量子物理基礎(chǔ)

量子物理基礎(chǔ)第1頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四十九世紀(jì)末期，物理學(xué)的經(jīng)典理論已經(jīng)基本完善了。開耳文也說：“在已經(jīng)基本建成的科學(xué)大廈中，后輩物理學(xué)家只需要做一些零星的修補工作就行了”。麥克斯韋：“在幾年中，所有重要的物理常數(shù)將被近似估算出來，給科學(xué)界人士留下來的只是提高這些常數(shù)的觀察值的精度”。開耳文接著又指出：“但是在物理晴朗天空的遠(yuǎn)處，還有兩朵小小令人不安的烏云”。事實上還有第三朵小小的烏云：放射性現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)。所有這些實驗結(jié)果都是經(jīng)典物理學(xué)無法解釋的。在二十世紀(jì)初期，建立起了近代物理的兩大支柱：相對論和量子論。第2頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四§13.1經(jīng)典物理的困難經(jīng)典物理給我們提供了兩個運動特征不相容的兩類物理體系：實物粒子和相互作用場（波）。實物粒子的運動特征：定域。相互作用場（波）的運動特征：非定域。經(jīng)典物理在解析微觀領(lǐng)域時將遇到問題：黑體輻射：經(jīng)典物理關(guān)于熱輻射的能量連續(xù)變化的概念不能解釋黑體輻射的能譜；光電效應(yīng)：光的波動說不能解釋類似光電效應(yīng)這類光與物質(zhì)相互作用的問題；原子結(jié)構(gòu)和光譜：經(jīng)典物理學(xué)不能給出原子的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，也不能說明原子光譜的規(guī)律。第3頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四13.1.1黑體輻射1.熱輻射現(xiàn)象任何物體在任何溫度下都要發(fā)射各種波長的電磁波，并且其輻射能量的大小及輻射能量按波長的分布都與溫度有關(guān)。物體在任何溫度下都會輻射能量。注意：物體既會輻射能量，也會吸收能量。輻射和吸收的能量恰相等時稱為熱平衡。此時溫度恒定不變。這種由于物體中的分子、原子的熱運動而發(fā)射電磁波的現(xiàn)象稱為熱輻射。第4頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四2.幾個物理量：單色輻出度e

：從物體表面單位面積上發(fā)射出的，波長介于~+d之間的輻射功率dE與d的比值。

意義：在一定溫度T下，單位時間內(nèi)從物體表面單位面積上波長在附近單位波長間隔內(nèi)輻射出的能量。e是溫度T和波長的函數(shù)，常寫成e(,T)

。輻出度E(T)：物體表面單位面積發(fā)射的包含各種波長在內(nèi)的輻射總功率。

第5頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四輻出度E(T)僅是溫度的函數(shù)。意義：在溫度T

時單位時間、單位面積整個波長范圍內(nèi)輻射出的能量。單色吸收率(,T)

：波長在~

＋d范圍內(nèi)的吸收率稱為單色吸收率。吸收率：當(dāng)輻射從外界入射到物體表面時，被物體吸收的能量與入射能量的比值。基爾霍夫定律：在熱平衡下，物體的單色輻出度與單色吸收比的比值與物體的性質(zhì)無關(guān)，對于所有物體，這個比值是波長和溫度的普適函數(shù)。第6頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四基爾霍夫定律：在熱平衡下，物體的單色輻出度與單色吸收比的比值與物體的性質(zhì)無關(guān)，對于所有物體，這個比值是波長和溫度的普適函數(shù)。結(jié)論：好的吸收體也是好的輻射體。3.黑體黑體：能夠完全吸收外來輻射而沒有反射的物體。黑體既是完全的吸收體，也是理想的發(fā)射體?？砂岩粋€開小孔的不透光空腔看成黑體。如遠(yuǎn)處不點燈的建筑物。第7頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四4.黑體輻射實驗中將開有小孔的空腔視為黑體，使其恒溫。結(jié)論：每一條曲線都有一個極大值。隨著溫度的升高，黑體的單色輻出度迅速增大，并且曲線的極大值逐漸向短波方向移動。實驗裝置第8頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四實驗T=1646k維恩根據(jù)經(jīng)典熱力學(xué)得出一個半經(jīng)驗公式：維恩公式

