2014年高考湖南理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）數(shù)學(xué)（理科）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．（1）【2014年湖南，理1，5分】滿足（為虛數(shù)單位）的復(fù)數(shù)（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由題意，故選B．（2）【2014年湖南，理2，5分】對(duì)一個(gè)容量為的總體抽取容量為的樣本,當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí),總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】根據(jù)隨機(jī)抽樣的原理可得簡單隨機(jī)抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，即，故選D．（3）【2014年湖南，理3，5分】已知，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，則（）（A）-3（B）-1（C）1（D）3【答案】C【解析】分別令和可得且，則，故選C．（4）【2014年湖南，理4，5分】的展開式中的系數(shù)是（）（A）-20（B）-5（C）5（D）20【答案】A【解析】第項(xiàng)展開式為，則時(shí)，，故選A．（5）【2014年湖南，理5，5分】已知命題：若，則；命題：若，則．在命題①；②；③；④中，真命題是（） （A）①③（B）①④（C）②③（D）②④【答案】C【解析】當(dāng)時(shí),兩邊乘以可得，所以命題為真命題,當(dāng)時(shí),因?yàn)?，所以命題為假命題，所以=2\*GB3②=3\*GB3③為真命題，故選C．（6）【2014年湖南，理6，5分】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的屬于（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】當(dāng)時(shí),運(yùn)行程序如下，，當(dāng)時(shí)，，則，故選D．（7）【2014年湖南，理7，5分】一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨、加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（）（A）1（B）2（C）3（D）4【答案】B【解析】由圖可得該幾何體為三棱柱，所以最大球的半徑為正視圖直角三角形內(nèi)切圓的半徑，則，故選B．（8）【2014年湖南，理8，5分】某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為，第二年的增長率為，則該市這兩年的生產(chǎn)總值的年平均增長率為（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】設(shè)兩年的平均增長率為,則有，故選D．（9）【2014年湖南，理9，5分】已知函數(shù)發(fā)，且，則函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】解法一：函數(shù)的對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以或，則是其中一條對(duì)稱軸，故選A．解法二：由定積分的幾何性質(zhì)與三角函數(shù)圖象可知是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心，所以，所以，故選A．（10）【2014年湖南，理10，5分】已知函數(shù)與的圖像上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由題可得函數(shù)的圖像上存在點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，從而有，即．問題等價(jià)于函數(shù)在存在零點(diǎn)．解法一：，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，要使在存在零點(diǎn)，則，從而，故選B．解法二：問題等價(jià)于函數(shù)與的圖象在有交點(diǎn),在同一坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，當(dāng)?shù)膱D象在左右平移的過程（1）證明:底面；圖a（2）若，求二面角的余弦值．圖a解：（1）如圖（a），因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，同理．因?yàn)?，所以，而，因此平面，由題設(shè)知，故平面．（2）解法一：如圖（a），過作于，連接．由（1）知，平面，所以平面，于是，又四棱柱的所有棱長都相等，所以是菱形，因此，從而平面，所以，于是平面，進(jìn)而，所以為二面角的平面角，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，在中，易?又．于是，圖b故．即二面角的余弦值為．圖b解法二：因?yàn)樗睦庵乃欣忾L都相等，所以是菱形，因此，又平面，從而兩兩垂直．如圖（b），以所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，因?yàn)椋裕谑窍嚓P(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為，易知，是平面平面的一個(gè)法向量．設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，即，取，則，所以．設(shè)二面角的大小為，易知是銳角，于是．二面角的余弦值為．（20）【2014年湖南，理20，13分】已知數(shù)列滿足．（1）若數(shù)列是遞增數(shù)列，且成等差數(shù)列，求的值；（2）若，且是遞增數(shù)列，是遞減數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：（1）因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，，而，因此，又成等差數(shù)列，所以，因而得．解得．當(dāng)時(shí)，，這與是遞增數(shù)列矛盾，故．（2）是遞增數(shù)列，因而，于是①但，所以②由①，②知，，因此③因?yàn)槭沁f減數(shù)列，同理可得，故④由③，④知，，于是．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為．（21）【2014年湖南，理21，13分】如圖，為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為；雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為，已知，且．（1）求的方程；（2）若過作的不垂直于軸的弦，為的中點(diǎn)，當(dāng)直線與交于兩點(diǎn)時(shí)，求四邊形面積的最小值．解：（1）因?yàn)?，所以，即，因此，從而，，所以，，橢圓方程為，雙曲線的方程為．（2）因?yàn)橹本€不垂直于軸且過點(diǎn)，故課設(shè)直線的方程為．由得．易知此方程的判別式大于0．設(shè)，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，因此，的中點(diǎn)為，故直線的斜率為，的方程為，即．由，得，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則點(diǎn)到直線的距離也為，所以因?yàn)辄c(diǎn)在直線的異側(cè)，所以，于是，從而又因?yàn)?，所以四邊形面積而，故當(dāng)時(shí)，取得最小值2．四邊形面積的最小值為2．（22）【2014年湖南，理22，13分】已知常數(shù)，函數(shù)．（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．解：（1），（*）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí),（舍去），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的．綜上所述：當(dāng)時(shí),，此時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增的．（2）由（*）式知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在極值點(diǎn)，因而要使得有兩個(gè)極值點(diǎn)，必有，又的極值點(diǎn)只可能是和，且由的定