2023屆河南省開封市高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆河南省開封市高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)絕對值不等式化簡結(jié)合,進(jìn)而根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可求解.【詳解】由得或，故，由可知：集合中的元素為全體奇數(shù)構(gòu)成的集合，所以，故選：B2．已知向量，，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由向量線性運(yùn)算坐標(biāo)表示得，再由向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，又，則，可得.故選：D3．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用余弦的二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，故選：C4．在某次高中學(xué)科知識(shí)競賽中，對2000名考生的參賽成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，可得到如圖所示的頻率分布直方圖，其中分組的區(qū)間為，，，，，，60分以下視為不及格，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（

）①a②不及格的考生數(shù)為500③考生競賽成績的平均分約為70.5分（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值近似代替）④考生競賽成績的中位數(shù)約為75分A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)頻率分布直方圖分析即可.【詳解】由頻率分布直方圖可得：，①錯(cuò)誤；不足60的占比為：，②正確；平均分為：，③正確；設(shè)中位數(shù)為，則，解得，④錯(cuò)誤,綜上正確的有2個(gè).故選:B5．展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于0，求出r的值，即可求得常數(shù)項(xiàng).【詳解】展開式的通項(xiàng)公式為，令，可得，故展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選：A.6．a(chǎn)，b為實(shí)數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分不必要的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)?，根?jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知成立，所以，即“”是“”的充分條件，取，此時(shí)，但，故“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A7．如圖所示的程序框圖，所解決的問題是開始（

）A．計(jì)算的值 B．計(jì)算的值C．計(jì)算的值 D．計(jì)算的值【答案】B【分析】根據(jù)已知程序框圖，模擬程序的運(yùn)行過程，并逐句分析各變量值的變化情況，可得答案．【詳解】輸入的，第一次循環(huán)，，不滿足；第二次循環(huán)，，不滿足；第三次循環(huán)，，不滿足；第九次循環(huán)，，滿足，退出循環(huán)，輸出，故框圖所解決的問題是計(jì)算的值，故選：B．8．已知棱長為的正四面體內(nèi)有一個(gè)正方體玩具，若正方體玩具可以在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則這個(gè)正方體玩具的棱長最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令正方體的體對角線不超過四面體內(nèi)切球直徑即可.【詳解】如圖所示，若正方體玩具可以在該正四面體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則正方體的體對角線不超過該正四面體內(nèi)切球的直徑.如圖為正四面體的高，是正三角形的中心，，∴，設(shè)為正四面體內(nèi)切球的球心，則內(nèi)切球的半徑為，由等體積法：∴，∵，∴，∴正四面體內(nèi)切球的半徑，直徑，設(shè)正方體玩具的棱長為，則其體對角線為，∴，∴∴正方體玩具的棱長的最大值為.故選：A.9．把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），再把所得圖象向右平移個(gè)單位，若最終所得圖象對應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換以及平移變換得函數(shù)解析式為，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，列不等式即可求解.【詳解】把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)，再把的圖象向右平移個(gè)單位，得到，由于在單調(diào)遞增，所以，因此,即且，則且可得,由于，故當(dāng)時(shí)，取到最小值，故選：C10．已知等邊的邊長為，P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系且，，，進(jìn)而確定的軌跡圓，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示并結(jié)合所得表達(dá)式的幾何意義求范圍即可.【詳解】如下圖構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，且，，，所以在以為圓心，1為半徑的圓上，即軌跡方程為，而，故，綜上，只需求出定點(diǎn)與圓上點(diǎn)距離平方的范圍即可，而圓心與的距離，故定點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離范圍為，所以.故選：B11．已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合，且與該拋物線在第一象限交于點(diǎn)M，若，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】拋物線焦點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)為，則有橢圓的半焦距，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，所以所以有，或舍去，故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用拋物線的定義，結(jié)合構(gòu)造齊次方程進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵12．已知函數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)題干條件，得，化簡整理得，然后構(gòu)造函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)求解的最小值，即可求出的最小值.【詳解】由，得，化簡整理得：；令（），，令，解得.當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；即，故故選：D二、填空題13．已知復(fù)數(shù)滿足，寫出一個(gè)滿足條件的復(fù)數(shù)______．【答案】（答案不唯一，虛部為即可）【分析】設(shè)復(fù)數(shù)，代入復(fù)數(shù)的模的公式求解即可.【詳解】設(shè)，（，），則，，∵，∴，∴，化簡得，解得.∴滿足條件的一個(gè)復(fù)數(shù)（答案不唯一，虛部為即可）.故答案為：（答案不唯一，虛部為即可）.14．已知是等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且，則______．【答案】【分析】根據(jù)題意和等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得、，進(jìn)而得，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，得，即①；由，得，即②，由①②，得，所以.故答案為：.15．已知中，AB=5，AC=7，，則的面積為______．【答案】【分析】根據(jù)切化弦，結(jié)合正弦的和差角公式即可得，由正弦定理可得，進(jìn)而利用面積公式即可求解.【詳解】由得，即，則，即，因?yàn)?，所以，因此，由?所以，故的面積為,故答案為：.三、雙空題16．已知矩形，，過作平面，使得平面，點(diǎn)在內(nèi)，且與所成的角為，則點(diǎn)的軌跡為______，長度的最小值為______．【答案】

