2023年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)《圓中的定值問(wèn)題》解答題專(zhuān)題訓(xùn)練

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)《圓中的定值問(wèn)題》解答題專(zhuān)題訓(xùn)練(附答案)

1.如圖AABC.

(1)用尺規(guī)作出AABC的外接圓(不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡).

(2)如果NC=30°,AB=AC=3.直接寫(xiě)出△ABC外接圓的半徑=.

2.如圖，在以AB為直徑的半圓中，將弧BC沿弦BC折疊交AB于點(diǎn)D,若AD=5,DB

=7.

(1)求BC的長(zhǎng)；

(2)求圓心到BC的距離.

3.如圖，四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，BD是直徑，AB=AD,過(guò)點(diǎn)A作AE^BC于

點(diǎn)E,AF_LCD于點(diǎn)F.

(1)求證：BE=DF;

(2)若BC=3,DC=5,求AC的長(zhǎng).

4.如圖，在半徑為3cm的中，A、B、C三點(diǎn)在圓上，點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始以圖m/s的速

度在劣弧BC上運(yùn)動(dòng)，且運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位：s),若NBOA=90°,ZAOC=120°,z

BOP=n°.

(1)NBOC=°,劣弧BPC的長(zhǎng)為,劣弧BP的長(zhǎng)為(用含t

的代數(shù)式表示)；

(2)n與t之間的函數(shù)關(guān)系式為,t的取值范圍為；

(3)是探究當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少s時(shí)，以P,B,A三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，并

說(shuō)明其理由.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，圓心P(x,y)的動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m,2m+4)(m>-2),

為

且與x軸相切于點(diǎn)B,y與x之間存在一種確定的函數(shù)關(guān)系，其圖象是一條常見(jiàn)的曲線(xiàn),

②當(dāng)m=-1,x=-2時(shí)，直建寫(xiě)出OP的半徑.

(2)求曲線(xiàn)F最低點(diǎn)的坐標(biāo)(用含有m的式子表示);

⑶如圖2,若曲線(xiàn)F最低點(diǎn)總在直線(xiàn)y=x+3的下方，點(diǎn)C(-2,yi),D(1,y2)

都在曲線(xiàn)F上，試比較yi與y2的大小.

6.問(wèn)題提出

(1)如圖1.B^zACB=zADB=90°,請(qǐng)用尺規(guī)作圖作出△ABD的外接圓(保留作

圖痕跡，不寫(xiě)作法)；點(diǎn)C是否在《ABD的外接圓上(填"是"或"否").

問(wèn)題探究

(2)如圖2.四邊形ADBC是。。的內(nèi)接四邊形，zACB=zADB=90°,AD=BD.求

證：CA+CB=V2|CD;

(3)如圖3.點(diǎn)P是正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是平面上一點(diǎn)，EB=AB且

EA科BA.點(diǎn)Q是線(xiàn)段AE的中點(diǎn),請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)E,并求線(xiàn)段PQ與AB之間的數(shù)

量關(guān)系.

7.如圖RbABC中，NABC=90°,P是斜邊AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為直徑作交BC

于點(diǎn)D,與AC的另一個(gè)交點(diǎn)E,連接DE.

(1)當(dāng)必承，

①若麗=130°,求NC的度數(shù);

②求證AB=AP;

(2)當(dāng)AB=15,BC=20時(shí)

①是否存在點(diǎn)P,使得ABDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的CP的長(zhǎng)；

②以D為端點(diǎn)過(guò)P作射線(xiàn)DH，作點(diǎn)O關(guān)于DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q恰好落在NCPH內(nèi)，則CP

的取值范圍為.(直接寫(xiě)出結(jié)果)

8.問(wèn)題提出

(1)如圖1,在RfABC中，zACB=90°,AC>BC,zACB的平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)D.過(guò)

點(diǎn)D分別作DE±AC,DF±BC.垂足分別為E,F,則圖1中與線(xiàn)段CE相等的線(xiàn)段

是?

問(wèn)題探究

⑵如圖2,AB是半圓。的直徑，AB=8.P是斑一點(diǎn)，且屬F2血連接AP,BP.z

APB的平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C分別作CEJ_AP,CF±BP,垂足分別為E,F,槌

段CF的長(zhǎng).

問(wèn)題解決

⑶如圖3,是某公園內(nèi)"少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)示意圖.已知O0的直徑AB=70m,

點(diǎn)C在上，且CA=CB.P為AB上一點(diǎn)，連接CP并延長(zhǎng)，交。0于點(diǎn)D.連接AD,

BD.過(guò)點(diǎn)P分別作PE±AD,PF±BD,垂足分別為E,F.按設(shè)計(jì)要求，四邊形PEDF

內(nèi)部為室內(nèi)活動(dòng)區(qū)，陰影部分是戶(hù)外活動(dòng)區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū).設(shè)AP的長(zhǎng)為x(m),

陰影部分的面積為y(m2).

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

劭安照"少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)AP的長(zhǎng)度為30m時(shí)，整體布局比較合理.試

求當(dāng)AP=30m時(shí).室內(nèi)活動(dòng)區(qū)(四邊形PEDF)的面積.

