量子力學(xué)課件新

量子力學(xué)課件新第1頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四（一）近似方法的重要性

前幾章介紹了量子力學(xué)的基本理論，使用這些理論解決了一些簡單問題。如：（1）一維無限深勢阱問題；（2）線性諧振子問題；（3）勢壘貫穿問題；（4）氫原子問題。 這些問題都給出了問題的精確解析解。 然而，對于大量的實際物理問題，Schrodinger方程能有精確解的情況很少。通常體系的Hamilton量是比較復(fù)雜的，往往不能精確求解。因此，在處理復(fù)雜的實際問題時，量子力學(xué)求問題近似解的方法（簡稱近似方法）就顯得特別重要?！?.0引言返回第2頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四（二）近似方法的出發(fā)點近似方法通常是從簡單問題的精確解（解析解）出發(fā)，來求較復(fù)雜問題的近似（解析）解。（三）近似解問題分為兩類（1）體系Hamilton量不是時間的顯函數(shù)——定態(tài)問題1.定態(tài)微擾論；2.變分法。（2）體系Hamilton量顯含時間——狀態(tài)之間的躍遷問題1.與時間t有關(guān)的微擾理論；2.常微擾。第3頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§5.1非簡并定態(tài)微擾理論返回（一）微擾體系方程（二）態(tài)矢和能量的一級修正（三）能量的二階修正（四）微擾理論適用條件（五）討論（六）實例第4頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四

微擾法不是量子力學(xué)所特有的方法，在處理天體運行的天體物理學(xué)中，計算行星運行軌道時，就是使用微擾方法。計算中需要考慮其他行星影響的二級效應(yīng)。 例如，地球受萬有引力作用繞太陽轉(zhuǎn)動，可是由于其它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，計算所使用的方法是：首先把太陽和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個軌道受其它行星的影響而發(fā)生的變化?？删_求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設(shè)體系Hamilton量不顯含時間，而且可分為兩部分：（一）微擾體系方程第5頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四

H(0)

所描寫的體系是可以精確求解的，其本征值En(0)

，本征矢|ψn(0)>滿足如下本征方程：另一部分H’是很小的（很小的物理意義將在下面討論）可以看作加于H(0)

上的微小擾動?，F(xiàn)在的問題是如何求解微擾后Hamilton量H的本征值和本征矢，即如何求解整個體系的Schrodinger方程：當H’=0時，|ψn>=|ψn

(0)>,En=En

(0)

；當H’≠0時，引入微擾，使體系能級發(fā)生移動，由En

(0)→En，狀態(tài)由|ψn

(0)>→|ψn>。為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫為：其中λ是很小的實數(shù)，表征微擾程度的參量。第6頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四因為En、|ψn>都與微擾有關(guān)，可以把它們看成是λ的函數(shù)而將其展開成λ的冪級數(shù)：其中En(0),λEn(1),λ2En(1),...分別是能量的0級近似，能量的一級修正和二級修正等；而|ψn

(0)>,λ|ψn

(1)>,λ2|ψn

(2)>,...分別是狀態(tài)矢量0級近似，一級修正和二級修正等。代入Schrodinger方程得：乘開得：第7頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)等式兩邊λ同冪次的系數(shù)應(yīng)該相等，可得到如下一系列方程式:整理后得：上面的第一式就是H(0)的本征方程，第二、三式分別是|ψn(1)>和|ψn(2)>所滿足的方程，由此可解得能量和態(tài)矢的第一、二級修正。第8頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四現(xiàn)在我們借助于未微擾體系的態(tài)矢|ψn(0)>和本征能量En(0)來導(dǎo)出擾動后的態(tài)矢|ψn

