2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)數(shù)學(xué)試題(文科)

2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)

數(shù)學(xué)試題(文科)

選擇題部分(共50分)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給也的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的。

(1)若「={%,<1},。{X上>1},貝!]

A.P^QB.Q^PC.CRP=QD.Q=CRP

(2)若復(fù)數(shù)z=l+i,i為虛數(shù)單位，則(l+i>z=

A.l+3iB.3+3iC.3—iD.3

x+2y-5>0,

(3)若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組[2%+>-720,則3/書的最小值是

x>0,y>0,

A.13B.15C.20D.28

(4)若直線/不平行于平面。，且/任。，則

A.Q內(nèi)的所有直線與異面B.。內(nèi)不存在與/平行的直線

C.。內(nèi)存在唯一的直線與/平行D.〃內(nèi)的直線與/都相交

(5)在A4BC中，角所對(duì)的邊分.若QCOSA=〃sin3,則sinAcosA+cos?8=

11

A.--B.—C.-1D.1

22

(6)若。3為實(shí)數(shù)，則"0<ab<l”是“b<L，的

a

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

(7)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是

(8)從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中任取3個(gè)球，則所取的3個(gè)球中至少有1個(gè)白球的概率是

222

(9)已知橢圓G：5+方=1(a>b>0)與雙曲線。2：》2-3=1有公共的焦點(diǎn)，C2的一條漸近

線與以Ci的長軸為直徑的圓相交于A,8兩點(diǎn).若Ci恰好將線段A8三等分，則

131

A.a2=—B.a2=13C.b2=-D.b2=2

22

(10)設(shè)函數(shù)/1(x)=or2+hx+c(a,8,ceH),若x=-l為函數(shù)/(x)/的一個(gè)極值點(diǎn)，則下列圖

象不可能為y=/(x)的圖象是

非選擇題部分(共100分)

二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。

4

(11)設(shè)函數(shù)左-無)=——，若/(。)=2,則實(shí)數(shù)0=

1+x

(12)若直線x—2y+5=0與直線2x+沖—6=0互相垂直，則實(shí)數(shù)機(jī)=

(13)某小學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200名

學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖(如圖)。根據(jù)頻率分布直方圖推測

3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的學(xué)生數(shù)是

(14)某程序框圖如圖所示，則該程序運(yùn)行后輸出的攵的值是

(15)若平面向量a、P滿足冏=1|尸<1],且以向量a、p為鄰邊的平行

四邊形的面積為:，則a和p的夾角0的取值范圍是

_____________________________O

(16)若實(shí)數(shù)滿足f+V+砂=1,則x+y的最大值是

O

(17)若數(shù)列｛“(n+4)(g).｝中的最大項(xiàng)是第女項(xiàng)，則

k=e

三、解答題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

TT

(18)(本題滿分14分)已知函數(shù)/(x)=Asin(yx+^?),xe/?,A>(),

(第14題)

0<^<|TT.y=/(x)的部分圖像，如圖所示，P、。分別為該圖

像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,A).

(I)求f｛x｝的最小正周期及9的值；

27r

(H)若點(diǎn)R的坐標(biāo)為(1,0),NPRQ=r，求A的

值.

(19)(本題滿分14分)已知公差不為0的等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為a(aeR),且成

qa,a4

等比數(shù)列.

(I)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(II)對(duì)〃EN,試比較---1---H---+...H---與—的大小.

a2a；a；ax

(20)(本題滿分14分)如圖，在三棱錐尸—ABC中，AB=4C,。為BC的中點(diǎn)，POmABC,

垂足。落在線段AO上.

(I)證明：AP1BC；太

(II)己知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.求二面角

8-AP—C的大小./：\\

(21)(本小題滿分15分)設(shè)函數(shù)/(x)=a2lnx-x2+ax,a>0

(I)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)求所有實(shí)數(shù)a,使e—1W/0)《02對(duì)》6[1,6]恒成立.

注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(22)(本小題滿分15分)如圖，設(shè)P是拋物線G：上的動(dòng)點(diǎn)。

過點(diǎn)「做圓。2：/+(>+3)2=1的兩條切線，交直線/：y=一3于

A8兩點(diǎn)。

(I)求G的圓心M到拋物線G準(zhǔn)線的距離。

(II)是否存在點(diǎn)尸，使線段A3被拋物線￡在點(diǎn)P處得切線平分，

若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

參考答案

一、選擇題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題5分，滿分50分。

1—5CAABD6—10DBDCD

二、填空題：本題考查基本知識(shí)和基本運(yùn)算。每小題4分，滿分28分。

萬5萬、2A/3

11.-112.113.60014.515.f—,——16.二一17.4

663

三、解答題：本大題共5小題，其72分。

（1）本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)。滿分14分。

（I）解：由題意得，T=—=6.