維恩公式在短波部分與實驗結(jié)果吻合得很好，但長波卻不行。瑞利和瓊斯用能量均分定理和電磁理論得出瑞利—瓊斯公式瑞利—瓊斯公式在長波部分與實驗結(jié)果吻合，但在紫外區(qū)的單色輻出度為無窮大。維恩瑞利-瓊斯式中c1，c2為常量。式中c為光速。第9頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四13.1.2光電效應(yīng)陽極陰極石英窗光電效應(yīng)：當(dāng)一束光照射在金屬表面上時，金屬表面會有電子逸出的現(xiàn)象。逸出的電子稱為光電子。光電效應(yīng)實驗當(dāng)K、A間加反向電壓，光電子克服電場力作功，當(dāng)電壓達(dá)到某一值UC時，光電流恰為零。UC稱反向遏止電壓。遏止電壓的大小反映光電子初動能的大小。第10頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四光電效應(yīng)實驗的結(jié)果：1.存在截止頻率（又稱紅限）0。當(dāng)入射光的頻率

大于截止頻率0時，才能產(chǎn)生光電效應(yīng)；反之，無論入射光的強度多大，都不能產(chǎn)生光電效應(yīng)。不同材料的截止頻率不同。2.在入射光頻率不變時，飽和光電流隨入射光強度I增加而增大；3.遏止電壓與入射光強度無關(guān)，但與入射光的頻率成正比。4.光電效應(yīng)具有瞬時響應(yīng)特性(t<10-9s)。且這種瞬間響應(yīng)與入射光的強度無關(guān)。

經(jīng)典理論無法解釋光電效應(yīng)的上述規(guī)律。第11頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四實驗T=1646k維恩瑞利-瓊斯§13.2量子論的誕生13.2.1普朗克的能量子理論1.能量子假設(shè)1900年普朗克用內(nèi)插法得到了普朗克公式：普朗克常數(shù)這個公式與實驗結(jié)果相符合。普朗克理論值波長形式：頻率形式：第12頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四普朗克的能量子假設(shè)：=h稱為能量子，n稱為量子數(shù)。金屬空腔壁中電子的振動可視為一維諧振子。這些振子可以吸收或輻射能量。對頻率為的諧振子，其吸收或輻射的能量是不連續(xù)的，只能取某一最小能量h的整數(shù)倍。在這一假設(shè)基礎(chǔ)上，運用經(jīng)典的統(tǒng)計物理方法就可推出普朗克黑體輻射公式（推導(dǎo)見教材）。能量子假設(shè)對于經(jīng)典物理來說是離經(jīng)叛道的，就連普朗克本人當(dāng)時都覺得難以置信。為回到經(jīng)典的理論體系，在一段時間內(nèi)他總想用能量的連續(xù)性來解決黑體輻射問題，但都沒有成功。第13頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四2.黑體輻射的兩個定律斯忒藩-玻爾茲曼定律說明了黑體輻出度與溫度的關(guān)系：斯忒藩-玻耳茲曼常量能譜分布曲線的峰值對應(yīng)的波長m與溫度T的乘積為一常數(shù)。含義：隨著溫度的升高，單色輻出度的峰值向短波方向移動。(1)斯忒藩

