計量經(jīng)濟學 多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗

計量經(jīng)濟學多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗第1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四說明計量經(jīng)濟學模型是應用數(shù)理統(tǒng)計方法建立的一類經(jīng)濟數(shù)學模型，所以在模型參數(shù)估計出來后，必須檢驗其估計的可靠程度是否滿足數(shù)理統(tǒng)計學理論與方法上的要求。

計量經(jīng)濟學模型的統(tǒng)計檢驗主要包括:擬合優(yōu)度檢驗方程的顯著性檢驗變量的顯著性檢驗

第2頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四一、擬合優(yōu)度檢驗

(TestingtheSimulationLevel)擬合優(yōu)度檢驗：檢驗模型對樣本觀測值的擬合程度。在一元回歸模型中，擬合優(yōu)度檢驗是通過構造一個可以表征擬合程度的統(tǒng)計量R2來實現(xiàn)。在多元回歸模型中，也可以用該統(tǒng)計量來衡量樣本回歸線對樣本觀測值的擬合程度。第3頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四總離差平方和、回歸平方和及殘差平方和定義TSS為總離差平方和（TotalSumofSquares），反映被解釋變量樣本觀測值總體離差的大?。籈SS為回歸平方和（ExplainedSumofSquares），反映被解釋變量回歸估計值的變差大小，也是模型中的解釋變量所解釋的那部分離差的大?。籖SS為殘差平方和（ResidualSumofSquares），反映被解釋變量樣本觀測值與估計值偏離的大小，也是模型中解釋變量未解釋的那部分離差的大小。第4頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四那么，TSS、ESS、RSS之間存在的如下關系：

總離差平方和=

回歸平方和+

殘差平方和

TSS=ESS+RSS第5頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四關于TSS=ESS+RSS的證明過程（教材P73）證明：將TSS，即總離差平方和進行分解：其中根據(jù)正規(guī)方程組（見教材P67（3.2.6）式），有：…第6頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四所以TSS=RSS+ESS

注意：回歸平方和反映了總離差平方和中可由樣本回歸線解釋的部分，它越大，殘差平方和越小，樣本回歸線對樣本觀測值的擬合程度越高。（教材P74）所以，可以用回歸平方和占總離差平方和的比重來衡量樣本回歸線對樣本觀測值的擬合程度。也即用檢驗模型的擬合優(yōu)度。從而R2叫做多重可決系數(shù)，也簡稱為可決系數(shù)或判定系數(shù)。第7頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四但是在應用過程中人們發(fā)現(xiàn)，如果在模型中增加一個解釋變量，那么模型的回歸平方和隨之增大，從而R2也隨之增大。這就給人一個錯覺：要使模型擬合得好，就必須增加解釋變量。

所以，用來檢驗擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量必須能夠防止這種傾向。

毫無疑問，R2越接近于1，模型的擬合優(yōu)度越高。第8頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四式中，（n-k-1）為殘差平方和RSS的自由度，（n-1）為總離差平方和TSS的自由度。（教材P74）

第9頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四在實際應用中，R2達到多大才算模型通過了檢驗？

答案是：沒有絕對的標準。

模型的擬合優(yōu)度并不是判斷模型質(zhì)量的唯一標準，有時甚至為了追求模型的經(jīng)濟意義，可以犧牲一點擬合優(yōu)度。

如：H·錢納里等：《發(fā)展的型式1950-1970》，P50-52，經(jīng)濟科學出版社。

第10頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四而在第三版教材P72例3.2.2的中國內(nèi)地城鎮(zhèn)居民人均消費支出模型（二元回歸）中，R2=0.975634，比如，第三版教材P53例2.6.1中的中國內(nèi)地城鎮(zhèn)居民人均消費支出模型（一元回歸）中，R2=0.971419，可見，對于中國內(nèi)地城鎮(zhèn)居民的人均消費支出，二元回歸比一元回歸的效果更好。（注意：教材P75的表述有問題?。┑?1頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四可決系數(shù)R2

