2023屆北京市順義區(qū)高三二模數學試題

2023屆北京市順義區(qū)高三二模數學試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據并集的運算，計算即可得出答案.【詳解】根據并集的運算可知，.故選：A.2．若圓與y軸交于A，B兩點，則（

）A．2 B．4 C． D．【答案】D【分析】直接聯(lián)立方程求A、B坐標即可.【詳解】聯(lián)立得，故A、B坐標為，即.故選：D3．下列函數中，既是偶函數又在區(qū)間上單調遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據函數的奇偶性和初等函數的圖象與性質，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A，函數的定義域為R，且滿足，所以其為偶函數，在上單調遞減，在上單調遞減，故A不符合題意；對于B，設，函數的定義域為R，且滿足，所以函數為偶函數，當時，為單調遞增函數，故B符合題意；對于C，函數的定義域為，不關于原點對稱，所以函數為非奇非偶函數，故C不符合題意；對于D，設，函數的定義域為，關于原點對稱，且滿足，所以函數為奇函數，又函數在上單調遞減，故D不符合題意.故選：B.4．已知拋物線的準線過雙曲線的一個焦點，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】求出拋物線的準線方程和雙曲線的焦點坐標，由條件列方程求.【詳解】拋物線的準線方程為，雙曲線的左焦點的坐標為，右焦點的坐標為，因為拋物線的準線過雙曲線的一個焦點，所以，所以，故選：C.5．已知函數，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函數的導數，判斷函數的單調性，結合函數值，作出函數的圖象，數形結合，即可求得答案.【詳解】由可得定義域為，則，且在上單調遞減，令，當時，，當時，，即在上單調遞增，在上單調遞減，當時，趨近于負無窮小，故，且，故可作出函數的圖象如圖：由此可知不等式的解集是，故選：C6．如圖，在矩形中，，點P為的中點，則（

）A．0 B．C． D．【答案】B【分析】利用向量的線性加減法法則運算與數量積公式運算即可求解.【詳解】\故選：B.7．在正方體中，點，分別是棱和線段上的動點，則滿足與垂直的直線（

）A．有且僅有1條 B．有且僅有2條 C．有且僅有3條 D．有無數條【答案】D【分析】過點作，垂足為，連接，當，高度一樣，即時，一定有，進而求解.【詳解】過點作，垂足為，連接，當，高度一樣，即時，一定有，理由如下：在正方體中，，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，且平面，所以，即.所以當，高度一樣，即時，一定有，此時滿足條件的直線有無數條.故選：D.8．在平面直角坐標系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關于軸對稱．若，則（

）A．1 B． C． D．0【答案】B【分析】根據已知條件及兩角差的余弦公式，結合二倍角的余弦公式即可求解.【詳解】因為，且角與角的終邊關于軸對稱，，.所以.故選：B.9．已知是無窮等差數列，其前項和為，則“為遞增數列”是“存在使得”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】解：因為是無窮等差數列，若為遞增數列，所以公差，令，解得，表示取整函數，所以存在正整數，有，故充分；設數列為5，3，1，-1，…，滿足，但，則數列是遞減數列，故不必要，故選：A10．2022年足球世界杯在卡塔爾舉行，32支參賽隊通過抽簽分為八個小組．每個小組分別有4支球隊，共打6場比賽，每支球隊都必須和同組其他3支球隊進行且只進行一場比賽．小組賽積分規(guī)則為：勝1場積3分，平1場積1分，負1場積0分，每個小組積分前兩名的球隊出線．若小組賽結束后，同一小組的甲、乙兩支球隊分別積6分和5分，則（