>和能量En的表達式。(1)能量一級修正λEn(1)根據(jù)力學(xué)量本征矢的完備性假定，H(0)的本征矢|ψn(0)>是完備的，任何態(tài)矢量都可按其展開，|ψn(1)>也不例外。因此我們可以將態(tài)矢的一級修正展開為：akn(1)=<ψk(0)|ψn(1)>代回前面的第二式并計及第一式得：左乘<ψm(0)|（二）態(tài)矢和能量的一級修正第9頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四考慮到本征基矢的正交歸一性：考慮兩種情況1.m=n2.m≠n準確到一階微擾的體系能量：其中能量的一級修正等于微擾Hamilton量在0級態(tài)矢中的平均值第10頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四（2）態(tài)矢的一級修正|ψn(1)>為了求出體系態(tài)矢的一級修正，我們先利用擾動態(tài)矢|ψn>的歸一化條件證明上式展開系數(shù)中ann(1)=0（可以取為0）?；趞ψn>的歸一化條件并考慮上面的展開式，證：由于歸一，所以ann

(1)的實部為0。ann

(1)是一個純虛數(shù)，故可令ann

(1)=i（為實）。第11頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四 上式結(jié)果表明，展開式中，ann(1)|ψn(0)>項的存在只不過是使整個態(tài)矢量|ψn>增加了一個相因子，這是無關(guān)緊要的。所以我們可取

=0，即ann(1)=0。這樣一來，態(tài)矢的一級近似為：與求態(tài)矢的一階修正一樣，將|ψn(2)>按|ψn(0)>展開：與|ψn(1)>展開式一起代入關(guān)于2的第三式（三）能量的二階修正第12頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四左乘態(tài)矢

<ψm(0)|1.當m=n時在推導(dǎo)中使用了微擾矩陣的厄密性正交歸一性第13頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四2.當m≠n時能量的二級修正在計及二階修正后，擾動體系能量本征值由下式給出：第14頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四總結(jié)上述，在非簡并情況下，受擾動體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：欲使二式有意義，則要求二級數(shù)收斂。由于不知道級數(shù)的一般項，無法判斷級數(shù)的收斂性，我們只能要求級數(shù)已知項中，后項遠小于前項。由此我們得到微擾理論適用條件是：這就是本節(jié)開始時提到的關(guān)于H’

很小的明確表示式。當這一條件被滿足時，由上式計算得到的一級修正通?？山o出相當精確的結(jié)果。（四）微擾理論適用條件第15頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四微擾適用條件表明：（2）|En(0)

–Ek(0)|要大，即能級間距要寬。例如：在庫侖場中，體系能量（能級）與量子數(shù)n2成反比，即En=-μZ2e2/22n2(n=1,2,3,...)由上式可見，當n大時，能級間距變小，因此微擾理論不適用于計算高能級（n大）的修正，而只適用于計算低能級（n小）的修正。（1）|H’kn|=|<ψk(0)|H’|ψn(0)>|要小，即微擾矩陣元要?。坏?6頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四表明擾動態(tài)矢|ψn>可以看成是未擾動態(tài)矢|ψk(0)>的線性疊加。（2）展開系數(shù)H’kn/(En(0)-Ek(0))表明第k個未擾動態(tài)矢|ψk(0)>對第n個擾動態(tài)矢|ψn>的貢獻有多大。展開系數(shù)反比于擾動前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)|ψk(0)>混合的也越強。因此態(tài)矢一階修正無須計算無限多項。（3）由En=En(0)+Hnn可知，擾動后體系能量是由擾動前第n態(tài)能量En(0)加上微擾Hamilton量H’在未微擾態(tài)|ψn(0)>中的平均值組成。該值可能是正或負，引起原來能級上移或下移。（4）對滿足適用條件微擾的問題，通常只求一階微擾其精度就足夠了。如果一級能量修正H’nn=0就需要求二級修正，態(tài)矢求到一級修正即可。（5）在推導(dǎo)微擾理論的過程中，我們引入了小量λ，令：H’=λH(1)只是為了便于將擾動后的定態(tài)Schrodinger方程能夠按λ的冪次分出各階修正態(tài)矢所滿足的方程，僅此而已。一旦得到了各階方程后，λ就可不用再明顯寫出，把H(1)

