數(shù)字信號(hào)處理（第3版）Ch2-5 DFT 計(jì)算信號(hào)頻譜

電子信息工程學(xué)院信號(hào)處理課程組數(shù)字信號(hào)處理DigitalSignalProcessing離散傅里葉變換

有限長(zhǎng)序列傅里葉分析離散傅里葉變換的性質(zhì)利用DFT計(jì)算線性卷積利用DFT分析信號(hào)頻譜利用MATLAB計(jì)算DFT利用DFT分析信號(hào)頻譜

連續(xù)非周期信號(hào)頻譜的DFT分析

混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象

由DFT分析信號(hào)頻譜的參數(shù)選取由DFT分析信號(hào)頻譜的應(yīng)用舉例DFT

抽樣連續(xù)非周期信號(hào)頻譜的DFT分析連續(xù)非周期信號(hào)頻譜的DFT分析i=600i=1200解：[例]已知語音信號(hào)x(t)的最高頻率為fm=3.4kHz，利用fsam=8kHz對(duì)x(t)抽樣。

若對(duì)抽樣信號(hào)進(jìn)行N=1600點(diǎn)DFT，試確定X[m]中m=600和m=1200所對(duì)應(yīng)的原連續(xù)信號(hào)的連續(xù)頻譜點(diǎn)f1和f2。t=(0:N-1)*T;x=T*exp(-t);X=fft(x，N);[例]求x(t)=e-tu(t)的幅度譜fsam=16Hz,N=256[例]求x(t)=e-tu(t)的幅度譜fsam=16Hz,N=256fftshift(X)將X[m]重排為w=-ws/2+(0:N-1)*ws/N例:試?yán)肕ATLAB由DFT近似計(jì)算x(t)=e-tu(t)的幅度頻譜并與理論值比較。fs=16;N=32;T=1/fs;ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*T;x=T*exp(-t);Xm=fftshift(fft(x));w=-ws/2+(0:N-1)*ws/N;wt=linspace(-ws/2,ws/2,1001);Xw=1./sqrt(1+wt.*wt);plot(wt/pi,Xw,'r');holdonstem(w/pi,abs(Xm),'k.');Legend('理論值','近似值');MATLAB程序如下：運(yùn)行結(jié)果如下：fsam=16Hz，N=32利用DFT分析信號(hào)頻譜

連續(xù)非周期信號(hào)頻譜的DFT分析

混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象

由DFT分析信號(hào)頻譜的參數(shù)選取由DFT分析信號(hào)頻譜的應(yīng)用舉例

利用DFT分析信號(hào)頻譜

DFT

抽樣時(shí)間有限

頻帶有限Perfect!混疊現(xiàn)象

DFT

抽樣時(shí)間有限

頻帶無限減小混疊現(xiàn)象措施：抗混濾波、減小抽樣間隔T抗混疊混疊現(xiàn)象

抽樣T減小減小混疊現(xiàn)象措施：抗混濾波、減小抽樣間隔T抗混疊DFT分析x(t)=e-tu(t)的幅度譜泄漏現(xiàn)象

DFT

抽樣時(shí)間無限

頻帶有限加窗泄漏現(xiàn)象：信號(hào)截?cái)嘁鸬念l譜中出現(xiàn)了多余的高頻分量時(shí)域截短例：利用DFT分析無窮長(zhǎng)余弦信號(hào)的頻譜。利用DFT分析結(jié)果頻率泄露解：例：利用DFT分析無窮長(zhǎng)余弦信號(hào)的頻譜。分析：

抽樣加窗矩形窗例：利用DFT分析無窮長(zhǎng)余弦信號(hào)的頻譜。分析：

抽樣加窗頻率泄露對(duì)譜分析有什么影響？頻率泄露泄漏現(xiàn)象N=20DFT

抽樣加窗不能分辨兩個(gè)譜峰如何提高頻率分辨率?泄漏現(xiàn)象

矩形窗函數(shù)的頻譜由主瓣和旁瓣組成，主瓣在原點(diǎn)處出現(xiàn)峰值。由于矩形窗函數(shù)在其兩個(gè)端點(diǎn)處突然截?cái)?，使得頻譜中存在一些幅度較大的高頻旁瓣分量。矩形窗泄漏現(xiàn)象旁瓣峰值衰耗：主瓣有效寬度：DFT

抽樣加窗矩形窗口寬度矩形窗主瓣有效寬度矩形窗泄漏現(xiàn)象提高頻率分辨率措施：增加窗函數(shù)的長(zhǎng)度N如何確定合適的N？DFT

抽樣加窗矩形窗口寬度矩形窗主瓣有效寬度矩形窗泄漏現(xiàn)象提高頻率分辨率措施：增加窗函數(shù)的長(zhǎng)度N如何確定合適的N？例：已知某連續(xù)信號(hào)為x(t)=cos(2pf1t)+cos(2pf2t),f1=100Hz,f2=120Hz.