）A．甲、乙兩隊一定都出線 B．甲隊一定出線，乙隊可能未出線C．甲、乙兩隊都可能未出線 D．甲、乙兩支球隊至少有一支未出線【答案】A【分析】根據甲、乙兩支球隊的分數確定這兩支球隊的得分情況，再結合另外二隊的比賽情況分類討論進行判斷即可.【詳解】設同一組的另兩支球隊分別為丙、丁，因為每支球隊要進行三場比賽，甲、乙兩支球隊分別積6分和5分，所以甲球隊二勝一負，乙球隊一勝二平，顯然乙球與丙、丁兩支球隊平，勝甲，甲球隊勝丙、丁，此時丙丁兩隊一負一平，積分1分，若丙勝丁，最后丙得4分，丁得1分，若丙與丁平，最后丙丁都得2分，若丁勝丙，最后丙得1分，丁得4分，因為每個小組積分前兩名的球隊出線．所以甲、乙兩隊一定都出線，故選：A二、填空題11．已知復數,則_____．【答案】【分析】根據復數的計算及模長意義即可求出．【詳解】復數z，則|z|，故答案為．【點睛】本題主要考查復數的計算及模長意義，屬于基礎題．12．在的展開式中，的系數為_________．【答案】【分析】利用二項展開式求通項，再求對應項的系數即可.【詳解】設展開式中通項為：令，則.故答案為：三、雙空題13．設等比數列的公比為,其前n和為,且,則_________;_________．【答案】

【分析】由等比數列通項公式可求出從而求出,再代入等比數列前項和公式即可求出.【詳解】由,又因為,所以;所以；故答案為:8；.四、填空題14．能說明“若對任意的都成立，則在上單調遞增”為假命題的一個函數是_________．【答案】（答案不唯一）【分析】舉例，結合二次函數的性質，即可求解.【詳解】令，則對任意的都成立，但在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在上不是增函數.故答案為：.15．已知，均為正數，并且，給出下列四個結論：①中小于1的數最多只有一個；②中小于2的數最多只有兩個；③中最大的數不小于2022；④中最小的數不小于．其中所有正確結論的序號為_________．【答案】①②③【分析】對于①②③，用反證法可以證明；對于④，舉出反例說明其錯誤.【詳解】對于①,假設存在兩個小于1的正數,不妨設,則,則,這與矛盾,故中小于1的數最多只有一個,①正確;對于②,假設存在3個小于2的正數,不妨設,則,則，這與矛盾,故中小于2的數最多只有兩個,②正確;對于③,假設,則,則與矛盾,故中最大的數不小于2022,③正確;對于④,不妨假設中最小數為,取,則取,則,即說明中最小的數可以小于,④錯誤,故答案為:①②③【點睛】方法點睛：對于關于最多或最少類命題的解決方法，一般可采用反證法；對于多個數中的最大數或最小數的范圍判斷問題，可以用反證法說明反面不成立，證明原命題成立，也可以舉反例說明命題不成立.五、解答題16．在中，．(1)求b；(2)在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求的面積．條件①：；條件②：邊上中線的長為；條件③：．注：如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據正弦定理邊角互化即可求解，（2）根據題目要求可知只能選擇條件②或③，根據余弦定理求解，即可根據三角函數的性質求解正弦，進而由面積公式即可求解.【詳解】（1）因為，在△中，由正弦定理，可得：，又因為，所以.（2）選擇條件①；由，，以及余弦定理得，該方程無解，故此時三角形不存在，故不能選擇條件①選擇條件②設邊上的中線為，則，，在△中，由余弦定理得：，因為，，所以，所以△的面積為.選擇條件③方法1：由題設，因為，所以，因為，所以因為，所以，所以，由余弦定理可得：，整理得，解得（舍），因為，，所以，所以△的面積為.方法2：由題設，因為，所以，因為，所以在△中，因為，所以，即，所以，所以，因為，，所以，所以，所以，因為，所以，所以△的面積為.方法3：因為且，所以或，因為，所以，又因為，所以即，所以△為等腰三角形，設邊上的高為，則，由勾股定理，所以△的面積為.17．如圖，在長方體中，，，E是的中點，平面與棱相交于點F．(1)求證：點F為的中點；(2)若點G為棱上一點，且，求點G到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）方法1：利用面面平行的性質可得，由已知條件可證，進而利用中位線證明即可；方法2：由已知條件可證，根據線面平行的判定定理可證平面，再利用線面平行的性質證明，最后利用中位線證明即可；（2）方法1：建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，根據垂直關系的數量積坐標運算得到G點坐標，利用點到平面的向量坐標運算公式求解即可；方法2：連接，利用線面垂直的判定定理可證平面，根據線面垂直的性質可得，利用垂直關系可得，進而求出，求出各邊長度，利用余弦定理求出，根據三角形面積公式求出，，利用等體積法和三棱錐的體積公式即可求解.【詳解】（1）證明：方法1：因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，連接，因為，，所以四邊形是平行四邊形.所以，.因為是的中點，所以點為的中點.方法2：連接.因為，，所以四邊形是平行四邊形.所以因為平面，平面，所以平面，因為平面ACE，平面平面，所以.所以.因為是的中點，所以點為的中點.（2）方法1：因為，，兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，所以，，設平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，設，則，由，得，即，所以，則，所以點到平面的距離.方法2：連接，因為平面，所以，因為，，平面，所以平面，又平面，所以.在平面內，由，可得，由勾股定理求出，，，在中由余弦定理得，則，，，設點到平面的距離為d，由，得，所以點到平面的距離為.18．精彩紛呈的春節(jié)檔電影豐富了人們的節(jié)日文化生活，春節(jié)小長假期間大批觀眾走進電影院．某電影院統(tǒng)計了2023年正月初一放映的四部影片的上座率，整理得到如下數據：影片排片場次上座率（％）A1236

