2023屆天津市河?xùn)|區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題

2023屆天津市河?xùn)|區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：集合，而，所以，故選C.【解析】集合的運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算問(wèn)題，應(yīng)先把集合化簡(jiǎn)再計(jì)算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進(jìn)行處理.2．設(shè),則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】求解絕對(duì)值不等式結(jié)合充分必要條件的判定方法得答案．【詳解】解：由，得，解得．“”是“”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判定方法，考查絕對(duì)值不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．3．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AC，取特殊值可排除B.【詳解】因?yàn)槎x域?yàn)?，函?shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A，C；當(dāng)時(shí)，，對(duì)應(yīng)點(diǎn)在軸下方，排除B.故選：D.4．為研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：）的分組區(qū)間為，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，…，第五組，右圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒(méi)有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（

）A．8 B．12 C．16 D．18【答案】B【分析】結(jié)合已知條件和頻率分布直方圖求出志愿者的總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求出第三組的總?cè)藬?shù)，從而可以求得結(jié)果.【詳解】志愿者的總?cè)藬?shù)為＝50，所以第三組人數(shù)為50×0.36＝18，有療效的人數(shù)為18－6＝12．故選：B.5．已知奇函數(shù)在上是增函數(shù)，若，，，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意：，且：，據(jù)此：，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有：，即.本題選擇C選項(xiàng).【解析】指數(shù)、對(duì)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性【名師點(diǎn)睛】比較大小是高考常見(jiàn)題，指數(shù)式、對(duì)數(shù)式的比較大小要結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，借助指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小，特別是靈活利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合不僅能比較大小，還可以解不等式.6．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，則此球的表面積等于（

）A．8π B．9π C．10π D．11π【答案】A【分析】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°可得三角形ABC的面積及外接圓的半徑，再由三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是過(guò)底面外接圓的圓心作垂直于底面的直線(xiàn)與中截面的交點(diǎn)，可得外接球的半徑，進(jìn)而求出外接球的表面積．【詳解】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得：BC，∴，∠ACB＝90°，∴底面外接圓的圓心在斜邊AB的中點(diǎn)，設(shè)三角形ABC的外接圓的半徑為r，則r1，又，所以V柱＝S△ABC?AA1，所以可得AA1＝2，因?yàn)槿庵鵄BC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是過(guò)底面外接圓的圓心作垂直于底面的直線(xiàn)與中截面的交點(diǎn)，設(shè)外接球的半徑為R，則R2＝r2+（）2＝12+12＝2，所以外接球的表面積S＝4πR2＝4π×2＝8π，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三棱柱的體積及三棱柱的棱長(zhǎng)與外接球的半徑之間的關(guān)系，以及球的表面積公式，屬于中檔題．7．已知函數(shù)的圖像與軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，則是減函數(shù)的區(qū)間為．A． B． C． D．【答案】D【解析】先化簡(jiǎn)函數(shù)得，再由圖象與軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于得，，，再寫(xiě)出平移后的，求出單調(diào)遞減區(qū)間判斷即可.【詳解】解：因?yàn)閳D象與軸的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于所以，所以所以由得所以是減函數(shù)的區(qū)間為分析選項(xiàng)只有D符合故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，三角函數(shù)的變換，屬于基礎(chǔ)題.8．已知雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，以為直徑的圓與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)交于不同原點(diǎn)的兩點(diǎn)，若四邊形的面積為，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到的一條漸近線(xiàn)的距離為，所以，進(jìn)而，四邊形面積為，由可化簡(jiǎn)得，寫(xiě)出漸近線(xiàn)方程即可.【詳解】根據(jù)題意，，雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到的一條漸近線(xiàn)的距離為，則，所以，所以，所以，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，漸近線(xiàn)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，屬于難題.9．已知函數(shù)（，且）在上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是A． B．[，] C．[，]{} D．[，）{}【答案】C【詳解】試題分析：由在上單調(diào)遞減可知，由方程恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，可知，，又時(shí)，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)相切，也符合題意，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選C.【解析】函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用【名師點(diǎn)睛】已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．二、填空題10．是虛數(shù)單位，數(shù)，則______．【答案】/【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】，所以，故答案為:.11．在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是____________.【答案】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式展開(kāi)式通項(xiàng)，確定含項(xiàng)的值，代入通項(xiàng)公式求系數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，展開(kāi)式通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，,∴的系數(shù)是.故答案為：12．已知圓的圓心在直線(xiàn)上，且與直線(xiàn)相切于點(diǎn)，則圓被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】8【分析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，可求得的值，進(jìn)而可求得圓的方程，求出圓心到直線(xiàn)的距離，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，由圓的幾何性質(zhì)可得，直線(xiàn)的斜率為，則，解得，則圓心為，圓的半徑為，所以圓的方程為，圓心到直線(xiàn)的距離為，因此所求弦長(zhǎng)為.故答案為：.三、雙空題13．現(xiàn)有7張卡片，分別寫(xiě)上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．【答案】，/【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.【詳解】從寫(xiě)有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，