理解為H’

即可，因此在以后討論中，就不再明確寫出這一小量。（1）在一階近似下：（五）討論第17頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例1.一電荷為e的線性諧振子，受恒定弱電場ε作用。電場沿x正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。解：（1）電諧振子Hamilton量將Hamilton量分成H0+H’

兩部分，在弱電場下，上式最后一項很小，可看成微擾。（2）寫出H0的本征值和本征函數(shù)E(0),ψn(0)（3）計算En(1)上式積分等于0是因為被積函數(shù)為奇函數(shù)所致。（六）實例第18頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四（4）計算能量 二級修正欲計算能量二級修正，首先應(yīng)計算H’kn矩陣元。利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：對諧振子有；En(0)-En-1(0)=ω,En(0)-En+1(0)=-ω，代入第19頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四由此式可知，能級移動與n無關(guān)，即與擾動前振子的狀態(tài)無關(guān)。（6）討論：1.電諧振子問題亦可在粒子數(shù)表象中求解微擾矩陣元第20頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四計算二級修正：代入能量二級修正公式：2.電諧振子的精確解實際上這個問題是可以精確求解的，只要我們將體系Hamilton量作以下整理：第21頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四其中x’=x–[eε/μω2]，可見，體系仍是一個線性諧振子。它的每一個能級都比無電場時的線性諧振子的相應(yīng)能級低{e2ε2/2μω2}，而平衡點向右移動了{eε/μω2}距離。

由于勢場不再具有空間反射對稱性，所以波函數(shù)沒有確定的宇稱。這一點可以從下式擾動后的波函數(shù)ψn已變成ψn(0),ψn+1(0),ψn-1(0)的疊加看出。例2.設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：（1）設(shè)c<<1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級近似；（2）求H的精確本征值；（3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。第22頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四解：（1）c<<1，可取0級和微擾Hamilton量分別為：H0是對角矩陣，是HamiltonH0在自身表象中的形式。所以能量的0級近似為：E1(0)=1E2(0)=3E3(0)=-2由非簡并微擾公式得能量一級修正：能量二級修正為：第23頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四準確到二級近似的能量本征值為：設(shè)H的本征值是E，由久期方程可解得：解得：(3)將準確解按c(<<1)展開：

比較（1）和（2）之解，可知，微擾論二級近似結(jié)果與精確解展開式不計c4及以后高階項的結(jié)果相同。(2)精確解：第24頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§5.2簡并情況下的微擾理論（一）簡并微擾理論（二）實例（三）討論返回第25頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四假設(shè)En(0)是簡并的，那末屬于H(0)的本征值En(0)有k個歸一化本征函數(shù)：|n1>,|n2>,......,|nk><n|n>=滿足本征方程：于是我們就不知道在k個本征函數(shù)中究竟應(yīng)取哪一個作為微擾波函數(shù)的0級近似。所以在簡并情況下，首先要解決的問題是如何選取0級近似波函數(shù)的問題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級修正。0級近似波函數(shù)肯定應(yīng)從這k個|n>中挑選，而它應(yīng)滿足上節(jié)按冪次分類得到的方程：共軛方程（一）簡并微擾理論第26頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)這個條件，我們選取0級近似波函數(shù)|ψn(0)>的最好方法是將其表示成k個|n>的線性組合，因為反正0級近似波函數(shù)要在|n>(=1,2,...,k)中挑選。|ψn(0)>已是正交歸一化系數(shù)c

由一次冪方程定出左乘<n|得：得：上式是以展開系數(shù)c為未知數(shù)的齊次線性方程組，它有不含為零解的條件是系數(shù)行列式為零，即第27頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四

