2023屆河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)（理）試題

2023屆河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高三下學(xué)期二?？荚嚁?shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解不等式可得集合B，根據(jù)集合的并集運(yùn)算，即得答案.【詳解】解可得,則，，所以，故選：B2．已知a，，，則（

）A．5 B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義求參，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，，所?故選：D.3．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利益正弦定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，由，得，所?故選：C.4．函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函數(shù)的定義域、奇偶性及其在上的函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合排除法可得出合適的選項(xiàng).【詳解】的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，排除B、D.當(dāng)時(shí)，，，則，排除C選項(xiàng)，故選：A.5．十項(xiàng)全能是田徑運(yùn)動(dòng)中全能項(xiàng)目的一種，是由跑、跳、投等10個(gè)田徑項(xiàng)目組成的綜合性男子比賽項(xiàng)目，比賽成績(jī)是按照國(guó)際田徑聯(lián)合會(huì)制定的專門田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)全能評(píng)分表將各個(gè)單項(xiàng)成績(jī)所得的評(píng)分加起來(lái)計(jì)算的，總分多者為優(yōu)勝者．如圖，這是某次十項(xiàng)全能比賽中甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的各個(gè)單項(xiàng)得分的雷達(dá)圖，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．在400米跑項(xiàng)目中，甲的得分比乙的得分低B．甲的各項(xiàng)得分比乙的各項(xiàng)得分更均衡C．在跳高和鐵餅項(xiàng)目中，甲、乙水平相當(dāng)D．甲的各項(xiàng)得分的極差比乙的各項(xiàng)得分的極差大【答案】D【分析】根據(jù)雷達(dá)圖對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由雷達(dá)圖可知，400米跑項(xiàng)目中，甲的得分比乙的得分高，A錯(cuò)誤；甲各項(xiàng)得分的波動(dòng)較大，乙的各項(xiàng)得分均在內(nèi)，波動(dòng)較小，B錯(cuò)誤；在鐵餅項(xiàng)目中，乙比甲水平高，C錯(cuò)誤；甲的各項(xiàng)得分的極差約為，乙的各項(xiàng)得分的極差小于200，D正確．故選：D6．設(shè)x，y滿足約束條件則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先作出可行域，把看作與連線的斜率，結(jié)合圖形可求答案.【詳解】畫出可行域如圖，表示可行域內(nèi)的點(diǎn)與連線的斜率，由圖知，直線的斜率最大，直線的斜率最??；由可得；由可得；所以的取值范圍為．故選：D.7．在正三棱柱中，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，證明平面，根據(jù)球的截面性質(zhì)確定交線的形狀，結(jié)合弧長(zhǎng)公式求交線長(zhǎng).【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，為等邊三角形，所以，因?yàn)椋?，，平面，所以平面，所以以為球心，為半徑的球面與平面的交線為以為圓心的圓，由，可得交線即以為圓心，為半徑的圓弧，設(shè)該圓弧與，分別相交于點(diǎn)M，N，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以所以，故交線長(zhǎng).故選：B.8．甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍總€(gè)人都等可能地把球傳給另一人，由甲開始傳球，作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)3次傳球后，球回到甲手中的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)古典概型運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)甲、乙、丙三人用，由題意可知：傳球的方式有以下形式，，所求概率為.故選：C9．已知函數(shù)在內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，以及的取值范圍列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由題意知在內(nèi)有且僅有兩個(gè)解．因?yàn)椋?，則需，解得．故選：C10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線E上一點(diǎn)，，的平分線與x軸交于點(diǎn)Q，，則雙曲線E的離心率為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可得，利用正弦定理結(jié)合角平分線可得，再根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合通徑分析運(yùn)算即可.【詳解】∵，則，可得，分別在中，由正弦定理可得：∵平分，可得，即，且，故，則，所以，又∵，則，所以，整理得，故，得，即，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).方法定睛：1.雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求的值．在焦點(diǎn)三角形中，可以將雙曲線的定義，三角形中邊角關(guān)系，如正余弦定理、勾股定理結(jié)合起來(lái)．11．古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯指出：“哪里有數(shù)，哪里就有美．”“對(duì)稱美”是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，在數(shù)學(xué)史上，人類一直在思考和探索數(shù)學(xué)的對(duì)稱問(wèn)題，圖形中的對(duì)稱性本質(zhì)就是點(diǎn)的對(duì)稱、線的對(duì)稱．如正方形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱性也是函數(shù)一個(gè)非常重要的性質(zhì)．如果一個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)某個(gè)正方形的中心并且能夠?qū)⑺闹荛L(zhǎng)和面積同時(shí)平分，那么稱這個(gè)函數(shù)為這個(gè)正方形的“優(yōu)美函數(shù)”．下列關(guān)于“優(yōu)美函數(shù)”的說(shuō)法中正確的有（