42

45

50

57

62

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94B1035

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95C935

38

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85D934

37

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84(1)從以上所有排片場次中隨機選取1場，求該場的上座率大于70%的概率；(2)假設每場影片的上座率相互獨立．從影片A，B，C的以上排片場次中各隨機抽取1場，求這3場中至少有2場上座率大于70%的概率；(3)將影片C和影片D在該電影院正月初一的上座率的方差分別記為和，試比較和的大?。ńY論不要求證明）【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)找出所有場次中的上座率大于70%的場次除以樣本總數即可.(2)從影片A，B，C的以上排片場次中各隨機抽取1場，求出每場的上座率大于70%的概率，用相互獨立事件的乘法計算公式計算即可.(3)觀察影片C和影片D在該電影院正月初一的上座率的波動性，即可比較大小.【詳解】（1）記“從以上所有排片場次中隨機選取1場，該場的上座率大于70%”為事件.影片A，B，C，D的上座率大于70%的場數共有5+4+3+3=15，所以.-（2）記“從影片A，B，C的以上排片場次中各隨機抽取1場，每場的上座率大于70%”分別為事件.其中，，;這3場中至少有2場上座率大于70%的概率為.（3）設影片C和影片D在該電影院正月初一的上座率的均值為；；；，故.19．已知函數．(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數在上的最大值和最小值；(3)設，證明：對任意的，有．【答案】(1)y=1(2)最小值1，最大值.(3)證明見解析【分析】（1）先求出在處的導數，再根據點斜式直線方程求解；（2）求導，判斷導數的符號，求出的單調性，根據單調性求解；（3）運用同構的思想構造函數，根據單調性證明.【詳解】（1），，在點處的切線方程為.（2），是偶函數，則，單調遞增，，

，

在上單調遞減，在上單調遞增，∴當時，取最小值1，當或時，取最大值.（3）要證明對任意的，有，只需證明對任意的，有，，，在上上單調遞減，，.20．已知橢圓過點和，且．(1)求橢圓的方程；(2)過點斜率為的直線交橢圓于，直線分別交直線于點．若，求的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）由題意可得的值，即可得橢圓方程；（2）設直線的方程為，設，，與橢圓聯(lián)立得交點坐標關系，從而可得兩點的橫坐標，由可得，進行坐標運算即可得的值．【詳解】（1）由題意可知：所以橢圓C的方程為.（2）直線的方程為，設，，直線與橢圓方程聯(lián)立可得：，消去可得：，則.直線的方程為：，令可得，直線的方程為：，令可得.，法一：易知與異號法二：

【點睛】，，然后由得，利用坐標關系化簡，得到所要求的等量關系．考查了學生的運算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題．21．已知實數集，定義．(1)若，求；(2)若，求集合A；(3)若A中的元素個數為9，求的元素個數的最小值．【答案】(1)(2)或者.(3)13【分析】（1）根據集合的新定義直接求解即可；（2）根據可得，然后分中4個非零元素，符號為一負三正或者一正三負進行討論即可；（3）分中沒有負數和中至少有一個負數兩種情況進行討論即可求解.【詳解】（1）;（2）首先，；其次中有4個非零元素，符號為一負三正或者一正三負.記，不妨設或者--①當時，，相乘可知