的簡捷計算公式：（☆）其中對于一元線性回歸：對于多元線性回歸：第12頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四*赤池信息準則和施瓦茨準則（教材P75）

為了比較所含解釋變量個數(shù)不同的多元回歸模型的擬合優(yōu)度，常用的標準還有:(2)施瓦茨準則（Schwarzcriterion，SC）

這兩準則均要求：僅當所增加的解釋變量能夠減少AIC值或SC值時，才在原模型中增加該解釋變量。

(1)赤池信息準則（Akaikeinformationcriterion,AIC）nnknSClnln+￠=ee第13頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四二、方程顯著性檢驗（教材P75）

TestingtheOverallSignificance方程的顯著性檢驗：對模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關系在總體上是否顯著成立作出推斷。

直觀上看，擬合優(yōu)度高，則解釋變量對被解釋變量的解釋程度就高，可以推測模型總體線性關系成立；反之，就不成立。但這只是一個模糊的推測，不能給出一個在統(tǒng)計上嚴格的結論。這就要求進行方程的顯著性檢驗。方程的顯著性檢驗所應用的方法，是數(shù)理統(tǒng)計學中的假設檢驗。第14頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四1.關于假設檢驗（教材P46）假設檢驗是統(tǒng)計推斷的一個主要方面，它的基本任務是根據(jù)樣本所提供的信息，對未知總體某些方面（如參數(shù)或分布類型）的假設作出合理的判斷。假設檢驗的程序：先根據(jù)實際問題的要求提出一個論斷，稱為統(tǒng)計假設，記為H0

；然后根據(jù)樣本的有關信息，對H0的真?zhèn)芜M行判斷，作出拒絕H0或接受H0的決策。第15頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四假設檢驗的基本思想是概率性質(zhì)的反證法。也就是說，為了檢驗原假設H0是否正確，先假定這個假設是正確的，看由此能推出什么結果。如果導致一個不合理的結果，則表明“假設H0為正確”是錯誤的，即原假設H0不正確，因此要拒絕原假設H0。如果沒有導致一個不合理現(xiàn)象的出現(xiàn)，則不能認為原假設H0不正確，因此不能拒絕原假設H0

。

第16頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四概率性質(zhì)的反證法的根據(jù)是小概率事件原理。該原理認為“小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的”。

第17頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四換句話說，這里構造了一個小概率事件（“檢驗統(tǒng)計量的樣本值落入拒絕域”）。如果在一次試驗中該事件就發(fā)生了，就違背了小概率事件原理，也就意味著導致了一個不合理的結果。第18頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四顯著性檢驗的步驟：(★)

（1）提出原假設H0和備擇假設H1；

（2）計算檢驗統(tǒng)計量的樣本值；

（3）確定臨界值和拒絕域；

（4）下結論：是否拒絕H0

。

第19頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四檢驗模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關系在總體上是否顯著成立，也就是要檢驗模型

2.方程顯著性的F檢驗（注意補充的內(nèi)容?。╥=1,2,…,n）中的參數(shù)是否顯著不為0。

（1）按照假設檢驗的原理與步驟，首先應提出假設：

（注：教材P75有錯?。?/p>

顯然，當H0成立時，即表示模型的線性關系不成立；當H1成立時，即表示模型的線性關系成立。第20頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四（2）并且，RSS與ESS相互獨立。

所以，統(tǒng)計量

第21頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四直觀上看，回歸平方和ESS是解釋變量整體對被解釋變量Y的線性作用的結果，如果ESS/RSS的比值較大，則解釋變量整體對Y的解釋程度高，可以認為總體存在線性關系；反之，總體可能不存在線性關系。因此,可以通過該比值的大小對總體線性關系進行推斷。該統(tǒng)計量即為用于方程顯著性檢驗的F統(tǒng)計量。第22頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四（4）（3）第23頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四例在第三版教材P72例3.2.2的中國內(nèi)地城鎮(zhèn)居民人均消費模型(二元回歸)中，k=2,n=31,F=560.565。給定α=0.05,查得Ｆ0.05（2,28)=3.34。所以,該模型的線性關系在95%的置信水平下顯著成立。第24頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四⒊關于擬合優(yōu)度檢驗與方程顯著性檢驗關系的討論