-玻耳茲曼定律(2)維恩位移定律維恩常量第14頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例：直徑10cm、焦距50cm的凸透鏡將太陽的像聚焦在置于焦平面上的一個涂有黑色的粗糙金屬片上，金屬片大小與太陽的像一樣大。太陽與金屬片均視為黑體。設(shè)太陽溫度為5.9×103K，求金屬片可達(dá)到的最高溫度。解：太陽輻出度到達(dá)透鏡功率：會聚到達(dá)黑色金屬光屏成象，設(shè)其溫度為T，又由幾何光路圖有：代入整理得：﹜rR﹛第15頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四13.2.2愛因斯坦的光電效應(yīng)方程愛因斯坦在普朗克能量子假設(shè)的基礎(chǔ)上進一步提出了光子假設(shè)：光不僅在發(fā)射和吸收時以能量為h的微粒形式出現(xiàn)，而且在空間傳播時也是如此。頻率為的光是由大量能量為=h光子組成的粒子流，這些光子沿光的傳播方向以光速c運動。光子的能量：愛因斯坦光電效應(yīng)方程：式中：A為電子逸出金屬表面所需做的功，稱為逸出功；為光電子的最大初動能。第16頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四愛因斯坦對光電效應(yīng)的實驗解釋：1.入射光的強度I取決于單位時間內(nèi)垂直通過單位面積的光子數(shù)n。入射光較強時，含有的光子數(shù)較多，所以獲得能量而逸出的電子數(shù)也多，飽和電流自然也就大。2.當(dāng)h<A時，電子無法獲得足夠能量脫離金屬表面，因此存在紅限0。不同金屬具有不同的截止頻率。第17頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四4.入射光中光子的能量被金屬表面的電子一次吸收，因此具有瞬時性。初動能及反向遏止電壓與成正比，而與光強無關(guān)。3.根據(jù)光子能量：光子的質(zhì)量：光子的動量：

光子的質(zhì)量、能量和動量第18頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例：已知銀的光電效應(yīng)截止波長0=350nm，當(dāng)用波長為250nm的紫外光照射時，求逸出光電子最大初動能Ek和銀的逸出功A0。解：第19頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四13.2.3康普頓散射愛因斯坦斷言光是由光子組成，但真正證明光是由光子組成的是康普頓散射實驗。192223年康普頓研究了X射線在石墨上的散射。光闌X

射線管探測器X

射線譜儀晶體0散射波長,0石墨體(散射物質(zhì))φ0第20頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四1.康普頓散射的實驗規(guī)律

在X射線通過物質(zhì)散射時，散射線中除有與入射線波長相同的射線外，還有比入射線波長更大的射線，其波長的改變量與散射角有關(guān)，而與入射線波長0和散射物質(zhì)都無關(guān)。波長的改變量滿足如下關(guān)系：式中：C=2.410-12m稱為康普頓波長。它表示散射角為90o時，散射波長改變的值。這種改變波長的散射稱為康普頓效應(yīng)。經(jīng)典理論無法解釋康普頓散射的實驗規(guī)律。第21頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四2.康普頓效應(yīng)的光量子理論解釋X射線是由一些能量為=h的光子組成，并且這些光子與自由電子發(fā)生完全彈性碰撞。在輕原子中，原子核對電子的束縛較弱，可以把電子看作是靜止的自由電子。反沖電子碰撞前：光子能量為ho，動量為ho/c；電子的能量為moc2，動量為零。碰撞后：光子散射角為，光子能量為h，動量為h/c；電子飛出的方向與入射光子的夾角為，它的能量為，動量為。第22頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四反沖電子碰撞過程能量守恒動量守恒聯(lián)立以上三式，可以解得：第23頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四散射波長改變量：康普頓效應(yīng)中，波長改變的原因：當(dāng)一個光子與散射物質(zhì)中的一個自由電子碰撞后，電子獲得一部分能量，同時光子將沿某一方向散射，散射的光子能量減小，頻率減小，波長變長?？灯疹D波長：康普頓散射進一步證實了光子理論的正確性，還證明了在微觀領(lǐng)域中也是嚴(yán)格遵守能量、動量守恒定律。第24頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四說明:1.散射波長改變量的數(shù)量級為10-12m，可見光波長的數(shù)量級~10-7m，<<，觀察不到康普頓效應(yīng)。2.散射光中有與入射光相同的波長的射線，是由于光子與原子碰撞，原子質(zhì)量很大，光子碰撞后，能量不變，散射光頻率不變。4.重原子中，內(nèi)層電子較多，而內(nèi)層電子束縛很緊。所以原子量大的物質(zhì)，康普頓效應(yīng)比原子量小的弱。3.當(dāng)=0時，光子頻率保持不變；=時，光子頻率減小最多。第25頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例：一個靜止電子與一能量為4.0103eV的光子碰撞后，它能獲得的最大動能是多少？解：光子與電子發(fā)生正碰而折回時，能量損失最大。碰撞后，電子獲得的能量最大，這時光子的波長為：這時光子的能量為：第26頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四3.光的波粒二象性光在傳播過程中表現(xiàn)出波動性，如干涉、衍射、偏振現(xiàn)象。光在與物質(zhì)發(fā)生作用時表現(xiàn)出粒子性，如光電效應(yīng)，康普頓效應(yīng)。光子能量和動量為上兩式左邊是描寫粒子性的E、P；右邊是描寫波動性的、。h將光的粒子性與波動性聯(lián)系起來。