71

T

JT

因?yàn)槭?A）在y=Asin（彳龍+夕）的圖象上,

7T

所以sin（w，+°）=1.

TT

又因?yàn)?＜。＜5，

所以9=工

6

（II）解：設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（七,—A）

由題意可知+5=與，得面=4,所以Q(4,—A)

362

r\

連接PQ,在APRQ中,NPRQ=T，由余弦定理得

八Rp2+RQ2~pQ2A2+9+A2-(9+4A2)1

cosZ-PKQ=-----------------=-----------/-----=——.

2RPRQ2A.歷不2

解得A?=3.

又A＞0,月〒以A=G.

（19）本題主要考查等差、等比數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)

考查運(yùn)算求解能力及推理論證能力。滿分14分。

（I）解：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,由題意可知（Ly=—?—

1

即(4+d)2=4(4+3d),從而=

因?yàn)閐w0,所以。=a}=a.

故通項(xiàng)公式q?=加.

(H)解：記7；二」-+」一++」-,因?yàn)?,=2%

。242%

所以小拈+?+9?。?工”一夕］

2

從而，當(dāng)”>()時(shí)，?；,<—；當(dāng)。<0時(shí),7；

q%

(20)本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力

和推理論證能力。滿分14分。

(I)證明：由AB=AC,D是BC中點(diǎn)，得AO_L8C,

又PO_1_平面ABC,,得PO1.BC

因?yàn)镻OcAD=O,所以平面PAD,故3CLPA

(II)解：如圖，在平面PAB內(nèi)作8W_LPA于M,連CM。

因?yàn)锽C_L94,得A4_L平面BMC,所以AP_LCM。

故NBMC為二面角B-AP-C的平面角。

在RfAADB中,AB2=AD2+BD2=41,得AB=歷

在Rt/\POD\',PD2=PO-+OD2,

在RtAPDB中，PB2=PD2+BD2,

所以PB?=PO2+00^+BD2=36,得PB=6.

在向APOA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5.

222

P“DAPA+PB-AB1m/DD.2及

又cosZBPA=-----------------=—,從而sinNBPA=--------

2PAPB33

故BM=PBsinNBPA=472

同理GM=4，5.

因?yàn)锽M2+MC2=BC2

所以N8MC=90。

即二面角B—AP—C的大小為90°.

(21)本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查抽象概括、推

理論證能力。滿分15分。

(I)解：因?yàn)?(x)=〃Inx—V其中無>。

、a2(x-a)(2x+a)

所以/(x)=----2x+a=---------------

XX

由于。>0,所以/(x)的增區(qū)間為(0,a),減區(qū)間為(a,+8)

(II)證明：由題意得，/(l)=a—lNc—1,即aNc

由(I)知/(x)在［l,e］內(nèi)單調(diào)遞增，

要使e-1W/(x)<€T^\xefl,e］恒成立,

□J/⑴=a—lNe-l,

八要<,7、22/2

j(e)=a-e~+ae<e~

解得a=e.

(22)本題主要考查拋物線幾何性質(zhì)，直線與拋物線、直線與圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的

基本思想方法和運(yùn)算求解能力。滿分15分。

(I)解：因?yàn)閽佄锞€Ci的準(zhǔn)線方程為：j=

4

所以圓心M到拋物線C,準(zhǔn)線的距離為：|一！—(—3)|=—.

44

(H)解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(工,片)，拋物線Ci在點(diǎn)P處的切線交直線/于點(diǎn)D。

再設(shè)A,B,D的橫坐標(biāo)分別為4,/，匕

過點(diǎn)尸(飛,片)的拋物線G的切線方程為：

y一片=2%)(%-/)(1)

當(dāng)5=1時(shí)，過點(diǎn)P(1,1)與圓C2的切線PA為：y-l=^(x-l)

O

17

可得=--，^?=1，%)=T，XA+4#23)

當(dāng)尤0=—1時(shí)，過點(diǎn)P(—1，1)與圓Q的切線PA為：y—l=號(hào)(x-l)