2023屆廣東省廣州市天河區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題-1

廣東省廣州市天河區(qū)2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，集合，則（

）A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m的值是（

）A． B． C．1 D．44．已知某地市場上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是90%，則從該地市場上買到一個(gè)合格產(chǎn)品的概率是（

）5．已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后，得到函數(shù)的圖象，且的圖象關(guān)于y軸對稱，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．若數(shù)列滿足，則的前2022項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．7．已知一個(gè)圓臺(tái)的母線長5，且它的內(nèi)切球的表面積為，則該圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．8．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列命題中，正確的命題有（

）A．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布且，則B．設(shè)隨機(jī)變量，則C．在拋骰子試驗(yàn)中，事件，事件，則D．在線性回歸模型中，表示解釋變量對于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，越接近于1，表示回歸的效果越好10．已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的有（

）A．函數(shù)極小值為1B．函數(shù)在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為D．當(dāng)時(shí)，方程恰有3個(gè)不等實(shí)根11．已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在圓：上，為圓心，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為B．以為直徑的圓與圓的公共弦所在的直線方程為：C．當(dāng)最大時(shí)，的面積為D．的面積的最大值為12．如圖，長方體中，，，，點(diǎn)M是側(cè)面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），P是棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)PM長度最小時(shí)，三棱錐的體積為B．當(dāng)PM長度最大時(shí)，三棱錐的體積為C．若保持，則點(diǎn)M在側(cè)面內(nèi)運(yùn)動(dòng)路徑的長度為D．若M在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且，則點(diǎn)M的軌跡為圓弧三、填空題13．展開式中的系數(shù)為________.14．若點(diǎn)P是曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為________.15．寫出一個(gè)周期為，且在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)解析式________.16．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)的直線分別與雙曲線的左、右支交于點(diǎn)、，若以為直徑的圓過點(diǎn)，且，則該雙曲線的離心率為______．四、解答題17．已知公差不為0的等差數(shù)列中，，是和的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)保持?jǐn)?shù)列中各項(xiàng)先后順序不變，在與之間插入，使它們和原數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列，記的前n項(xiàng)和為，求的值.18．在中，內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，且滿足.(1)求A；(2)若，，AD是的中線，求AD的長.19．某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個(gè)“AI作業(yè)”項(xiàng)目，并且在甲、乙兩個(gè)學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測試.經(jīng)過一個(gè)階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)情況，該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對他們的“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)掌握的情況進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：甲校乙校使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)使用AI作業(yè)不使用AI作業(yè)基本掌握32285030沒有掌握8141226假設(shè)每位學(xué)生是否掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)相互獨(dú)立.(1)從樣本中沒有掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，用表示抽取的2名學(xué)生中使用“AI作業(yè)”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)用樣本頻率估計(jì)概率，從甲校高一學(xué)生中抽取一名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生和一名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生，用“X=1”表示該名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“X=0”表示該名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”，用“Y=1”表示該名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“Y=0”表示該名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”.