所以,故答案為：，.四、填空題14．已知實(shí)數(shù)，，，則的最小值是________.【答案】【解析】利用，又，得，代入利用基本不等式即可得出結(jié)果【詳解】由，得，又，得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即取等號(hào).故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿(mǎn)足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.五、雙空題15．如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的值為_(kāi)_______；若的面積為，的最小值為_(kāi)_______.【答案】/【分析】由平面向量共線(xiàn)定理求解，由數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合三角形面積公式與基本不等式求解，【詳解】由題意得，則，而三點(diǎn)共線(xiàn)，得，，，則，而，得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，的最小值為，故答案為：；六、解答題16．在中，角，，所對(duì)邊分別為，，，且，，.(1)求邊及的值；(2)求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）先由求得，結(jié)合三角形面積公式可得，根據(jù)條件可得，的值，再利用余弦定理求得，利用正弦定理求得；（2）由（1）可知，則，，再結(jié)合二倍角公式和差角公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，，所以，因?yàn)?，即，所?（2）在中，由（1）可知，則，所以，，則，，所以.17．如圖，且，，且，且．平面ABCD，．(1)若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：平面CDE；(2)求平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值；(3)若點(diǎn)P在線(xiàn)段DG上，且直線(xiàn)BP與平面ADGE所成的角為，求線(xiàn)段DP的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）由題意，以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系，求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面CDE的法向量，，由兩向量的數(shù)量積為零，可證得結(jié)論，（2）分別求出兩平面的法向量，利用空間向量求解即可，（3）設(shè)線(xiàn)段DP的長(zhǎng)為h（h∈［0，2］），求出，，然后利用向量的夾角公式列方程求解【詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，因?yàn)?，所以?xún)蓛纱怪保砸訢為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），則D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．所以=（0，2，0），=（2，0，2）．設(shè)為平面CDE的法向量，則，令，則．因?yàn)?（1，，1），所以，因?yàn)橹本€(xiàn)MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（2）解：依題意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．設(shè)為平面BCE的法向量，則，令，則，設(shè)為平面BCF的法向量，則，令，則，所以，所以平面EBC與平面BCF的夾角的正弦值為（3）解：設(shè)線(xiàn)段DP的長(zhǎng)為h（），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，h），可得．因?yàn)?，，所以平面所?（0，2，0）為平面ADGE的一個(gè)法向量，所以，由題意，可得，解得．所以線(xiàn)段的長(zhǎng)為.18．設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于，兩點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若，求直線(xiàn)的方程；(3)已知直線(xiàn)斜率存在，若是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，且，求證：為定值．【答案】(1)(2)，(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）首先求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，依題意可得，解得，即可求出橢圓方程；（2）分直線(xiàn)的斜率存在與不存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)直接求出、的坐標(biāo)，即可判斷，當(dāng)直線(xiàn)存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，，，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程，消元，列出韋達(dá)定理，由得到方程，求出的值，即可求出直線(xiàn)方程；（3）由弦長(zhǎng)公式表示出，設(shè)直線(xiàn)，，，聯(lián)立求出、，即可表示，代入即可得證.【詳解】（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，由題意得，解得，，所以橢圓的方程為.（2）由（1）可得，由題意知，直線(xiàn)與橢圓必相交，①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，由，解得或，不妨令，，則，不合題意；②當(dāng)直線(xiàn)存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)，設(shè)，，聯(lián)立，消去整理得，所以，，則，解得，所以直線(xiàn)方程為或.（3）證明：由（2）可得，設(shè)直線(xiàn)，設(shè)，，聯(lián)立，消去得，所以、，所以，所以，即為定值.19．已知等比數(shù)列的公比，且滿(mǎn)足，，數(shù)列的前項(xiàng)和，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；；（2）.【解析】（1）根據(jù)題干已知條件可列出關(guān)于首項(xiàng)與公比的方程組，解出與的值，即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先分為奇數(shù)和為偶數(shù)分別計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，在求前項(xiàng)和時(shí)，對(duì)奇數(shù)項(xiàng)運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求和，對(duì)偶數(shù)項(xiàng)運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和，最后相加進(jìn)行計(jì)算即可得到前項(xiàng)和.【詳解】（1）依題意，由，，可得，因?yàn)椋越獾?，，，，?duì)于數(shù)列：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿(mǎn)足上式，，.（2）由題意及（1），可知：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，令，，則，，，兩式相減，可得，，，，，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)中當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，求出，并對(duì)進(jìn)行裂項(xiàng)為是解題關(guān)鍵，本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算，以及數(shù)列求和問(wèn)題.考查了方程思想，分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸能力，整體思想，裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法求和，以及邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.本題屬中檔偏難題.20．已知函數(shù)，.（1）若，求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若對(duì)于任意，都有成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）單調(diào)減區(qū)間是，單調(diào)增區(qū)間是，極小值為，無(wú)極大值；（3）.【分析】（1）求導(dǎo)，代值，算出斜率即可求出切線(xiàn)方程；（2）分和討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，研究單調(diào)性，從而得到極值；（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立，再分離變量研究函數(shù)的最值即可.【詳解】（1），，則所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為即（2）因?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，因?yàn)椋?/p>