雙曲線

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條件求出點(diǎn)軌跡方程進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，平面內(nèi)過且與垂直的直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知，，，，，∵點(diǎn)在平面內(nèi)，∴設(shè)，則，，∵直線與直線所成的角為，∴，兩邊同時(shí)平方，化簡得點(diǎn)軌跡方程為，∴點(diǎn)的軌跡為雙曲線.，∵點(diǎn)軌跡方程為，∴，且，∴，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：雙曲線，【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題第二個(gè)空容易誤認(rèn)為當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，長度最小，使用空間向量運(yùn)算，可以有效避免這種直覺上的錯(cuò)誤.四、解答題17．記為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求數(shù)列的前n項(xiàng)和；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義可知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，即可求解；（2）由（1）得，則.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，所以?shù)列為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為，所以，又為正項(xiàng)數(shù)列，則；（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，亦適合上式，所以，所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，綜上可知18．某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．某研究小組為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，計(jì)算得，，，．作散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)，除了明顯偏離比較大的兩個(gè)樣本點(diǎn)，外，其它樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近，為了減少誤差，該研究小組剔除了這兩個(gè)樣本點(diǎn)，重新抽樣補(bǔ)充了兩個(gè)偏離比較小的樣本點(diǎn)，．(1)求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；(2)建立地塊的植物覆蓋面積x（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量y的線性回歸方程；(3)經(jīng)過進(jìn)一步治理，如果每個(gè)地塊的植物覆蓋面積增加1公頃，預(yù)測該地區(qū)這種野生動(dòng)物增加的數(shù)量．參考公式：線性回歸方程，其中，．【答案】(1)13000(2)(3)2000【分析】（1）由樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體野生動(dòng)物數(shù)量即可.（2）根據(jù)線性回歸方程的公式求回歸方程即可.（3）根據(jù)（2）的回歸方程計(jì)算即可.【詳解】（1）樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為，而地塊數(shù)為200，該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為．（2）將樣本點(diǎn)，替換為，，構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得，，，，所以，，所求回歸方程為．（3）由（2）回歸方程可知：每個(gè)地塊的植物覆蓋面積增加1公頃，則野生動(dòng)物數(shù)量增加10，故該地區(qū)這種野生動(dòng)物增加數(shù)量的估計(jì)值為：．19．如圖1，在直角梯形ABCD中，，，，E為AC的中點(diǎn)，將沿折起（如圖2）．在圖2所示的幾何體D-ABC中：(1)若AD⊥BC，求證：DE⊥平面ABC；(2)若BD與平面ACD所成的角為60°，求二面角D-AC-B的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)或【分析】（1）根據(jù)線線垂直可得線面垂直，由線面垂直的性質(zhì)又可得線線垂直，即可由線面垂直的判定定理求證,（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求解可得平面的法向量,由兩個(gè)平面法向量的夾角,結(jié)合圖形特征即可求解二面角大小.【詳解】（1）由已知，為等腰直角三角形，E為AC的中點(diǎn)，可得，中，，，，所以由余弦定理得，因?yàn)?，所以AC⊥BC，又因?yàn)锳D⊥BC，，平面ADC,所以BC⊥平面ADC，又平面ADC，所以，又，，平面,所以平面．（2）如圖過C點(diǎn)作平面ABC的垂線CP，以C為原點(diǎn)，分別以，，為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則，設(shè)，其中，則，，，設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為，則即可得，由題意，解得或，易知平面ABC的一個(gè)法向量為，當(dāng)時(shí)，，，由圖可知二面角D-AC-B為銳角，故二面角D-AC-B的余弦值為，當(dāng)時(shí)，，，由圖可知二面角D-AC-B為銳角，所以二面角D-AC-B的余弦值為，綜上，二面角的余弦值為或．20．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交E于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B在x軸上的射影分別為D，C，當(dāng)AB平行于x軸時(shí)，四邊形ABCD的面積為4．(1)求p的值；(2)過拋物線上兩點(diǎn)的弦和拋物線弧圍成一個(gè)拋物線弓形，古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論：以拋物線弓形的弦為底，以拋物線上平行于弦的切線的切點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線弓形的內(nèi)接三角形，則拋物線弓形的面積等于該內(nèi)接三角形面積的倍．已知點(diǎn)P在拋物線E上，且E在點(diǎn)P處的切線平行于AB，根據(jù)上述理論，從四邊形ABCD中任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)位于圖中陰影部分的概率的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)矩形的面積公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合拋物線的弦長公式、幾何概型運(yùn)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）當(dāng)AB平行于x軸時(shí)，四邊形ABCD為矩形，，，所以，解得；（2）由（1），拋物線，即，，，設(shè)，，，，則，，聯(lián)立得，，，則，點(diǎn)P到AB的距離，所以，，又，所以，又四邊形ABCD是直角梯形或矩形，所以，所以概率，由得，所以所求概率的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程進(jìn)而求出弦長是解題的關(guān)鍵.21．已知函數(shù)圖象上三個(gè)不同的點(diǎn)．(1)求函數(shù)在點(diǎn)P處的切線方程；(2)記（1）中的切線為l，若，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解；（2）由（1），根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)表示斜率可得，即，設(shè)，，，則，所證為.利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性可得，再次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)()、()的性質(zhì)可證得、，即可證明.【詳解】（1），，，故在點(diǎn)P處的切線方程為：，即．（2）若，則，即，即，即，設(shè)，，，則，所證為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，由的單調(diào)性及易知，①證明：令，，，所以在上單調(diào)遞增，，所以，所以，即，又在上單調(diào)遞減，所以，即．②證明：當(dāng)時(shí)，結(jié)論顯然成立；當(dāng)時(shí)，令，，，所以在上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，可證，所以，即，又在上單調(diào)遞增，所以，即．綜上所述，即得證．【點(diǎn)睛】破解含雙參不等式證明題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（1）轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式.（2）巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值.（3）回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；(2)已知點(diǎn)，曲線和相交于A，B兩點(diǎn)，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用消參即可求解普通方程；（2）結(jié)合條件寫出直線過點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，聯(lián)立方程，利用參數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】（1）由的參數(shù)