比較方差DX和DY的大小關(guān)系.20．如圖多面體中，四邊形是菱形，，平面，，(1)證明：平面平面；(2)在棱上有一點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為，求點(diǎn)到平面的距離.21．已知橢圓，直線l：與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)位于第一象限.(1)若點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，證明：直線和的斜率之積為定值；(2)當(dāng)直線過橢圓的右焦點(diǎn)時(shí)，軸上是否存在定點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.22．已知函數(shù)，.(1)若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合；(2)若函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：1．A【分析】利用集合交集的定義計(jì)算即可．【詳解】，則故選：A2．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念得到，即可判斷.【詳解】解：因?yàn)椋?，則的虛部為；故選：C3．B【分析】根據(jù)向量相等的坐標(biāo)關(guān)系即可求出結(jié)果．【詳解】由得，所以故選：B4．B【分析】根據(jù)甲乙兩廠所占比例及對應(yīng)的合格率，利用全概率公式算即可得解.【詳解】由甲乙兩廠所占比例及對應(yīng)的合格率可得，故選：B5．A【分析】首先將函數(shù)化簡為“一角一函數(shù)”的形式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換求出函數(shù)的解析式，然后利用函數(shù)圖象的對稱性建立的關(guān)系式，求其最小值．【詳解】，所以，由題意可得，為偶函數(shù)，所以，解得，又，所以的最小值為．故選：A.6．D【分析】根據(jù)數(shù)列奇偶交替的性質(zhì)相加求和即可.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，.故選：D7．B【分析】畫出圓臺(tái)內(nèi)切球的軸截面圖，由題意結(jié)合圖象求出圓臺(tái)上下底面的半徑與高，再由圓臺(tái)的體積公式即可求解【詳解】圓臺(tái)內(nèi)切球的軸截面如圖所示，由題意易知為等腰梯形，且，取的中點(diǎn)，連接，則易知球心為的中點(diǎn)，因?yàn)閳A臺(tái)的內(nèi)切球的表面積為，所以圓臺(tái)的內(nèi)切球的半徑為，即，過點(diǎn)作，交與，連接，設(shè)，則由圓的切線性質(zhì)可知，所以，過點(diǎn)作，交與，則,由得，解得，由，解得，所以圓臺(tái)的體積為，故選：B8．B【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論其單調(diào)性，利用單調(diào)性比較可得.【詳解】由題知，記，則易知在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，所以，在上單調(diào)遞減，故即又為增函數(shù)，所以.故選：B9．BD【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷A；由二項(xiàng)分布的方差公式可判斷B；根據(jù)條件概率公式可判斷C；由的意義可判斷D.【詳解】A：因?yàn)榍?，所以，所以，A錯(cuò)誤；B：因?yàn)?，所以，B正確；C：由題知，事件，所以，C錯(cuò)誤；D：由的意義可知D正確.故選：BD10．AC【分析】求導(dǎo)得，分析的單調(diào)性，進(jìn)而可得極大值、極小值與最值，即可判斷ABC是否正確；作出的圖象，結(jié)合圖象即可判斷D是否正確.【詳解】對于AB：，在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，的極小值為，故A正確，B錯(cuò)誤；對于C：由函數(shù)單調(diào)性知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上遞增，且，，故函數(shù)的最大值為，故C正確；對于D：當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，且的極大值為，的極小值為，由上述分析可知，的圖象為：由圖象可得當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)或時(shí)，有2個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)根，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11．ABD【分析】依題意畫出圖象，判斷出在圓內(nèi)，當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)時(shí)，取得最大值，即可判斷A；求出以為直徑的圓再兩圓方程作差，即可求出公共弦所在直線方程，即可判斷B，當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，求出三角形的面積，即可判斷C，求出直線的方程，可得在上，即可得到到的距離最大值，再求出，即可判斷D.【詳解】解：圓C：的圓心為，半徑，又，則，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)為射線與圓的交點(diǎn)時(shí)，取得最大值，故A正確；因?yàn)辄c(diǎn)恰好是、的中點(diǎn)，且，所以以為直徑的圓的方程為，所以以為直徑的圓與圓的公共弦所在的直線方程為，整理得，故B正確；當(dāng)與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)，故C錯(cuò)誤，直線的方程為，又，且在直線上，所以到的距離最大值為，所以，故D正確；故選：ABD12．ABC【分析】由等體積法可判斷AB正確，由圓的知識(shí)可判斷C正確，利用空間向量法求夾角余弦值，可知D錯(cuò)誤.【詳解】對于A，當(dāng)PM長度最小時(shí)，點(diǎn)在線段的中點(diǎn)，，，A正確.對于B，當(dāng)PM長度最大時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)或點(diǎn)重合，若點(diǎn)與點(diǎn)重合，，B正確.對于C，作中點(diǎn)，連接，如下圖所示，易證平面，平面，則，若保持，則，則點(diǎn)M的軌跡是以為半徑的半圓弧，長度為，C正確.對于D，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，設(shè)則有，，若，則有，即，化簡得：，即，即或（此時(shí)，）,故點(diǎn)M的軌跡為一段直線，D錯(cuò)誤.