(shù)中的各未知系數(shù)，4第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四2.最小二乘法算法分類不論何種建模情況，在選定關(guān)聯(lián)函數(shù)的形式之后，就是如何根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)去確定所選關(guān)聯(lián)函數(shù)中的待定系數(shù)。最小二乘法按計(jì)算方法特點(diǎn)又分為線性最小二乘法和非線性最小二乘法。5第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四對于一元線性函數(shù)：測定了m個自變量值：和m個應(yīng)變量值：計(jì)算出m個應(yīng)變量值：定義誤差：3.線性最小二乘法線性最小二乘法是常用的曲線擬合方法。線性最小二乘法又分為一元和多元等不同情況。

一元線性最小二乘法的方法概述6第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四欲使Q最小，按極值的必要條件，要滿足:由最小二乘法：設(shè)3.線性最小二乘法7第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四3.線性最小二乘法可推導(dǎo)出上式稱為一元線性最小二乘法的法方程8第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四4.多元線性最小二乘法設(shè)系統(tǒng)共有n個影響因子，得到m次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。若可用多元線性函數(shù)擬合時，形式如下：若k代表第k次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，則相應(yīng)的預(yù)測值表示為：

由最小二乘法設(shè)：欲使Q最小，按極值的必要條件，要滿足:9第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四共n個影響因子，有m次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，若k代表第k次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)，則：設(shè)多元線性函數(shù)：4.多元線性最小二乘法10第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四則轉(zhuǎn)化為以為未知數(shù)的方程組：

上式稱為多元線性最小二乘法的法方程。解此方程組，可求出參數(shù)，因此擬合方程便可確定。因此，要求：根據(jù)最小二乘原則：要使達(dá)到最小令：4.多元線性最小二乘法11第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四

在應(yīng)用最小二乘法曲線擬合時，通常遇到更多的是非線性函數(shù)。對比線性模型擬合，非線性模型擬合要困難的多。5.非線性最小二乘法最好設(shè)法使模型轉(zhuǎn)化為線性形式。有些非線性模型是不能變換成線性模型的，這時應(yīng)該用直接非線性最小二乘法進(jìn)行處理。非線性模型擬合的二個途徑直接采用非線性擬合通過代換轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系12第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四化工中常見的函數(shù)雙曲線冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)負(fù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)S型曲線n次多項(xiàng)式5.非線性最小二乘法13第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四雙曲線令：代換方程為：14第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四冪函數(shù)兩邊取對數(shù)令：代換方程為：yxb＞1b=1b＜11a

15第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四指數(shù)函數(shù)兩邊取對數(shù)令：代換方程為：yxb＞0b＜0a16第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四xyb＞0b＜0a負(fù)指數(shù)函數(shù)

令則代換方程為：17第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四yxb＜0b＞00對數(shù)函數(shù)

令則代換方程為：18第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四S型曲線變形后，令：代換方程為：yx1/a19第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四n次多項(xiàng)式令：代換方程為：20第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四6.非線性直接擬合有些非線性方程無法通過代換法轉(zhuǎn)換成線性方程，則需要采用直接非線性最小二乘法如：下式是一種常用的飽和蒸汽壓計(jì)算公式這里介紹非線性直接擬合的常用方法之一----------高斯－牛頓法21第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四

理論基礎(chǔ)：泰勒展開 對于非線性函數(shù)若的近似值為，誤差為，則當(dāng)初值給定時對非線性函數(shù)在初值附近作泰勒展開，并略去的二次以上的高次項(xiàng)，可以得到：6.非線性直接擬合22第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四其中：23第23頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四由最小二乘法設(shè)欲使Q最小，按極值的必要條件，要滿足:

則有以為未知數(shù)的方程組：

令24第24頁，共25頁，2023年，2月20日，星期四將解此法方程所得到的第一套修正值代入可求得，再用上