9.定義：有且僅有一組對(duì)角相等的凸四邊形叫做"準(zhǔn)平行四邊形".例如：凸四邊形ABCD

中，若NA=NC,NBHND,則稱(chēng)四邊形ABCD為準(zhǔn)平行四邊形.

Q)如圖①，A,P,B,C是上的四個(gè)點(diǎn)，NAPC=NCPB=60°,延長(zhǎng)BP到Q,

使AQ=AP.求證：四邊形AQBC是準(zhǔn)平行四邊形；

(2)如圖②，準(zhǔn)平行四邊形ABCD內(nèi)接于。0.ABXAD,BC=DC,若。。的半徑為5,

AB=6,求AC的長(zhǎng)；>

(3)如圖③，在RfABC中，zC=90°,zA=30°,BC=2,若四邊形ABCD是準(zhǔn)

平行四邊形，且NBCD*NBAD,請(qǐng)直接寫(xiě)出BD長(zhǎng)的最大值.

10.如圖，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,點(diǎn)P磔段AD上，由點(diǎn)D向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，停止運(yùn)動(dòng).以點(diǎn)P為圓心，PD為半徑作。P,OP與AD交于點(diǎn)M

點(diǎn)Q在OP上且在矩形ABCD外，NQPD=120°

Q)當(dāng)PD=2時(shí)PC=扇形QPD的面積=點(diǎn)C到OP的最短距

一

而一/?

(2)OP與AC相切時(shí)求PC的長(zhǎng)？

⑶如圖G)P與AC交于點(diǎn)E、F當(dāng)EF=6.4時(shí)，求PD的長(zhǎng)？

(4)請(qǐng)從下面兩問(wèn)中，任選一道進(jìn)行作答.

①當(dāng)OP與AABC有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出PD的取值范圍；

②直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)以及BQ的最短距離.

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)B是x軸正半軸上一點(diǎn)，連接

AB,過(guò)點(diǎn)A作AC±AB,交x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D是點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接BD,以

AD為直徑作。Q交BD于點(diǎn)E,連接并延長(zhǎng)AE交x軸于點(diǎn)F,連接DF.

(1)求線(xiàn)段AE的長(zhǎng)；

(2)若AB-B0=2,求tanzAFC的值；

(3)若ADEF與"EB相似，求EF的值.

12.已知四邊形ABCD為。0的內(nèi)接四邊形，直徑AC與對(duì)角線(xiàn)BD相交于點(diǎn)E,作CH

BD于H,CH與過(guò)A點(diǎn)的直線(xiàn)相交于點(diǎn)F,zFAD=zABD.

⑴求證：AF為。。的切線(xiàn)；

(2)若BD平分NABC,求證：DA=DC;

(3)在(2)的條件下，N為AF的中點(diǎn)，連接EN,若NAED+NAEN=135°,的

半徑為逛求EN的長(zhǎng).

13.發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：⑴如圖1,AB為OO的直徑，請(qǐng)?jiān)谏锨笞饕稽c(diǎn)P,使NABP=45°.(不

必寫(xiě)作法)

問(wèn)題探究：(2)如圖2,等腰直角三角形△ABC中，NA=90°,AB=AC=3'月1D是

AB上一點(diǎn)，AD=返，在BC邊上是否存在點(diǎn)P,使NAPD=45°?若存在，求出BP

的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

問(wèn)題解決：⑶如圖3,為矩形足球場(chǎng)的示意圖，其中寬AB=66米、球門(mén)EF=8米，且

EB=FA.點(diǎn)P、Q分別為BC、AD上的點(diǎn)，BP=7米，NBPQ=135°,一位左前鋒球員

從點(diǎn)P處帶球，沿PQ方向跑動(dòng)，球員在PQ上的何處才能使射門(mén)角度(NEMF)最大？

求出此時(shí)PM的長(zhǎng)度.

14.如圖1,。。的弦BC=6,A為BC所對(duì)優(yōu)弧上T點(diǎn)且sinzBAC圖,SBC的外角

平分線(xiàn)AP交于點(diǎn)P,直線(xiàn)AP與直線(xiàn)BC交于點(diǎn)E.

(1)求證：點(diǎn)P為歷命中點(diǎn);

(2)如圖2,求。。的半徑和PC的長(zhǎng)；

(3)若AABC不是銳角三角形，求PA?AE的最大值.

V*

15.定義：圓心在三角形的一條邊上，并與三角形的其中一邊所在直線(xiàn)相切的圓稱(chēng)為這個(gè)三

角形的切圓，相切的邊稱(chēng)為這個(gè)圓的切邊.

(1)如圖1,AABC中，AB=CB,NA=30。，點(diǎn)。在A(yíng)C邊上，以O(shè)C為半徑的。O

恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,求證：OO是△ABC的切圓.

⑵如圖2,AABC中，AB=AC=5,BC=6,。。是△ABC的切圓，且另外兩條邊都

是OO的切邊，求00的半徑.

(3)如圖3,&ABC中，以AB為直徑的。0恰好是SBC的切圓，AC是00的切邊，

與BC交于點(diǎn)F,取弧BF的中點(diǎn)D,連接AD交BC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)E作EH±AB于

點(diǎn)H,若CF=8,BF=10,求AC和EH的長(zhǎng).