故選：ABC13．【分析】先得到的通項(xiàng)公式，再結(jié)合，計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榍艺归_式的通項(xiàng)公式為故的系數(shù)為故答案為:.14．【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出與直線平行且與曲線相切的直線，切點(diǎn)到直線的距離即為最小距離.【詳解】設(shè)，，設(shè)直線與曲線相切，切點(diǎn)為，且直線與直線平行，則有，得，，即如圖所示：此時(shí)到直線的距離最小，.故答案為：15．【分析】通過周期求，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間，只需在處于函數(shù)圖像最高點(diǎn)即可.【詳解】設(shè)，，所以，令（注：函數(shù)圖像最高點(diǎn)）得，，所以這個(gè)函數(shù)可以為.故答案為：.（答案不唯一）16．【分析】先根據(jù)題意，判斷出△為等腰直角三角形，找到，在△中，利用余弦定理建立關(guān)于a、c的齊次式，求出離心率e.【詳解】因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn)，所以，又，所以△為等腰直角三角形，所以.設(shè)，則由雙曲線的定義可得：，兩式相加得：，即.所以，解得：.在△中，，，，由余弦定理得：，即，整理化簡得：.故答案為：.【點(diǎn)睛】求橢圓（雙曲線）離心率的一般思路：（1）直接求出a、b、c，計(jì)算離心率；（2）根據(jù)題目的條件，找到a、b、c的關(guān)系，消去b，構(gòu)造離心率e的方程或（不等式）即可求出離心率．17．(1)(2)【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)等比中項(xiàng)列出方程求得即可得到通項(xiàng)公式.（2）由題意計(jì)算出在中對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)，然后利用分組求和即可.（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)槭呛偷牡缺戎许?xiàng)，則且則或（舍）則，即通項(xiàng)公式（2）因?yàn)榕c（，2，…）之間插入個(gè)1，所以在中對應(yīng)的項(xiàng)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，，且所以18．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理和二倍角的正弦公式即可求解.（2）由可得，根據(jù)以及余弦定理即可求出.（1），所以，由正弦定理得：，，，，，得，即，.（2）,,得，由余弦定理得：，，所以，即AD的長為.19．(1)分布列見解析，；(2).【分析】（1）根據(jù)超幾何分布列分布列，求解期望；（2）由二項(xiàng)分布的方差公式求解.（1）依題意，，1，2，且，，，所以的分布列為：012P故（2）由題意，易知服從二項(xiàng)分布，，服從二項(xiàng)分布，，故.20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，證明，利用平面，證明平面，從而平面平面；（2）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出二面角，再求得的值，即可得到的坐標(biāo)，再利用空間向量法求出點(diǎn)到面的距離．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接交于，連接，，因?yàn)槭橇庑?，所以，且是的中點(diǎn)，所以且，又，，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以，又因?yàn)?，平面，所以平面，所以平面，又平面，所以平面平面；?）解：取的中點(diǎn)，由四邊形是菱形，，則，是正三角形，，，又平面，所以以為原點(diǎn)，，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)在棱上存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角為，則，，，，，，則設(shè)，，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，即，令，，得平面的法向量可以為，，解得，所以，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離.21．(1)見解析；(2)存在，.【分析】(1)聯(lián)立直線方程和橢圓方程得，由韋達(dá)定理可得的關(guān)系，再由計(jì)算即可得證；(2)由題意可得直線的方程為，聯(lián)立直線方程與橢圓方程得，由韋達(dá)定理之間的關(guān)系，假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，設(shè)，由題意可得.代入計(jì)算，如果有解，則存在，否則不存在.（1）證明：因?yàn)?，所以直線l：，聯(lián)立直線方程和橢圓方程：，得，設(shè)，則有，所以，又因?yàn)?，所以，，所?=所以直線和的斜率之積為定值；（2）解：假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，設(shè)，因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)，所以,即有，所以直線的方程為.由，可得，設(shè)，則有；因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等，所以平分,所以.即==，又因?yàn)椋?，代入，即有，解?故軸上存在定點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.22．(1)(2)【分析】（1）將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性以及極值情況.（2）分三種情況討論，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成求即可.（1）當(dāng)時(shí)，顯然滿足題意當(dāng)時(shí)，若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，即只有一個(gè)根，因?yàn)?不是方程的根，所以可轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)根，即直線與函數(shù)（且）的圖像只有一個(gè)交點(diǎn).，令，得，在和上，，在上，，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