關(guān)于光的本性問題，我們不應(yīng)該在微粒說和波動說之間進行取舍，而應(yīng)該把它們看作是光的本性的兩種不同側(cè)面的描述。第27頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四§13.4微觀粒子的波粒二象性13.4.1德布羅意物質(zhì)波的假設(shè)1.物質(zhì)波的引入

1923年，德布羅意第一次提出了實物粒子具有波動性觀點。實物粒子：靜止質(zhì)量不為零的微觀粒子。實物粒子和光子一樣，也具有波粒二象性。如果用能量E和動量p來表征實物粒子的粒子性，則可用頻率和波長來表示實物粒子的波動性。光(波)具有粒子性，那么實物粒子具有波動性嗎?實物粒子的波稱為德布羅意波或物質(zhì)波，物質(zhì)波的波長稱為德布羅意波長。第28頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四2.德布羅意公式德布羅意把愛因斯坦對光的波粒二象性描述應(yīng)用到實物粒子，動量為p的粒子波長：頻率與能量關(guān)系：德布羅意公式物質(zhì)波的概念可以成功地解釋原子中令人困惑的軌道量子化條件。波長第29頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例：試計算動能分別為100eV、1keV、1MeV、1GeV的電子的德布羅意波長。解：由相對論公式：得：若Ek<<m0c2，若Ek>>m0c2，第30頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四Ek=100eV時，Ek<<m0c2，Ek=1keV時，Ek<<m0c2，Ek=1MeV時，電子靜能E0=m0c2=0.51MeV，EK=1GeV時，Ek>>m0c2，第31頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例：質(zhì)量m=50kg的人，以v=15m/s的速度運動，試求人的德布羅意波波長。解：人的德波波長儀器觀測不到，宏觀物體的波動性不必考慮，只考慮其粒子性。電子的德波波長很短，用于電子顯微鏡衍射效應(yīng)小，可放大200萬倍。例：求靜止電子經(jīng)15000V電壓加速后的德波波長。解：靜止電子經(jīng)電壓U加速后的動能第32頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四§13.5波函數(shù)不確定關(guān)系13.5.1波函數(shù)物質(zhì)波可以用一個隨時間和空間變化的函數(shù)來描述，這個函數(shù)稱為波函數(shù)，通常用來表示。在一維空間量，波函數(shù)寫成(x,t)，在三維空間里寫成。自由粒子的波函數(shù)自由粒子不受外力作用，它在運動過程中作勻速直線運動（設(shè)沿X軸），其能量和動量保持不變。結(jié)論：自由粒子的物質(zhì)波是單色平面波。對應(yīng)的德布羅意波頻率和波長：第33頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四一個頻率為、波長為沿x方向傳播的單色平面波的表達(dá)式：利用波粒二象性的關(guān)系式，用描述粒子性的物理量來代替描述波動性的物理量，在量子力學(xué)中，波函數(shù)常寫成復(fù)數(shù)形式，這個波函數(shù)既包含有反映波動性的波動方程的形式，又包含有體現(xiàn)粒子性的物理量E和P，因此它描述了微觀粒子具有波粒二象性的特征。第34頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四*為的復(fù)共軛函數(shù)。根據(jù)波動理論，波函數(shù)的強度正比于02。注意：微觀粒子物質(zhì)波的波函數(shù)只能用復(fù)數(shù)形式來表達(dá)。不能用實數(shù)形式來表達(dá)。利用復(fù)指數(shù)函數(shù)的運算法則，有：