16.如圖1,已知。。的內(nèi)接四邊形ABCD,ABllCD,BCllAD,AB=6,BC=8.

(1)求證：四邊形ABCD為矩形.

(2)如圖2,E是鼻一點(diǎn)，連接CE交AD于點(diǎn)F,連接AC.

①當(dāng)點(diǎn)D曷畫(huà)中點(diǎn)時(shí)，求線(xiàn)段DF的長(zhǎng)度.

②當(dāng)16S.DCF=3S四邊形ABCD時(shí)，試證明點(diǎn)E為&工卜中點(diǎn).

(3)如圖3,點(diǎn)E是上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與A、C重合)，連接EA、EC、0E,點(diǎn)I是

△AEC的內(nèi)心,點(diǎn)M在線(xiàn)段0E上，且ME=2M0,則線(xiàn)段MI的最小值為.

17.問(wèn)題探究

⑴如圖1,C,D是NAOB的邊0A上兩點(diǎn)，直線(xiàn)0B與相切于點(diǎn)P,點(diǎn)P1是直線(xiàn)

0B上異于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫(huà)出NCP1D,試判斷NCPD與NCPID的大小

關(guān)系，并證明；

(2)如圖2,已知矩形ABCD中，點(diǎn)M在邊BC上，點(diǎn)E在邊AB上，AB=8,AE=6,

當(dāng)NAME最大時(shí)，請(qǐng)求出此時(shí)BM的長(zhǎng)；

問(wèn)題解決

(3)如圖3,四邊形ABCD是某車(chē)間的平面示意圖，AB=41%,AD=3百米，NA

=ND=60°,NBCD=90°,工作人員想在線(xiàn)段AD上選一點(diǎn)M安裝監(jiān)控裝置，用來(lái)

監(jiān)視邊BC,現(xiàn)只要使得NBMC最大，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達(dá)到最佳.問(wèn)在線(xiàn)段AD

上是否存在點(diǎn)M,使NBMC最大？若存在，請(qǐng)求出DM的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.已知。0的直徑AB為10,D為。。上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、B重合)，連接AD、BD.

⑴如圖1,若AD=8,求BD的值；

(2)如圖2,弦DC平分NADB,過(guò)點(diǎn)A作AE±CD于點(diǎn)E,連接BE.

①當(dāng)ABDE為直角三角形時(shí)，求BE的值；

②在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，BE的值是否存在最小值？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的最小值;

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.【發(fā)現(xiàn)問(wèn)題】愛(ài)好數(shù)學(xué)的小明在做作業(yè)時(shí)碰到這樣的一道題目：

如圖①，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。0的半徑為1,點(diǎn)人(2,0).動(dòng)點(diǎn)B在。。上，連接AB,

作等邊三角形ABC(A,B,C為順時(shí)針順序)，求OC的最大值.

【解決問(wèn)題】小明經(jīng)過(guò)多次的嘗試與探索，終于得到解題思路：在圖①中，連接OB,以

OB為邊在OB的左側(cè)作等邊三角形BOE,連接AE.

(1)請(qǐng)你找出圖中與OC相等的線(xiàn)段，并說(shuō)明理由；

(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段OC的最大值.

【遷移拓展】

(3)如圖②，反=4也點(diǎn)D是以BC為直徑的半圓上不同于B、C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BD

為邊作等邊三角形ABD,請(qǐng)直接寫(xiě)出AC的最大值和最小值.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A(0,8),B(6,8),P為線(xiàn)段OA上f點(diǎn)，過(guò)O,P,

B三點(diǎn)的圓交x軸正半軸于點(diǎn)C,連結(jié)AB,PC,BC,設(shè)OP=m.

(1)求證：當(dāng)P與A重合時(shí)，四邊形POCB是矩形.

(2)連結(jié)PB,求tan/BPC的值.

(3)記該圓的圓心為M,連結(jié)OM,BM,當(dāng)四邊形POMB中有一組對(duì)邊平行時(shí),求所

有滿(mǎn)足條件的m的值.

(4)作點(diǎn)。關(guān)于PC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在點(diǎn)P的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)O'落在A(yíng)APB的

內(nèi)部(含邊界)時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出m的取值范圍.

參考答案

1.解：（1）如圖，。。即為所求.

（2）連接QA，0C.

*：AC=ABf

：.ZACB=ZB=30°,

???N40C=2/8=60°,

9

：0A=0Cf

???△AOC是等邊三角形，

.\OA=AC=3f

故答案為3.

2.解：（1）連接CA、CD；

根據(jù)折疊的性質(zhì)，得：施=施§;