解此久期方程可得能量的一級修正En(1)的k個根：En(1),=1,2,...,k.因為En=En(0)+E(1)n

所以，若這k個根都不相等，那末一級微擾就可以將k度簡并完全消除；若En(1)有幾個重根，則表明簡并只是部分消除，必須進一步考慮二級修正才有可能使能級完全分裂開來。為了確定能量En

所對應(yīng)的0級近似波函數(shù)，可以把E(1)n

之值代入線性方程組從而解得一組c(=1,2,...,k.)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應(yīng)的0級近似波函數(shù)。為了能表示出c

是對應(yīng)與第

個能量一級修正En

(1)的一組系數(shù)，我們在其上加上角標

而改寫成c

。這樣一來，線性方程組就改寫成：第28頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例1.氫原子一級Stark效應(yīng)（1）Stark效應(yīng)氫原子在外電場作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為Stark效應(yīng)。我們知道電子在氫原子中受到球?qū)ΨQ庫侖場作用，造成第n個能級有n2度簡并。但是當加入外電場后，由于勢場對稱性受到破壞，能級發(fā)生分裂，簡并部分被消除。Stark效應(yīng)可以用簡并情況下的微擾理論予以解釋。（2）外電場下氫原子Hamilton量取外電場沿z正向。通常外電場強度比原子內(nèi)部電場強度小得多，例如,強電場≈107伏/米，而原子內(nèi)部電場≈1011

伏/米，二者相差4個量級。所以我們可以把外電場的影響作為微擾處理。（二）實例第29頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四（3）H0的本征值和本征函數(shù)下面我們只討論n=2的情況，這時簡并度n2=4。屬于該能級的4個簡并態(tài)是：第30頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四（4）求H’

在各態(tài)中的矩陣元由簡并微擾理論知,求解久期方程,須先計算出微擾Hamilton量H’

在以上各態(tài)的矩陣元。我們碰到角積分<Yl'm'|cosθ|Ylm>需要利用如下公式：于是:第31頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四欲使上式不為0，由球諧函數(shù)正交歸一性要求量子數(shù)必須滿足如下條件：僅當Δ=±1,Δm=0時，H’的矩陣元才不為0。因此矩陣元中只有H’12,H’21不等于0。因為所以第32頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四（5）能量一級修正將H’

的矩陣元代入久期方程：解得4個根：由此可見，在外場作用下，原來4度簡并的能級E2(0)在一級修正下，被分裂成3條能級，簡并部分消除。當躍遷發(fā)生時，原來的一條譜線就變成了3條譜線。其頻率一條與原來相同，另外兩條中一條稍高于一條稍低于原來頻率。（6）求0級近似波函數(shù)分別將E2(1)的4個值代入方程組：得四元一次線性方程組第33頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四E2(1)=E21

(1)=3eεa0

代入上面方程，得：所以相應(yīng)于能級E2(0)+3eεa0的0級近似波函數(shù)是：E2(1)=E22(1)=-3eεa0

代入上面方程，得：所以相應(yīng)于能級E(0)2-3eεa0的0級近似波函數(shù)是：E2(1)=E23(1)=E24(1)=0，代入上面方程，得：因此相應(yīng)與E2(0)的0級近似波函數(shù)可以按如下方式構(gòu)成：第34頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四我們不妨仍取原來的0級波函數(shù)，即令：（7）討論上述結(jié)果表明，若氫原子處于0級近似態(tài)ψ1(0),ψ2(0),ψ3(0),ψ4(0),那末，氫原子就好象具有了大小為3ea0的永久電偶極矩一般。對于處在ψ1(0),ψ2(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場方向平行和反平行；而對于處在ψ3(0),ψ4(0)態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電場方向垂直。第35頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例2.有一粒子，其Hamilton量的矩陣形式為：H=H0+H’， 其中求能級的一級近似和波函數(shù)的0級近似。解：H0的本征值問題是三重簡并的，這是一個簡并微擾問題。E(1)[(E(1))2-α2]=0解得：E(1)=0,±α.記為：E1(1)=-αE2(1)=0E3(1)=+α故能級一級近似：簡并完全消除(1)求本征能量由久期方程|H’-E(1)I|=0得：第36頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四(2)求解0級近似波函數(shù)將E1(1)=–α代入方程，得：由歸一化條件：則將E2(1)=0代入方程，得：則由歸一化條件：第37頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四（1）新0級波函數(shù)的正交歸一性1.正交性取復(fù)共厄改記求和指標，