若以抽樣頻率fsam=600Hz對(duì)該信號(hào)進(jìn)行抽樣，試計(jì)算由DFT分析其頻譜時(shí)，能夠分辨此兩個(gè)譜峰所需的最少樣本點(diǎn)數(shù)。解：矩形窗主瓣有效寬度N=60矩形窗例：已知某連續(xù)信號(hào)為x(t)=cos(2pf1t)+cos(2pf2t),f1=100Hz,f2=120Hz.

若以抽樣頻率fsam=600Hz對(duì)該信號(hào)進(jìn)行抽樣，試計(jì)算由DFT分析其頻譜時(shí)，能夠分辨此兩個(gè)譜峰所需的最少樣本點(diǎn)數(shù)。解：矩形窗主瓣有效寬度

N=30矩形窗例：已知某連續(xù)信號(hào)為x(t)=cos(2pf1t)+cos(2pf2t),f1=100Hz,f2=120Hz.

若以抽樣頻率fsam=600Hz對(duì)該信號(hào)進(jìn)行抽樣，試計(jì)算由DFT分析其頻譜時(shí)，能夠分辨此兩個(gè)譜峰所需的最少樣本點(diǎn)數(shù)。

N=30N=60解：矩形窗矩形窗解：例：已知某連續(xù)信號(hào)為x(t)=cos(2pf1t)+0.15cos(2pf2t),f1=100Hz,f2=150Hz

若以抽樣頻率fsam=600Hz對(duì)該信號(hào)進(jìn)行抽樣，試計(jì)算由DFT分析其頻譜時(shí)，能夠分辨此兩個(gè)譜峰所需的最少樣本點(diǎn)數(shù)。N=24N=48矩形窗矩形窗如何分辨幅值較小的頻率分量？泄漏現(xiàn)象Hanning漢寧窗主瓣有效寬度：旁瓣峰值衰耗：泄漏現(xiàn)象Hamming海明窗主瓣有效寬度：旁瓣峰值衰耗：泄漏現(xiàn)象Blackman布萊克曼窗主瓣有效寬度：旁瓣峰值衰耗：泄漏現(xiàn)象Kaiser凱塞窗主瓣有效寬度：旁瓣峰值衰耗：b=5.86

常用窗函數(shù)特性

窗函數(shù)類型主瓣有效寬度旁瓣峰值衰耗矩形(Rectangle)2p

/N13dB漢寧(Hanning)4p

/N31dB海明(Hamming)4p

/N41dB布萊克曼(Blackman)6p

/N57dB凱塞(Kaiser)b=5.865p

/N57dB解：例：已知某連續(xù)信號(hào)為x(t)=cos(2pf1t)+0.15cos(2pf2t),f1=100Hz,f2=150Hz

若以抽樣頻率fsam=600Hz對(duì)該信號(hào)進(jìn)行抽樣，試計(jì)算由DFT分析其頻譜時(shí)，能夠分辨此兩個(gè)譜峰所需的最少樣本點(diǎn)數(shù)。海明窗N=48海明窗的主瓣有效寬度：海明窗采用海明窗解：例：已知某連續(xù)信號(hào)為x(t)=cos(2pf1t)+0.15cos(2pf2t),f1=100Hz,f2=150Hz

若以抽樣頻率fsam=600Hz對(duì)該信號(hào)進(jìn)行抽樣，試計(jì)算由DFT分析其頻譜時(shí)，能夠分辨此兩個(gè)譜峰所需的最少樣本點(diǎn)數(shù)。利用Hamming窗N=48;L=512;f1=100;f2=150;fs=600;T=1/fs;ws=2*pi*fs;t=(0:N-1)*T;f=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2*t);wh=(hamming(N))';f=f.*wh;F=fftshift(fft(f,L));w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);plot(w,abs(F));ylabel('幅度譜')xlabel('頻率(Hz)')MATLAB程序如下：泄漏現(xiàn)象期望的窗函數(shù)主瓣寬度越小越好旁瓣衰耗越大越好實(shí)際的窗函數(shù)主瓣窄、旁瓣衰耗小主瓣寬、旁瓣衰耗大根據(jù)實(shí)際情況合理選擇窗函數(shù)窗口類型選擇泄漏現(xiàn)象