/.ZCAB=ZCBD+ZBCD；

?：ZCDA=ZCBD+ZBCD（三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和），

：.ZCAD=ZCDA,即△CAD是等腰三角形；

過(guò)C作CELABTE,則AE=DE=2.5；

:.BE=BD+DE=95；

在RtZXACB中，CELAB,根據(jù)射影定理，得：

BC2=BE-AB=9.5X12=114；

故gc=h/Ti4-

（2）設(shè)圓心到BC的距離為h,圓的半徑為r—6,

由（1）知，RtAECfi中，BE=9.5,BC=

二比新（；2型2=314-9?52=^j，

...0hCt

.?圖

3.(1)證明：??,班)是直徑，

:.NBAD=/BCD=90°,

,.?AE_LBC于點(diǎn)E,AhLC。于點(diǎn)F,

AZE=ZAFC=ZAFD=90°,

???四邊形AEC尸是矩形，

：.ZEAF=90Q,

：.ZEAB=ZFAD,

9

：AB=ADf

：.AAEB^/^AFD(A4S),

:.BE=DF；

(2)解：'：BC=3,DC=5f

BD寸BC2<1D2|432+52卜迤J

.\AB=AD=容。也互

*/AAEB^AAFZ),

：.AE=AF,

AAE=4,

VZACB=ZADB=45°,

：.AC=4^E=^J2,

4.解：(1)???NBQA=90°,ZAOC=120Q,

???NBOC=3600-ZBOA-ZAOC=180°-90°120°=150°.

.??劣弧BPC的長(zhǎng)沏像手井

:點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始l|ZLcm/s的速度在劣弧8c上運(yùn)動(dòng)，

二劣弧BP的長(zhǎng)為：gf.

故答案是：150；

(2)'：ZBOP=n°,巴=匿1只整理得出：n=l2t,

叵I180

當(dāng)n=150°時(shí)，150°=12z,t=l2.5,故0WW12.5.

故答案是：”=12f；0WrW12.5；

(3)在△ABP中，以A8為腰時(shí)(如圖1),

■:/BPA=ZBAP=45°,

；.ZBOP=45°+45°=90°,

故"=90=123解得：t=1.5（秒），

以AB為底邊時(shí)（如圖2）,

；NBP4卷NBQA=45°,

:./BAP=675°,

：.NBOP=2X67.5°,

故135=12〃

解得：/=11.25（秒）.

綜合上述：當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)時(shí)間為7.5,11.25秒，△ABP為等腰三角形.

②如圖1,連接PA,

貝ijPA=PB,

'：m=-1,

/.A（-1,2）,

又*.*P(x,y),

/.(-1-x)2+(2-y)2=y2,

整理，得

當(dāng)x=-2時(shí)，y=^\f

3

，OP的半徑唱：

(2)?:P(x,y),A(機(jī)，2m+4),且PB=PA,

?\y2=(〃7-x)2+(2m+4-y)2,

整理，得y=?(x-m)2+團(tuán)+2,

二

???曲線(xiàn)F為拋物線(xiàn),

9：m>-2,

>0,

，拋物線(xiàn)y（x-tn）2+加+2的開(kāi)口向上,

，曲線(xiàn)/最低點(diǎn)的坐標(biāo)即頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m,相+2）；

（3）由（2）知，曲線(xiàn)尸最低點(diǎn)的坐標(biāo)為（加，〃?+2）,對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=m,

且曲線(xiàn)廠(chǎng)最低點(diǎn)總在直線(xiàn)y=」x+3的下方,

2.

z+3,

解得，/n＜2,

又-2,

/.-2<m<2,

?點(diǎn)C（-2,y,）,D（1,嵬）都在曲線(xiàn)尸上,

則當(dāng)對(duì)軸稱(chēng)為巾=衛(wèi)2

--時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)。關(guān)于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，則yi=y2；

2

當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸-2<m<時(shí)，由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，點(diǎn)C離對(duì)稱(chēng)軸更近，則X

2

〈九；

當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸-2＜?。?時(shí),由二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，點(diǎn)。離對(duì)稱(chēng)軸更近，則川＞九.

2

(1)作AB的垂直平分線(xiàn)交AB于點(diǎn)O,以。為圓心，A。長(zhǎng)為半徑作圓，即為△A3。

的外接圓，

VZACB=ZADB=90°,

...點(diǎn)A,點(diǎn)8,點(diǎn)。，點(diǎn)C四點(diǎn)共圓，

.?.點(diǎn)C在△AB。的外接圓上，

故答案為：是；<?

問(wèn)題探究

(2)如圖2,將△BCO繞點(diǎn)D,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△AEO處,

/.NEAD=ZDBC,

???四邊形4。8c是圓內(nèi)接四邊形,

/.ZDBC+Z￡)AC=180°,

：.ZEAD+ZDAC^\S0°,

:.E、A、C三點(diǎn)共線(xiàn)，

，NCAE為平角,

由旋轉(zhuǎn)知，AE=8C,DE=CD,NC￡）E=90°,

...△CCE是等腰直角三角形,

：.CE=返CD,

VCE=AE+AC=BC+AC,

CA+CB^JQ^D；

；以點(diǎn)8為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓，以點(diǎn)A為圓心，/AB長(zhǎng)為半徑作圓，兩圓的交點(diǎn)

為E,

.?.點(diǎn)A的左右各有個(gè)點(diǎn)E,

設(shè)AB=3x,則AE=x,

若點(diǎn)E在點(diǎn)A的左側(cè)，

"；BE=AB,點(diǎn)Q是AE的中點(diǎn)，。

：.BQLAE,AQ=EQ=^

:四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)尸是對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn),

：.AP=BP,APA,BP,

由（2）的結(jié)論可得：AQ+BQ=|&PQ,

???西0=圾'Lx

...22=田叵絲「

4

?Pn-V70-?V2

??改―----欣----AB'

若點(diǎn)E在點(diǎn)力的右側(cè),

同理可求：PQ=”二心AB.

