數(shù)字信號(hào)處理課件第七章

第七章有限長(zhǎng)單位沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)DesignofFIRDigitalFiltersIIR數(shù)字濾波器：

可以利用模擬濾波器設(shè)計(jì)

但相位非線性FIR數(shù)字濾波器：

可以嚴(yán)格線性相位，又可任意幅度特性

因果穩(wěn)定系統(tǒng)

濾波可用FFT計(jì)算

但階次比IIR濾波器要高得多§7-1 引言§7-2線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)FIR濾波器的單位沖激響應(yīng)：系統(tǒng)函數(shù)：在z平面有N–1個(gè)零點(diǎn)在z=0處是N–1階極點(diǎn)

一、線性相位條件h(n)為實(shí)序列時(shí)，其頻率響應(yīng)：

第二類線性相位：

第一類線性相位：線性相位：是指

是

的線性函數(shù)，即群延時(shí)是常數(shù)幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)相位函數(shù)幅度函數(shù)第一類線性相位：即可實(shí)現(xiàn)第一類線性相位。分析：

若，則在兩側(cè)關(guān)于n奇對(duì)稱。如果進(jìn)一步使h(n)也在兩側(cè)偶對(duì)稱，即則奇對(duì)稱，上述條件既可滿足。滿足第一類線性相位的充要條件：（后面會(huì)驗(yàn)證，只要滿足h(n)的對(duì)稱要求，就可以得到延時(shí)為的線性相位系統(tǒng)）

為h(n)的偶對(duì)稱中心第一類線性相位：二滿足此時(shí)即可實(shí)現(xiàn)第二類線性相位。分析：若，則當(dāng)時(shí)，關(guān)于

偶對(duì)稱。如果進(jìn)一步使h(n)也在兩側(cè)奇對(duì)稱，即則奇對(duì)稱，上述條件既可滿足。第二類線性相位的充要條件：

為h(n)的奇對(duì)稱中心系統(tǒng)函數(shù)：若二、線性相位的證明：頻率響應(yīng)：1、h(n)偶對(duì)稱：

為第一類線性相位相位函數(shù)：頻率響應(yīng)：2、h(n)奇對(duì)稱：相位函數(shù)：為第二類線性相位三、幅度函數(shù)的特點(diǎn)

1、h(n)偶對(duì)稱，N為奇數(shù)幅度函數(shù)：

其中：

其中：2、h(n)偶對(duì)稱，N為偶數(shù)幅度函數(shù)：

其中：

其中：

故不能設(shè)計(jì)成高通、帶阻濾波器

3、h(n)奇對(duì)稱，N為奇數(shù)幅度函數(shù)：其中：其中：

4、h(n)奇對(duì)稱，N為偶數(shù)幅度函數(shù)：

其中：

其中：

（四種FIR的特性歸納在P330(P472)

表7-1）四、零點(diǎn)位置

得：由（1）若z=zi是H(z)的零點(diǎn)，則z=zi-1也是零點(diǎn)（2）h(n)為實(shí)數(shù)，則零點(diǎn)共軛成對(duì)

線性相位濾波器的零點(diǎn)是互為倒數(shù)的共軛對(duì)，即共軛成對(duì)且鏡像成對(duì)。1）零點(diǎn)不在實(shí)軸上，也不在單位圓上：零點(diǎn)：零點(diǎn)分布有以下幾種可能：化為實(shí)系數(shù)二階多項(xiàng)式形式：2）零點(diǎn)在單位圓上，但不在實(shí)軸上：零點(diǎn)：3）零點(diǎn)在實(shí)軸上，但不在單位圓上：零點(diǎn)：4）零點(diǎn)既在實(shí)軸上，又在單位圓上：零點(diǎn)：作業(yè)：

P371：9（1、2）

第四版P561：12（1、2）§7-3窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（也稱為傅立葉級(jí)數(shù)法）一、設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)要求：設(shè)計(jì)一個(gè)FIR濾波器，使頻率響應(yīng)逼近要求的理想的濾波器的頻率響應(yīng)。即：Windowingdesignmethod

本設(shè)計(jì)方法是在時(shí)域中進(jìn)行的。對(duì)理想的頻域要求做反變換：得到的序列是無(wú)限長(zhǎng)的，且非因果的。用一個(gè)有限長(zhǎng)序列來(lái)逼近它，最有效的方法是截?cái)嘣蛄?，或者說(shuō)用一個(gè)有限長(zhǎng)度的窗口函數(shù)序列來(lái)截取原序列。即：

以低通濾波器為例：線性相位理想低通濾波器的頻率響應(yīng)：其理想單位抽樣響應(yīng)：是中心點(diǎn)在

的偶對(duì)稱無(wú)限長(zhǎng)非因果序列

取矩形窗：則FIR濾波器的單位抽樣響應(yīng)：按第一類線性相位條件，得rectangularwindow

加窗處理后頻率響應(yīng)的變化：時(shí)域乘積對(duì)應(yīng)于頻域卷積而矩形窗的頻率響應(yīng)：理想濾波器的頻率響應(yīng)：其幅度函數(shù)：則FIR濾波器的頻率響應(yīng)：

幅度函數(shù)：

加窗處理對(duì)頻率響應(yīng)的影響：(1)理想頻率特性不連續(xù)點(diǎn)處邊沿加寬形成過(guò)渡帶，其寬度（兩肩峰之間的寬度）等于窗函數(shù)頻率響應(yīng)的主瓣寬度。