）①函數(shù)可以是某個(gè)正方形的“優(yōu)美函數(shù)”；②函數(shù)只能是邊長(zhǎng)不超過(guò)的正方形的“優(yōu)美函數(shù)”；③函數(shù)可以是無(wú)數(shù)個(gè)正方形的“優(yōu)美函數(shù)”；④若函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”，則的圖象一定是中心對(duì)稱圖形．A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)“優(yōu)美函數(shù)”的定義，可判斷①③中的函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象為中心對(duì)稱圖形，可判斷其正誤，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷②，作圖分析，舉出反例，判斷④.【詳解】對(duì)于①，滿足，故為奇函數(shù)，則圖象原點(diǎn)對(duì)稱，且連續(xù)，所以可以是中心為原點(diǎn)且邊長(zhǎng)為2的正方形的“優(yōu)美函數(shù)”，故①正確．對(duì)于②，令，得，所以圖象的對(duì)稱中心為，故以為中心的正方形都能被函數(shù)的圖象平分，即可以同時(shí)是無(wú)數(shù)個(gè)正方形的“優(yōu)美函數(shù)”，故②錯(cuò)誤．對(duì)于③，令，,則，故為奇函數(shù)．又因?yàn)榈膱D象是由的圖象向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，所以圖象的對(duì)稱中心為，故以為中心的正方形都能被的圖象平分，故③正確．對(duì)于④，如圖所示，圖中兩三角形面積相等，函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”，但其圖象不是中心對(duì)稱圖形，可知④錯(cuò)誤，故選：B12．對(duì)20不斷進(jìn)行“乘以2”或“減去3”的運(yùn)算，每進(jìn)行一次記作一次運(yùn)算，若運(yùn)算n次得到的結(jié)果為23，則n的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】根據(jù)題意，分一共只有一次“乘以2”的運(yùn)算和一共只有2次“乘以2”的運(yùn)算，結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以至少要進(jìn)行一次“乘以2”的運(yùn)算．①若一共只有一次“乘以2”的運(yùn)算．設(shè)做了次“減去3”的運(yùn)算之后，再“乘以2”，再做了次“減去3”的運(yùn)算后，得數(shù)為，即有，其中，顯然無(wú)非負(fù)整數(shù)解．②若一共只有2次“乘以2”的運(yùn)算．設(shè)做了次“減去3”的運(yùn)算之后，再“乘以2”，再做了次“減去3”的運(yùn)算之后“乘以2”，再做了次“減去3”的運(yùn)算后，得數(shù)是，即有，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以的最小值為6，即至少運(yùn)算8次，過(guò)程為．③若一共有3次或3次以上“乘以2”的運(yùn)算，總運(yùn)算次數(shù)顯然不止8次．所以至少運(yùn)算8次．故選：B.二、填空題13．已知向量，，且，則______．【答案】5【分析】根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)計(jì)算公式可得的關(guān)系，又由向量垂直與向量數(shù)量積的關(guān)系計(jì)算即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得．故答案為?.14．設(shè)E，F(xiàn)分別在正方體的棱，上，且，，則直線與所成角的余弦值為__________.【答案】【分析】利用構(gòu)造平行線，再解三角形即可處理異面直線夾角問(wèn)題.【詳解】如圖所示，在棱，上分別取點(diǎn)N，M，使得，，連接，，可知，則為直線與所成的角.設(shè)，在中，易得，，，設(shè)，則，從而.故答案為：三、雙空題15．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且被C截得的弦長(zhǎng)為4的直線有且僅有兩條，寫出一個(gè)滿足條件的拋物線C的方程：__________，此時(shí)該弦的中點(diǎn)到x軸的距離為__________.【答案】

（答案不唯一，只要，且所求距離為即可）【分析】利用拋物線定義及焦點(diǎn)弦的性質(zhì)寫出一個(gè)結(jié)果即可.【詳解】易知過(guò)焦點(diǎn)的弦中，通徑最短，所以，解得.設(shè)該弦所在的直線與C的交點(diǎn)分別為A，B，弦的中點(diǎn)為D，則A，B，D到準(zhǔn)線的距離分別為：，則由梯形的中位線性質(zhì)可知D到x軸的距離為.不妨取，則拋物線C的方程為，此時(shí)弦的中點(diǎn)到x軸的距離為.故答案為：；（答案不唯一，只要，且所求距離為即可）四、填空題16．已知正數(shù)，滿足，給出以下結(jié)論：①，②，③，④．其中正確的是______．（請(qǐng)寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③④【分析】由可得，進(jìn)而得到，即可判斷①②；令，令，分別利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求得和，進(jìn)而可判斷③④.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，故①正確，②錯(cuò)誤；令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，故③正確；令，則，可知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，故④正確．故答案為：①③④.五、解答題17．已知等差數(shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，.(1)求與通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和.【答案】(1)，，(2)，【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義計(jì)算基本量即可求通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式及裂項(xiàng)相消求和即可.