12

7.(1)①解：連接BE,如圖1所示:

?.BP是直徑,

.-.zBEC=90°,

??-BD=130°,

，宛=50。，

-DP=EP,

.?.DE=100。，

/.zCBE=50°z

/.zC=40°;

②證明：DP=EP/

/.zCBP=/EBP,

?.zABE+zA=90°,zC+zA=90°f

.?./C=NABE,/ZAPB=ZCBP+ZC,zABPzEBP+zABE,

.,.zAPB=/ABP,

/.AP=AB;

(2)解:①由AB=15,BC=20,

由勾股定理得：2222

AC=|\/AB+BC=715+20=25,

*AC?BE,o

艮用X15x20專(zhuān)x25xBE

/.BE=12,

國(guó)妾DP,如圖1-1所示：

.BP是直徑,

/PDB=90。，

zABC=90°z

PDllAB,

ADCP-△BCA,

CP_CD

AC?CD

.-.CP=25CD=5p

BC20~4

△BDE是等腰三角形，分三種情況：

當(dāng)BD=BE時(shí)，BD=BE=12,

；.CD=BC-BD=20-12=8,

R.CP=￡CD=.8=10；

44

當(dāng)BD=ED時(shí)，可知點(diǎn)D是RtACBE斜邊的中線(xiàn),

；.CD=即=10,

當(dāng)DE=BE時(shí)，作EH_LBC,則H是BD中點(diǎn),EH〃AB,如圖1-2所示:

AE=|VAB2-BE2P|^152-122=9，

???CE=AC-AE=25-9=16,CH=BC-BH=20-BH,

?.,EH〃AB,

；?CD=BC-BD=20

ACP=士CD=助阻=7；

33[T

綜上所述，ABDE是等腰三角形，符合條件的CP的長(zhǎng)為10或圖7；

②當(dāng)點(diǎn)Q落在NCPH的邊PH上時(shí)，CP最小，如圖2所示:

連接OD、OQ、OE、QE、BE,

由對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：DE垂直平分0Q,

0D=QD,0E=QE,

VOD=0E,

0D=0E=QD=QE,

四邊形ODQE是菱形,

PQ〃0E,

VPB為直徑,

/.ZPDB=90°,

/.PD±BCz

?/zABC=90°z

??.ABJLBC,

/.PDllAB,

.,.OEllAB,

/OB=OPz

.-.OE為AABP中位線(xiàn),

/.PE=AE=9,

.PC=AC-PE-AE=25-9-9=7;

當(dāng)點(diǎn)Q落在NCPH的邊PC上時(shí)，CP最大，如圖3所示：

邇妾OD、OQ、OE、QD,

同理得：四邊形ODQE是菱形，

/.ODllQE,

連接DF,

./DBA=90。，

?.DF是直徑，

.?D、0、F三點(diǎn)共線(xiàn),

/.DFlIAQ,

.'.zOFB=zA,

/OB=OF,

/.zOFB=zOBF=/A,

「.PA=PB,

■.zOBF+zCBP=zA+zC=90°,

/.zCBP=zC,

.?.PB=PC=PA,

「.PC='C=12.5,

.-.7<CP<12.5,

故答案為：7<CP<12.5.

ffi1

8.解：⑴JNACB=90°,DE±AC,DF±BC,

.?四邊形CEDF是矩形,

/CD平分NACB,DE±AC,DF±BC,

DE=DF,

二.四邊形CEDF是正方形，

.-.CE=CF=DE=DF,

故答案為：CF、DE、DF;

(2)連接OP,如圖2所示：

.AB是半圓O的直徑，PB=2PA，

.-.zAPB=90°,zAOP=Jjx180°=60°,

可

.-.zABP=30°,

同(1)得：四邊形PECF是正方形，

..PF=CF,

在Rt^APB中，PB=AB?coszABP=8xcos30°=8x

在RfCFB中,PC-CFCF

tanNABPItanSO*

3

...PB=PF+BF,

:PB=CF+BF,

即：K3!=CF|^3CF/

解得：CF=6?2/3];

(3)①「AB為0。的直徑，

/.zACB=zADB=90°,

/CA=CB,

.'.zADC=zBDC,

同(1)得：四邊形DEPF是正方形，

..PE二PF,zAPE+zBPF=90。，zPEA=zPFB=90°z

.?.將"PE繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得到AA'PF,PA'=PA,如圖3所示:

則A'、F、B三點(diǎn)共線(xiàn)，NAPE=/A'PF,

??.NA'PF+NBPF=90。，即NA'PB=90°,

即7。-x),

「SPAE+S,PBF=S,PAB二

在Rt^ACB中，AC=

?SACB=當(dāng)(2=m(35&2=1225,

.*.y=S..PAB+SAACB=x)+1225=-+35x+1225

②當(dāng)AP=30時(shí),A'P=30,PB^AB-AP=70-30=40,

在RfA'PB中，由勾股定理得：A'B二痛P2+PB27302+402|=50,

■,-S.A.PB=—A'B-PF=工PB?A'P,

2]叵

.?.工x50xPF=-ix40x30,

22

解導(dǎo)：PF=24,

「?S四眺PEDF=PF2=242=576(m2),

???當(dāng)AP=30m時(shí).室內(nèi)活動(dòng)區(qū)(四邊形PEDF)的面積為576m2.