，

（三）討論第38頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四對應(yīng)于En=En(0)+En(1)和En=En(0)+En(1)的0級近似本征函數(shù)分別為：由(3)式上式表明，新0級近似波函數(shù)滿足正交條件。2.歸一性對于同一能量，即角標

=，則上式變?yōu)椋篍q.(3)和Eq.(4)合記之為：由于新0級近似波函數(shù)應(yīng)滿足歸一化條件，第39頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四（2）在新0級近似波函數(shù)|ψn(0)>為基矢的k維子空間中，H’從 而H的矩陣形式是對角化的。證：上式最后一步利用了Eq.(5)關(guān)系式。所以H’在新0級近似波函數(shù)為基矢的表象中是對角化的。[證畢]因為H0在自身表象中是對角化的，所以在新0級近似波函數(shù)為基矢的表象中也是對角化的。當

=

時，上式給出如下關(guān)系式：也就是說，能量一級修正是H’在新0級波函數(shù)中的平均值。這一結(jié)論也是預(yù)料之中的事。求解簡并微擾問題，從本質(zhì)上講就是尋找一么正變換矩陣S，使H’從而

H對角化。求解久期方程和線性方程組就是尋找這一么正變換矩陣的方法。第40頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例如：前面講到的例2應(yīng)用簡并微擾論解得的新0級近似波函數(shù)是：這是新0級近似波函數(shù)在原簡并波函數(shù)φii=1,2,3.為基矢所張開的子空間中的矩陣表示，即我們求解就是為了尋找一個么正變換S，使原來的H=H0+H’

在以φi

為基矢的表象中的表示變到ψ(0)為基矢的表象中，從而使H對角化。第41頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)表象理論，若ψ(0)在以φi為基矢的表象中的形式由下式給出，則由φ表象到ψ(0)表象的么正變換矩陣為：其逆矩陣H’從φ表象變到ψ(0)表象由下式給出：第42頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四§5.4變分法返回（一）能量的平均值（二）<H>與E0的偏差和 試探波函數(shù)的關(guān)系（三）如何選取試探波函數(shù)（四）變分方法（五）實例微擾法求解問題的條件是體系的Hamilton量H可分為兩部分其中H0的本征值本征函數(shù)已知有精確解析解，而H’很小。如果上面條件不滿足，微擾法就不適用。這時我們可以采用另一種近似方法—變分法。第43頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)體系的Hamilton量H的本征值由小到大順序排列為：E0<E1<E2<......<En<......|ψ0>|ψ1>|ψ2>.........|ψn>......上式第二行是與本征值相應(yīng)的本征函數(shù)，其中E0

、|ψ0>分別為基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。（一）能量的平均值為簡單計，假定H本征值是分立的，本征函數(shù)組成正交歸一完備系，即第44頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)|ψ>是任一歸一化的波函數(shù)，在此態(tài)中體系能量平均值：證：則這個不等式表明，用任意波函數(shù)|ψ>計算出的平均值<H>總是大于（或等于）體系基態(tài)的能量，而僅當該波函數(shù)等于體系基態(tài)波函數(shù)時，平均值<H>才等于基態(tài)能量。若|ψ>未歸一化，則插入單位算符第45頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四基于上述基本原理，我們可以選取很多波函數(shù)；|ψ>→|ψ(1)>,|ψ(2)>,......,|ψ(k)>,......稱為試探波函數(shù)，來計算其中最小的一個就最接近基態(tài)能量E0，即如果選取的試探波函數(shù)越接近基態(tài)波函數(shù)，則H的平均值就越接近基態(tài)能量E0。這就為我們提供了一個計算基態(tài)能量本征值近似值的方法。使用此方法求基態(tài)能量近似值還需要解決以下兩個問題：（1）試探波函數(shù)|ψ>與|ψ0>之間的偏差和平均值 <H>與E0之間偏差的關(guān)系；（2）如何尋找試探波函數(shù)。第46頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四