【詳解】（1）設(shè)的公差為d，因?yàn)?，，所以，解得，從而，所以；設(shè)的公比為q，因?yàn)椋?，解得，因?yàn)?，所以，所?（2）由上可知：，所以，所以，所以，.18．2023年，全國(guó)政協(xié)十四屆一次會(huì)議于3月4日下午3時(shí)在人民大會(huì)堂開幕，3月11日下午閉幕，會(huì)期7天半；十四屆全國(guó)人大一次會(huì)議于3月5日上午開幕，13日上午閉幕，會(huì)期8天半.為調(diào)查學(xué)生對(duì)兩會(huì)相關(guān)知識(shí)的了解情況，某高中學(xué)校開展了兩會(huì)知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，現(xiàn)從全校參與該活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取320名學(xué)生，他們的得分（滿分100分）的頻率分布折線圖如下.(1)若此次知識(shí)問(wèn)答的得分，用樣本來(lái)估計(jì)總體，設(shè)，分別為被抽取的320名學(xué)生得分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，求的值；，抽到價(jià)值20元的學(xué)習(xí)用品的概率為.從這320名學(xué)生中任取一位，記該同學(xué)在抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額為元，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（用分?jǐn)?shù)表示），并估算此次抽獎(jiǎng)要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額.參考數(shù)據(jù)：，，，，.【答案】(1)(2)分布列見(jiàn)解析，，元【分析】（1）先根據(jù)頻率分布折線圖求平均值及方差，再根據(jù)正態(tài)分布公式計(jì)算概率即可；（2）先分析獲獎(jiǎng)金額的情況，再列出相關(guān)分布列計(jì)算即可.【詳解】（1）由折線圖可知：，，所以，，所以.（2）由題意可知的可能取值為10，20，30，40，則，，，，，，所以的分布列為10203040P，故此次抽獎(jiǎng)要準(zhǔn)備的學(xué)習(xí)用品的價(jià)值總額約為元.19．在四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，，.(1)證明：平面平面；(2)若，，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）先證，由線線垂直證線面垂直即可；（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：在等腰梯形中，，，，過(guò)點(diǎn)C作于E，則，可知，由余弦定理知，則，所以.又，，，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：因?yàn)槠矫妫?，所以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的方向分別為x軸、y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，即.設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.20．已知橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值以及此時(shí)直線l的方程.【答案】(1)(2)，或【分析】（1）根據(jù)給定條件列方程，求出a，b即可作答.（2）先判斷直線的斜率不為0，設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理、三角形面積列出函數(shù)式，利用基本不等式求解作答.【詳解】（1）由，得，所以橢圓C的方程為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入上式，得，可得，所以，，故橢圓C的方程為.（2）由（1）知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，若直線l的斜率為0，則O，A，B三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，所以直線l的斜率不為0，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，消去x，得，方程的判別式，設(shè)，，則，，.令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即面積的最大值為.令，解得，所以此時(shí)直線l的方程為或.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．21．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)只有1個(gè)零點(diǎn)【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得證；（2），即，整理可得，設(shè)，由（1）可知當(dāng)時(shí)，，在證明當(dāng)時(shí)，，由此分析，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理即可得出結(jié)論.【詳解】（1）令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則，故當(dāng)時(shí)，成立；（2），即，所以，設(shè)，由（1）可知當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，從而，下面證明：當(dāng)時(shí)，，即證，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，從而，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以是的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，即，所以在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，即，所以在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，，即，所以在上無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以在上無(wú)零點(diǎn)，綜上在上只有1個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷方法：（1）直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)．（2）零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)