9.證B月：Q)「NAPC=ZCPB=60°,

且

/.zAPQ=60°rAQ=AP,

??.△APQ是等邊三角形，

/.zQ=60°=NQAP,

???四邊形APBC是圓內(nèi)接四邊形，

/.zQPA=zACB=60°z

*/zQ+zACB+zQAC+zQBC=360°,

/.zQAC+zQBC=240°;fizQAC=zQAP+zBAC+zPAB=120°+zPAB>120°,

.-.zQBC<120°,

.,.NQAC，NQBC,且NQPA二zACB=60°=zQ,

??四邊形AQBC是準(zhǔn)平行四邊形；

(2)如圖②，連接BD,

?.ABWAD,BC=DC,

「.NABDHNADB,zCBD=zCDB,

nABC/zADC.

.?四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，

/.zBAD=zBCD,

.?四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，

「.NBAD+NBCD=180。，zABC+zADC=180°,

.*.zBAD=zBCD=90。，

?.BD是直徑，

..BD=10,

??AD=1BD2-AB2=7100?36|二8，

將aABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到^CDH,

/.AB=DH=6,AC=CHzzACH=90°,zABC=zCDH,

/zABC+zADC=180°,

???/ADC+NCDH=180。，

.,點(diǎn)A,點(diǎn)D,點(diǎn)H三點(diǎn)魁，

/.AH=AD+DH=14,

.AC2+CH2=AH2,

/.2AC2=196

?.AC=7迎；

⑶如圖③，作AACD的外接圓。。，過(guò)點(diǎn)O作OE_1AC于E,ODBC于F,

/.zABC=60°,zABC=60°,AC=而Rc=2百

??四邊形ABCD是準(zhǔn)平行四邊形，且NBCD/NBAD,

/.zABC=zADC=60°,

/.zAOC=120°,且OE±ACzOA=OCx

/.zACO=zCAO=30。，CE=AE=返

.QE=1,CO=2OE=2,

/OE±AC,OF±BC,zECF=90°,

」?四邊形CFOE是矩形，

,-.CE=OF=OE=CF=1z

/.BF=BC+CF=3,

.-.BO=-\/BF2-K)F2Tg+3|=^7T,

?.?當(dāng)點(diǎn)D在BO的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，BD的長(zhǎng)有最大值，

二.BD長(zhǎng)的最大值=BO+OD=2立卜2.

10.解：⑴如圖1,連接PC,QP,PC交OP于T,?.矩形ABCD

.-.zADC=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,

22

在RfCDP中，由勾股定理得：PC=|^CD2+pD276+(2>/3)|=破，

?.zQPD=120°,PD=2|V3|

.。12。兀?(2近〉2

-b第枝PD—一策「|=4TT

CT=CP-PT=4\/3|-圾上加

古器為：4蟲(chóng)4n,2/3|；

(2)如圖2,OP與AC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)H,

連接PH,則PHLAC,

,?四邊形ABCD是矩形，

..NADC=90°,

在RfABC中，AB=6,BC=8,

/.AC=10,

在RbADC中，sinzDAC=目，

設(shè)OP均至為x,則PH=PD=x,AP=8-x,

在RbAHP中，sinzPAH=

AP8-x

.'.x=3,

在RfPDC中，CD=6,PD=3,

PC=VCD2可口2|=1^2+32卜3?

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)P作PH^AC,連接PF；

則NPHA=zADC=90°,

?.zPAH=zDAC,

△AHP-△ADC,

.APPHI

''ACCPI1

設(shè)€^￥@為*,貝!|PF=PD=x,AP=8-x,

(8-x),

在OP中，F(xiàn)H±AC,EF=6.4,

.-.HF=3.2,

在RtWHF中，仔(8-X))2+322=X2

??.x=4或x=-13(舍),

；.PD=4;

(4)①如圖4，作P'M±AC于M,作P"N±BC于N,

當(dāng)P'M=P'D時(shí)，OP，與AC相切，只有1個(gè)公共點(diǎn)，由(2)知，此時(shí)PD=3,

當(dāng)P"N=6時(shí)，OP"與△ABC有3個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)6<PN4PB時(shí)，OP與△ABC有3個(gè)公共點(diǎn)；PB2=AB2+AP2,AP2=(AD-PD)2

.-.62+(8-PD)2=PD2,解得：PD=信

綜上所述，PD的范圍為：3<PD<6^j<PD<8;

②如圖5,-.zQPD=120°,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，AQ=AD

.?點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是線(xiàn)段DQ,zDAQ=120°,zADQ=zAQD=30°,BQ的最短距

離是點(diǎn)B到直線(xiàn)CQ的距離；

過(guò)點(diǎn)B作BK_LCQ于K,BK交AD于S,過(guò)A作AJCQ于L,連接BD,AQ,

-.AL±CQ,

.-.zALD=zALQ=90°,°

-,AQ=AD,AL=AL

/.RtAADL些RtAAQL

???DL=QL,NDAL二zQAL=60°,

?=sinZDAL，即：DL=AD?sinzDAL=8sin60°=423

AD/

.-.DQ=2DL=8V3|

在RbBCD中，BD=|\/BC2+CD2=,\/82+62=10

設(shè)SD=m,則SK=H，AS=8-m

?.zASB=zDSK=90°-zADQ=90°-30°=60°,

.-.zABS=30°

..名tan/ABS,即8-m=6tan30°,解得：m=8-^3)

??.KS=1(8-20=4-返BS=2AS=4g|

.-.BK=KS+BS=4-1島4\/^|=3向+4

故點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是8通BQ的最短距離是3逅4.