DFT

抽樣時(shí)間無限

頻帶有限加窗減小泄漏現(xiàn)象方法：選擇合適的窗函數(shù)——減小旁瓣幅度的影響增加窗的長(zhǎng)度（信號(hào)持續(xù)時(shí)間）——減小主瓣寬度的影響時(shí)域截短?hào)艡诂F(xiàn)象

DFT

抽樣時(shí)間無限頻帶無限加窗泄漏現(xiàn)象時(shí)域截短

DFT點(diǎn)數(shù)混疊現(xiàn)象

序列后補(bǔ)零，可以觀察到頻譜中的更多細(xì)節(jié)柵欄現(xiàn)象序列補(bǔ)零：

柵欄現(xiàn)象譜線間隔：補(bǔ)零后的譜線間隔：例：已知某連續(xù)信號(hào)為x(t)=cos(2pf1t)+cos(2pf2t),f1=100Hz,f2=120Hz。 若以抽樣頻率fsam=600Hz對(duì)該信號(hào)進(jìn)行抽樣，由DFT分析其頻譜。

矩形窗口寬度N=30，試比較DFT點(diǎn)數(shù)分別為64,128,256時(shí)得出的頻譜。解：N=30N=30

L=64,N=30

L=128N=30

L=256利用DFT分析信號(hào)頻譜

連續(xù)非周期信號(hào)頻譜的DFT分析

混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象

由DFT分析信號(hào)頻譜的參數(shù)選取

由DFT分析信號(hào)頻譜的應(yīng)用舉例由DFT分析信號(hào)頻譜的參數(shù)選取頻譜泄漏

頻譜混疊

柵欄現(xiàn)象抽樣頻率:窗的長(zhǎng)度或采集時(shí)間:DFT點(diǎn)數(shù):DFT

抽樣加窗抗混疊例：

試?yán)肈FT分析某連續(xù)信號(hào)，已知其最高頻率為1000Hz，信號(hào)的頻譜分辨率小于2.0Hz，譜線的間隔為0.5Hz。DFT的點(diǎn)數(shù)必須為2的整數(shù)次冪，確定以下參數(shù)：抽樣間隔、采集時(shí)間、抽樣點(diǎn)數(shù)、DFT點(diǎn)數(shù)。(1)最大的抽樣間隔Tmax為(4)最少的DFT點(diǎn)數(shù)L為(3)最少的抽樣點(diǎn)數(shù)N為(2)最短的采集時(shí)間Tp為解：選取L=4096=212利用DFT分析信號(hào)頻譜DFT

抽樣加窗抗混疊(2)既然頻譜分辨率?fc與信號(hào)采集時(shí)間Tp成反比，是否意味著在工程實(shí)際中，頻譜分辨率?fc的指標(biāo)可以很容易實(shí)現(xiàn)？(3)如何合理選擇窗函數(shù)類型（矩形、漢寧、海明、凱澤、布萊克曼）？由于加窗截短信號(hào)造成頻譜泄漏，可否通過在截短后序列補(bǔ)零得到改善？利用DFT分析信號(hào)頻譜

連續(xù)非周期信號(hào)頻譜的DFT分析

混疊現(xiàn)象、泄漏現(xiàn)象、柵欄現(xiàn)象

由DFT分析信號(hào)頻譜的參數(shù)選取

由DFT分析信號(hào)頻譜的應(yīng)用舉例手機(jī)App由DFT分析信號(hào)頻譜的應(yīng)用舉例音階的頻譜分析

A大調(diào)B大調(diào)C大調(diào)每個(gè)音階由基波頻率不同的正弦分量構(gòu)成D大調(diào)E大調(diào)F大調(diào)G大調(diào)音調(diào)越來越高各大調(diào)音階的基波頻率是多少?A大調(diào)音階時(shí)域波形與頻譜音名DoReMiFaSoLaSiDo2頻率220247277294330370415440A大調(diào)音名DoReMiFaSoLaSiDo2頻率262294330349392440494523C大調(diào)音階時(shí)域波形與頻譜C大調(diào)E大調(diào)音階時(shí)域波形與頻譜音名DoReMiFaSoLaSiDo2頻率330370415440494554622659E大調(diào)不含諧波含諧波從頻譜圖無法判斷各音階的頻率分布兩者音色不同以C大調(diào)音階為例音階的頻譜分析音階的頻譜分析根據(jù)時(shí)域波形特點(diǎn)，分割出各音階——加窗截短分析Do-Do2各音階的頻譜，以獲得其頻率構(gòu)成。音階的頻譜分析音階基波頻率諧波分布(頻率Hz/幅度)Do262524/0.38786/0.181048/0.1Re294588/0.38882/0.181176/0.1Mi33