由上面分析可以看出，試探波函數(shù)越接近基態(tài)本征函數(shù)，<H>

就越接近基態(tài)能量E0.那末，由于試探波函數(shù)選取上的偏差[|ψ>-|ψ0>]會引起[<H>-E0

]的多大偏差呢？ 為了討論這個問題，我們假定已歸一化的試探波函數(shù)為：其中α是一常數(shù)，|ψ>是任一波函數(shù)，滿足|ψ0>所滿足的同樣的邊界條件。顯然|>有各種各樣的選取方式，通過引入α|>就可構(gòu)造出在|ψ0>附近的有任意變化的試探波函數(shù)。能量偏差：（二）<H>與E0

的偏差 和試探波函數(shù)的關(guān)系第47頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四[結(jié)論]上述討論表明，對本征函數(shù)附近的一個任意小的變化，本征能量是穩(wěn)定的。因此，我們選取試探波函數(shù)的誤差不會使能量近似值有更大的誤差。這也就是說，是小量，|ψ>與|ψ0>很接近，則<H>與E0更接近。當且僅當|ψ>=|ψ0>時，才有<H>=E0可見，若是一小量，即波函數(shù)偏差[|ψ>-|ψ0>]=|>是一階小量，那末是二階小量。第48頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四試探波函數(shù)的好壞直接關(guān)系到計算結(jié)果，但是如何選取試探波函數(shù)卻沒有一個固定可循的法則，通常是根據(jù)物理上的直覺去猜測。（1）根據(jù)體系Hamilton量的形式和對稱性推測 合理的試探波 函數(shù)；（2）試探波函數(shù)要滿足問題的邊界條件；（3）為了有選擇的靈活性，試探波函數(shù)應(yīng)包含一個或 多個待調(diào)整的參數(shù)，這些參數(shù)稱為變分參數(shù)；（4）若體系Hamilton量可以分成兩部分H=H0+H1， 而H0 的本征函數(shù)已知有解析解，則該解析解 可作為體系的試探波函數(shù)。（三）如何選取試探波函數(shù)第49頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例：一維簡諧振子試探波函數(shù)一維簡諧振子Hamilton量：其本征函數(shù)是：下面我們根據(jù)上面所述原則構(gòu)造試探波函數(shù)。方法I：試探波函數(shù)可寫成：顯然，這不是諧振子的本征函數(shù)，但是它是合理的。1.因為諧振子勢是關(guān)于x=0點對稱的，我們的 試探波函數(shù)也是關(guān)于x=0點對稱的；2.滿足邊界條件，即當|x|→∞時，ψ→0；3.含有一個待定的λ參數(shù)。第50頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四方法II:亦可選取如下試探波函數(shù)：A——歸一化常數(shù)，是變分參量。這個試探波函數(shù)比第一個好，因為1.φ(x)是光滑連續(xù)的函數(shù)；2.關(guān)于x=0點對稱，滿足邊界條件 即當|x|→∞時， ψ→0；3.φ(x)是高斯函數(shù)，高斯函數(shù)有很好的性質(zhì)，可作解析積分，且有積分表可查。第51頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四有了試探波函數(shù)后，我們就可以計算<H>能量平均值是變分參數(shù)λ的函數(shù)，欲使<H(λ)>取最小值，則要求：上式就可定出試探波函數(shù)中的變分參量λ取何值時<H(λ)>有最小