11.解：⑴?.點(diǎn)A(0,4),

，AO=4,

.AD是OQ的直徑，

.-.zAEB=zAED=90°,

.-.zAEB=zAOB=90°,

vBA垂直平分CD,

..BC=BD

.-.zABO=zABE

fZAEB=ZAOB

在A(yíng)ABE和AABO中，ZABE=ZABO

AB=AB

.?.AABE*ABO(AAS)

.-.AE=AO=4;

(2)設(shè)BO=x,貝ijAB=x+2,

22

在RtZXABO中，由AO2+O32=A32得：42+x=(x+2),

解得：x=3,

：.0B=BE=3,AB=5f

'：ZEAB+ZABE=90Q,ZACB+ZABC=90°,

：.ZEAB=ZACB,

'：ZBFA=ZAFC,

,在8△BEP中，BE2+EF2=BF2,

???32+N2=^(4+x)產(chǎn)，

(3)①當(dāng)時(shí)，ZBAE=ZFDEt

：.ZADE=ZFDEf

：.BD垂直平分AT,

：.EF=AE=4；

②當(dāng)△DEFs△BEA時(shí)，ZABE=ZFDE,

：.AB//DFf

：.ZADF=NCAB=90°,

???。尸相切OQ,

J/DAE=NFDE,

設(shè)。。交y軸于點(diǎn)G,連接DG,作FHLDG于H,如圖所示:

則N/7)H=ND4G,四邊形OG”尸是矩形，

OG=FH,

,/AABE也△ABO,

：.ZOAB=NEAB,

9

：AB±ADf

：.ZDAE=ZCAO,

ZCAO=ZDAE,

：.ZDAE=ZDAEt

：.ZDAE=ZDAG=ZFDE=NFDH,

：.AG=AE=4f

：.EF=FH=0G=AO+AG=4+4=8,

綜上所述，若與△AEB相似，EF的值為4或8.

r.ZADC=90°,

：.ZDAC+ZDCA=90°.

??維他

/.ZABD=ZDCA,

9

：ZFAD=ZABDf

：.ZFAD=ZDCAf

：.ZFAD+ZDCA=9Q°,

ACA±AF,

???Ar為。。的切線(xiàn).

(2)證明：如圖2,連接OD,??@=園

ZABD=1.NA。。,

2|

VDC=DC，

：.ZDBC=—ZDOC,

2

"：BD平分ZABC,

：.ZABD^ZDBC,

：.ZDOA=ZDOC,

：.DA=DC.

⑶如圖3,連接。。交C尸于M,作EP_LA￡＞于P,

；AC為。。的直徑，

/.ZADC=90°.

9

：DA=DCf

：.DOLAC,

：.ZFAC=ZDOC=90°,

：.AF//OMf

*：AO=OCf

：.OM=—AF.

2

9：ZODE+ZDEO=W0,ZOCM+ZDEO=90°.

：.NODE=NOCM.

?：/DOE=/COM,OD=OC,

.?.△OOEg/XOCM,

???OE=OM,

設(shè)0M=m,

DP=2

：.AE=242\-m,AP=PE=2將j5，

VZAED+ZAEN=\35°,ZAED+ZADE=\35°,

?,./AEN=/ADE,

'：ZEAN=ZDPE,

：./\EAN^/\DPE,

13.解：(1)如圖所示：作AB的垂直平分線(xiàn)交0。于點(diǎn)P、P,則點(diǎn)P或P即為所求;

在A(yíng)ABC中

"ZBAC=9QQ,AB=AC=y^\,AD=^JQ\

：.ZB=ZC=45°,BO亞項(xiàng)，BC^/2\AB=6

：.ZBDP+ZBPD=\35°

"ZAPD=45°

AZAPC+ZBPD=135°

，NBDP=NAPC

：.4BPDs叢CAP

.BD_BP

?三B

設(shè)BP=x,則PC=6-x

普圈

解得XI=3楂,X2=34/3|

；.BP=3+4§|gBP=3-困:

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)E、尸作圓，與P。相切于點(diǎn)M',圓心為點(diǎn)。，連接FM',EM

此時(shí)NFM'E的度數(shù)最大.

圖3

理由：在。。上取一點(diǎn)G,連接FG并延長(zhǎng)交PQ于點(diǎn)M,連接AG,AM,

■:NFGE=NFM'E,NFGE>NFME,

：.ZFM'E>ZFME,

E的度數(shù)最大.

作線(xiàn)段EF的中垂線(xiàn)/,/經(jīng)過(guò)圓心O,且交EF于點(diǎn)N,交PQ于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)K作KH_L

BC于H.

設(shè)。。的半徑為r,

則OE=OM'=r,

：NBPQ=135°,

：.ZKPH=45°,

是等腰直角三角形，

：.PH=KH.