擬合優(yōu)度檢驗和方程總體線性的顯著性檢驗是從不同原理出發(fā)的兩類檢驗：前者是從已經(jīng)得到估計的模型出發(fā)，檢驗它對樣本觀測值的擬合程度；后者是從樣本觀測值出發(fā)檢驗模型總體線性關系的顯著性。但是二者又是關聯(lián)的：F檢驗和擬合優(yōu)度檢驗都是在總變差TSS分解為回歸平方和ESS與殘差平方和RSS的基礎上構造統(tǒng)計量進行的檢驗；模型對樣本觀測值的擬合程度高，模型總體線性關系的顯著性就強；兩個檢驗統(tǒng)計量之間存在如下的數(shù)量關系：或可見，F(xiàn)與R2同向變化。當R2=0時，F(xiàn)=0；當R2越大時，F(xiàn)也越大；當R2=1時，F(xiàn)→∞。（注：教材P76-77文字有錯！）第25頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四多大才算通過擬合優(yōu)度檢驗？

重新回到前面的問題：對于第三版教材P72例3.2.2

，給定顯著性水平=0.05時，查F分布表，得到臨界值F0.05(2,28)=3.34，即是說，只要F統(tǒng)計量的值大于3.34，模型的線性關系在95%的水平下就是顯著成立的。將該數(shù)值代入（3.3.8）式，計算得到對應的調(diào)整后的可決系數(shù)為第26頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四實際上，有許多著名的模型，R2小于0.5，支持了重要的結論。例：西蒙·庫茲涅茨關于收入差距的倒U型規(guī)律、H·錢納里的《發(fā)展的型式1950-1970》。如果我們首先得到調(diào)整后的可決系數(shù)為0.1354，肯定認為該模型的質(zhì)量不高，殊不知它的總體線性關系的置信水平達到了95%。第27頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四方程顯著性檢驗（F檢驗）的步驟（★）（1）對多元線性回歸模型的參數(shù)提出聯(lián)合假設：（2）在原假設H0的基礎上，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算F統(tǒng)計量的樣本值：第28頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四1.什么是變量的顯著性檢驗？（教材P77）

對于多元線性回歸模型，方程的總體線性關系顯著成立，并不能說明每個解釋變量對被解釋變量的影響都是顯著的。因此，必須對每個解釋變量進行顯著性檢驗，以決定是否作為解釋變量被保留在模型中。如果某個變量對被解釋變量的影響并不顯著，應該將它剔除，以建立更為簡單的模型。這就是變量顯著性檢驗的任務。變量顯著性檢驗針對的原假設為H0：j=0（j=0,1,2,…,k），而應用最為普遍的是t檢驗。三、變量顯著性檢驗

TestingtheIndividualSignificance第29頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四2.變量顯著性的t檢驗（1）檢驗統(tǒng)計量（t統(tǒng)計量）的構造：（對教材P77的補充?。╦=0,1,2,…,k）第30頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四于是因此，可以構造統(tǒng)計量

該統(tǒng)計量即為用于變量顯著性檢驗的t統(tǒng)計量。

第31頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四（2）變量顯著性的t檢驗（思路）計算檢驗統(tǒng)計量tj的值【模型有幾個解釋變量，就要計算幾個tj

】。（j=0,1,2,…,k）第32頁，共36頁，2023年，2月20日，星期四例：在教材P72例3.2.2

中國內(nèi)地城鎮(zhèn)居民人均消費支出的二元回歸模型中，由Eviews軟件計算得到：

變量X1和X2各自的t統(tǒng)計量樣本值分別為

tX1=7.378320tX2=2.200791

給定α=0.05,查得臨界值t0.025(28)=2.048。

由于tX1