在一般情況下，粒子的波函數(shù)不是單色平面波的形式，而是空間和時間的復(fù)雜函數(shù)。

對三維空間，沿矢徑方向傳播的自由粒子的波函數(shù)為：第35頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四13.5.2波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋1.波動－粒子兩重性矛盾的分析觀點一：把粒子性包容在波動性這中，認(rèn)為物質(zhì)波是三維空間連續(xù)分布的某種物質(zhì)“波包”，因而呈現(xiàn)干涉和衍射的現(xiàn)象。物質(zhì)波包的大小，就是粒子的大小，波包的群速度就是粒子運動的速度。觀點二：粒子性是最基本的，波是由大量粒子分布于空間而形成的疏密波，波動性是粒子間相互作用的結(jié)果。以上兩種觀點都是錯誤的。為人們所接受的對于波函數(shù)的解釋是由玻恩首先提出來的：德布羅意波并不像經(jīng)典波那樣是代表實在物理量的波動，而是描述粒子在空間的概率分布的“概率波”。第36頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四2.概率波光的單縫衍射和電子的單縫衍射的比較：從波動性看，對光的衍射現(xiàn)象，空間某處光強與光波在該處振幅平方成正比，衍射極大值對應(yīng)光振動振幅平方的極大值，衍射極小值對應(yīng)振幅平方的極小值。用這種觀點分析實物粒子衍射實驗，可以看到在衍射極大值處，波函數(shù)的振幅平方＊具有極大值，在衍射極小值處，波函數(shù)的振幅平方＊具有極小值。從粒子的觀點看，對光的衍射現(xiàn)象，光的衍射極大值處找到光子的概率最大，極小值處找到光子的概率最小。第37頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四同樣，這種觀點對實物粒子衍射來說，在衍射極大值處，找到粒子的幾率最大，衍射極小值處，找到粒子的概率最小。結(jié)論：在某時刻t，在空間某處，波函數(shù)模的平方正比于粒子在該時刻、該地點出現(xiàn)的概率。3.波函數(shù)的物理意義波函數(shù)模的平方代表時刻t、在處粒子出現(xiàn)的概率密度。概率密度粒子在微小體積內(nèi)出現(xiàn)的概率：粒子在有限體積內(nèi)出現(xiàn)的概率：第38頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四概率密度強調(diào)：波函數(shù)本身并沒有直接的物理意義，有物理意義的是波函數(shù)模的平方。波函數(shù)的概念和通常的經(jīng)典波的概念不同，它不是那種純粹經(jīng)典的場量，而是一種比較抽象的幾率波。波函數(shù)既不描述粒子的形狀，也不描述粒子運動的軌跡，它只給出粒子運動的幾率分布。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋可說明電子單縫衍射實驗。第39頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四量子力學(xué)中描述微觀粒子狀態(tài)的方式與經(jīng)典力學(xué)中同時用坐標(biāo)和動量的確定值來描述質(zhì)點的狀態(tài)完全不同。這種差別來源于微觀粒子的波粒二象性。微觀粒子遵循的是統(tǒng)計規(guī)律，而不是經(jīng)典的決定性規(guī)律。牛頓說：只要給出了初始條件，下一時刻粒子的軌跡是已知的，決定性的。量子力學(xué)說：波函數(shù)不給出粒子在什么時刻一定到達(dá)某點，只給出到達(dá)各點的統(tǒng)計分布；即只知道||2大的地方粒子出現(xiàn)的可能性大，||2小的地方幾率小。一個粒子下一時刻出現(xiàn)在什么地方，走什么路徑是不知道的（非決定性的）。第40頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四4.波函數(shù)應(yīng)滿足的條件(1)歸一化條件任意時刻，在整個空間發(fā)現(xiàn)粒子的概率應(yīng)是1。(2)標(biāo)準(zhǔn)條件波函數(shù)必須滿足“單值、有限、連續(xù)”的條件，稱為波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件。也就是說，波函數(shù)必須連續(xù)可微，且一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)可微。(3)態(tài)疊加原理如果1，2，…所描寫的都是體系可能實現(xiàn)的狀態(tài)，它們的線性疊加所描寫的也是體系的一個可能實現(xiàn)的狀態(tài)。第41頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四如果波函數(shù)對整個空間的積分值是有限的，但不為零，則可以適當(dāng)選取波函數(shù)的系數(shù)，使這積分值為1，這個過程稱為波函數(shù)的歸一化過程。量子力學(xué)中的波函數(shù)具有一個獨特的性質(zhì)：波函數(shù)與波函數(shù)/=c（c為任意常數(shù)）所描寫的是粒子的同一狀態(tài)。原因：粒子在空間各點出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點的相對強度，而不決定于強度的絕對大小。如果把波函數(shù)在空間各點的振幅同時增大一倍，并不影響粒子在空間各點的幾率。所以將波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的粒子的狀態(tài)并不改變。第42頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四5.定態(tài)波函數(shù)定態(tài)波函數(shù)如果波函數(shù)(x,,y,z,t)可以表示為一個空間坐標(biāo)的函數(shù)(x,y,z)與一個時間函數(shù)的乘積，并且整個波函數(shù)隨時間的改變由因子決定，這個波函數(shù)就稱為“定態(tài)波函數(shù)”。此時粒子所處的狀態(tài)稱為“定態(tài)”。結(jié)論：粒子處于定態(tài)時，粒子在空間某點的概率不隨時間而改變。(x,y,z)通常稱為定態(tài)波函數(shù)。第43頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四例：粒子在一維空間運動，其狀態(tài)可用波函數(shù)描述為：其中A為任意常數(shù)，E和b均為確定的常數(shù)。求：歸一化的波函數(shù)；幾率密度？即：解：由歸一化條件，有：解得：第44頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四幾率密度如圖所示，在區(qū)間（b/2,b/2)以外找不到粒子。在x=0處找到粒子的幾率最大。b/2-b/2歸一化的波函數(shù)：第45頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四解：式中：L為勢阱寬度，n為量子數(shù)。求：（1）粒子在0xL/4區(qū)間出現(xiàn)的幾率；并對n=1和n=的情況算出概率值。（