：AB=66,EF=8,

:.BN=33,EN=4,

:.PH=KH=33,

：.BH=33+7=40,

：.KN=40.

在等腰RtAOKM'中，

22

O7C=|7r4-r|472|r.

：.ON=NK-0K=40-V2|r.

在RtZXONE中，

42+（40-V2|r）2=凡

解得ri=40&|-1^/11,，2=4西*12回|（舍去），

:.PM，=PK-r=3^J|-4/^+12V13^127返

當(dāng)射門(mén)角度最大時(shí)，PM的長(zhǎng)度為（12|石1卜座）米.

14.(1)證明：①如圖1,連接PC,AB,

???AP平分N8AF,

：.ZBAP=ZPAFt

u：ZPAF+ZPAC=\SO0,

ZPAC+ZPBC=\SO°,

JZPAF=/PBC,

又/BAP=NPCB,

:./PBC=/PCB,

:.PB=PC,

???PBFPC，

...點(diǎn)P堀藩J中點(diǎn)；

(2)解：連接OB,OC,過(guò)。作OM_LBC于M,

；.0M垂直平分BC,

：.BM=CM='^BC=3,ZBOM^^ZBOC=ZBAC,

3

.人也/8?！?隅=春,

：.0B=5,

.??O。的半徑是5,

在RtZ\OMC中，?！ㄡ?/。。？-「J(q=4,

在RtZXPMC中，PM=0M+0P=9,

?■-PC=7P]I2^C2|=3GS:

(3)VZAC￡+ZBC4=ZBPE+ZBCA=lSOa,

：.ZACE=NBFE,

同理，NCAE=NPBC=NPAB,

：./\ACE^/\APB,

：.PA'AE^AC-AB,

如圖4,過(guò)C作CQ_LAB于Q,

?；sinNR4C=^4

：.CQ=AC-sinZBAC,

即如舟B.AC,

?'-SABC=

???PA?AE=愣S,ABC,

.□ABC非銳角三角形，且BC=6,

二當(dāng)A運(yùn)動(dòng)使NACB=90°時(shí),

△ABC面積最大，

在RfABC中，BC=6,AB=10,

--AC=7AB2-BC2|=8-

,?S.ABC=H(>AC=24,

」.蜘寸，PA?AE=80,

即PA-AE的最大值為80.

15.(1)證明：抽妾OB，如圖，

「AB=AC,zA=30°z

/.zA=zC=30°.

/.zCAB=180°-zA-zC=120°.

「OB二OC,

.-.zOBC=zC=30°.

/.zOBA=zCBA-zOBC=90°.

即OB±BA.

?.OB是圓的半徑，

「?AB與。。相切.

??圓心。在A(yíng)C邊上，

.-.OOBAABC的切圓；

(2)解：①當(dāng)圓心。在BC邊上，與AB,AC邊相切于點(diǎn)M,N時(shí),

謝妾OA,OM,ON,如圖，

.AB,AC是。。的切線(xiàn)，

QM_LAB,ON±AC,AO平分NBAC.

.AB=AC,

-.AO±BCzOB=OCj^)BC=3.

.AOXBO,OMJ_AB,

ABOM-△BAO.

.OB

'AB-OB'

.3.DM

,53|,

■嗯

；QM=H0B2_B產(chǎn)制;

②當(dāng)圓心。在A(yíng)C邊上，。。與AB,BC邊相切于點(diǎn)M,N時(shí),

邇妾OM,ON,B0,過(guò)點(diǎn)A作AH_LBC于點(diǎn)H,如圖，

?.AB,BC是。。的切線(xiàn),

.-.OM±AB,ON±BC.

?.AB=AC,AH±BC,

..BH=CH="C=3,

?-AH=7AB2-BH2|=4-

?■?W4XBC，AH=1~X6X4=12-

?S.ABC=S-ABO+S.CBO,

.-._LxAB?r+LUxBC?r=12.

I邁］

X6r=12-

?,喳.

綜上，。0的半徑為L(zhǎng)L或絲;

_5jnu

⑶解：連接AF,如圖，

「AB為。。的直徑，

.,.AF±BC.

???。0是AABC的切圓，AC是。。的切邊，

.-.AB±AC.

△ACF-△BAF.

,AFBFl

CPAF|

.AF10]

8AF]

..AF=4局.

2212

■■-AC=7CF*AF|='

AB=|^AF2-hRF2|=6|75.

?.'D是弧BF的中點(diǎn),

,.zFAD=zBAD.

.膽里睡二2

設(shè)FE=2k,則BE=3k,

'.BF=FE+BE=1O,

.-.2k+3k=10.

.?.k=2.

.-.EF=4,BE=6.

-.EH±AB,AC±AB,

/.EHIIAC.

.BEEHl°

,BC-AC'

.6二EH

"8-t-lO^12'

.-.EH=4.

16.(1)證明:如圖1,-.ABllCD,BCllAD,

二?四邊形ABCD是平行四邊形，

..zA=zC,

?.四邊形ABCD內(nèi)接于。O,

.-.zA+zC=180°,

.-.zA=zC=90°,

“ABCD是矩形；

(2)①解：?.點(diǎn)D乾的中點(diǎn)，