注：兩肩峰之間的寬度不是實(shí)際的濾波器過(guò)渡帶寬。(2)在處出現(xiàn)肩峰值，兩側(cè)形成起伏振蕩，振蕩的幅度和多少取決于旁瓣的幅度和多少(3)改變N只能改變窗譜的主瓣寬度，但不能改變主瓣與旁瓣的相對(duì)比例。其相對(duì)比例由窗函數(shù)形狀決定，稱為Gibbs效應(yīng)。對(duì)于矩形窗，最大相對(duì)肩峰的偏離為8.95%，基本不隨N變化。（不是絕對(duì)可和，而是平方可和。）參見P75~76一致收斂均方收斂二、各種窗函數(shù)

對(duì)窗函數(shù)的希望：

窗譜主瓣盡可能窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶

盡量減少窗譜最大旁瓣的相對(duì)幅度，以減小肩峰和波紋主瓣與旁瓣的要求往往有矛盾。1.矩形窗主瓣寬度：旁瓣幅度：（最大相對(duì)值即-13dB）窗譜：幅度函數(shù)：

（阻帶最小衰減不夠大）旁瓣最大發(fā)生在，主瓣幅度為Nrectangularwindow2.三角形窗主瓣寬度寬：旁瓣幅度比矩形窗?。ㄗ畲?25dB）窗譜：BartlettWindow幅度函數(shù)：

應(yīng)為N-1，近似為N最小衰減也是25dB漢寧窗（升余弦窗）HanningWindowraisedcosinewindow主瓣寬度寬：旁瓣幅度比三角窗?。ㄗ畲?31dB）幅度函數(shù)：

阻帶最小衰減44dB4.海明（Hamming）窗 （改進(jìn)的升余弦窗）主瓣寬度寬：旁瓣幅度更小

（最大-41dB）幅度函數(shù)：

HammingWindow阻帶最小衰減53dB5.布萊克曼窗 （二階升余弦窗）主瓣寬度最寬：旁瓣幅度最小

（最大-57dB）幅度函數(shù)：

BlackmanWindow阻帶最小衰減

74dB6.凱澤窗

：第一類變形零階 貝塞爾函數(shù)KaiserWindow-21-25-44-53-74-800.92.13.13.35.5524446-13-25-31-41-57-57矩形窗三角形窗漢寧窗海明窗布拉克曼窗凱澤窗阻帶最小衰減/dB過(guò)渡帶寬主瓣寬度旁瓣峰值/dB加窗后濾波器性能指標(biāo)窗譜性能指標(biāo)窗函數(shù)阻帶最小衰減只由窗形狀決定過(guò)渡帶寬則與窗形狀和窗寬N都有關(guān)各種窗的比較：三、窗函數(shù)法的設(shè)計(jì)步驟給定所要求的頻率響應(yīng)函數(shù)；求：；由過(guò)渡帶寬及阻帶最小衰減的要求，選擇窗的形狀以及N的大??；求：求，檢驗(yàn)是否滿足設(shè)計(jì)要求，如不滿足則需要重新設(shè)計(jì)。

四、窗函數(shù)法計(jì)算中的主要問(wèn)題為了便于在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算，利用FFT完成第二步的反變換：只要M>>N即可。

窗函數(shù)設(shè)計(jì)法的另一個(gè)困難是需要預(yù)先確定窗函數(shù)的形狀和窗函數(shù)的點(diǎn)數(shù)N，以滿足給定的頻率響應(yīng)指標(biāo)。這一困難可利用計(jì)算機(jī)采用累試法加以解決。

窗函數(shù)法的特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：方法簡(jiǎn)單，有閉合形式的公式可循；缺點(diǎn)：通帶、阻帶的截止頻率不易控制。五、線性相位FIR低通濾波器的設(shè)計(jì)解：1）求數(shù)字頻率例：設(shè)計(jì)一個(gè)線性相位FIR低通濾波器， 給定抽樣頻率為，

通帶截止頻率為，

阻帶起始頻率為，

阻帶衰減不小于-50dB，幅度特性如圖所示2）求hd(n)4）確定N值3）選擇窗函數(shù)：由確定海明窗（-53dB）5）確定FIR濾波器的h(n)6）求，驗(yàn)證若不滿足，則改變N或窗形狀重新設(shè)計(jì)六、線性相位FIR高通濾波器的設(shè)計(jì)其單位抽樣響應(yīng)：理想高通的頻響：？？七、線性相位FIR帶通濾波器的設(shè)計(jì)其單位抽樣響應(yīng)：理想帶通的頻響：八、線性相位FIR帶阻濾波器的設(shè)計(jì)其單位抽樣響應(yīng)：理想帶阻的頻響：作業(yè)：

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第四版P561：13§7-6IIR與FIR數(shù)字濾波器的比較階數(shù)比：對(duì)相同的衰減速度要求，

IIR濾波器的階數(shù)少，

FIR濾波器的階數(shù)多。階數(shù)比：5–10IIR系統(tǒng)簡(jiǎn)單，較為經(jīng)濟(jì)。

2.線性相位：

FIR濾波器可得到嚴(yán)格的線性相位；而IIR濾波器做不到。order穩(wěn)定性：

FIR濾波器一般采用非遞歸結(jié)構(gòu)，因而有限字長(zhǎng)引起的誤差不會(huì)影響其穩(wěn)定性，系統(tǒng)是絕對(duì)穩(wěn)定的。

IIR濾波器必須采用遞歸結(jié)構(gòu)，運(yùn)算中的四舍五入處理有時(shí)會(huì)引起寄生震蕩。利用FFT：

FIR濾波器可以利用FFT進(jìn)行信號(hào)處理；

而IIR不可以。設(shè)計(jì)方法：

IIR濾波器可以借助模擬濾波器設(shè)計(jì)現(xiàn)成的閉合公式等等，比較簡(jiǎn)單；而FIR濾波器的設(shè)計(jì)只能借助于計(jì)算機(jī)。應(yīng)用：

IIR濾波器設(shè)計(jì)主要