2）在n=?的量子態(tài)上，粒子在x=L/4區(qū)間出現(xiàn)的概率密度最大。例：已知一維無限深勢阱中粒子的歸一化定態(tài)波函數(shù)為：（1）粒子在0xL/4區(qū)間出現(xiàn)的幾率：n=1時，n=時，第46頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四（2）粒子在x=L/4區(qū)間出現(xiàn)的概率密度：其最大值對應(yīng)于第47頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四13.5.4不確定關(guān)系1.位置與動量的不確定關(guān)系經(jīng)典粒子的軌道概念在多大程度上適用于微觀世界？1927年，海森伯分析了一些理想實驗并考慮到德布羅意關(guān)系，得出不確定度關(guān)系：粒子在同一方向上的坐標(biāo)和動量不能同時確定。電子通過單縫位置的不確定范圍x為：x

=

a，入射電子在x方向上無動量。電子通過單縫后，電子要到達(dá)屏上不同的點，具有x方向動量px，第48頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四其第一級的衍射角滿足：電子通過單縫后，x方向上的動量px的大小為：電子在x方向的動量的不確定量為：由德布羅意關(guān)系=h/p，得：即考慮到更高級的衍射圖樣，有：即第49頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四上述討論只是借助一個特例的粗略計算。式中：量子力學(xué)嚴(yán)格證明給出：推廣到三維空間，則還應(yīng)有：結(jié)論：微觀粒子的坐標(biāo)和動量不可能同時進行準(zhǔn)確的測量。也就是說，微觀粒子不可能同時具有確定的位置和動量。以上三式稱為海森伯坐標(biāo)與動量的不確定關(guān)系式。第50頁，共56頁，2023年，2月20日，星期四由于公式通常只用于數(shù)量級的估計，所以它又常簡寫為：在量子力學(xué)中，對能量和時間的同時測量也存在類似的不確定關(guān)系，E表示粒子能量的不確定量