2014年全國2卷理科數(shù)學(xué)解析版

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜疲ㄐ抡n標(biāo)Ⅱ卷）第Ⅰ卷一.選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合M=｛0,1,2｝，，則=()設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，，則()設(shè)向量a,b滿足|a+b|=，|a-b|=，則ab=()鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC=，則AC=()5.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.456.如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()A.B.C.D.7.執(zhí)行右圖程序框圖，如果輸入的x,t均為2，則輸出的S=()A.4B.5C.6D.78.設(shè)曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為，則a=A.0B.1C.2D.39.設(shè)x,y滿足約束條件，則的最大值為()A.10B.8C.3D.210.設(shè)F為拋物線C:的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為()A.B.C.D.11.直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC則BM與AN所成的角的余弦值為()A.B.C.D.設(shè)函數(shù).若存在的極值點(diǎn)滿足，則m的取值范圍是()A.B.C.D.第Ⅱ卷二.填空題13.的展開式中，的系數(shù)為15，則a=________.(用數(shù)字填寫答案)14.函數(shù)的最大值為________.15.已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是________.16.設(shè)點(diǎn)M（,1），若在圓O:上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則的取值范圍是________.三.解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足=1，.（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：.18.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.19.（本小題滿分12分）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：4.鈍角三角形ABC的面積是，AB=1，BC=，則AC=()【答案】B【解析】由面積公式得：，解得，所以或，當(dāng)時，由余弦定理得：=1，所以，又因?yàn)锳B=1，BC=，所以此時為等腰直角三角形，不合題意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故選B.5.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【答案】A【解析】設(shè)A=“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B=“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則，故選A.6.如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()AB.C.D.8.設(shè)曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為，則a=A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】因?yàn)?，所以切線的斜率為，解得，故選D。9.設(shè)x,y滿足約束條件，則的最大值為()A.10B.8C.3D.2【答案】B【解析】畫出不等式組表示的平面區(qū)域,可知區(qū)域?yàn)槿切危揭浦本€，可知當(dāng)經(jīng)過兩條直線與的交點(diǎn)A（5，2）時，取得最大值8，故選B.，故選C.【答案】C【解析】由題意知：的極值為，所以，因?yàn)椋?，所以即，所以，?，而已知，所以3，故，解得或，故選C.第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題，每個試題考生都必修作答。第22題~第24題為選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共4小題，每小題5分?！敬鸢浮拷馕?16.設(shè)點(diǎn)M（,1），若在圓O:上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則的取值范圍是________.答案:【解析】由題意知：直線MN與圓O有公共點(diǎn)即可，即圓心O到直線MN的距離小于等于1即可，如圖，過OA⊥MN，垂足為A，在中，因?yàn)椤螼MN=45，所以=，解得，因?yàn)辄c(diǎn)M（,1），所以，解得，故的取值范圍是.解答題17.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足=1，.（Ⅰ）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明：.（Ⅰ）證明：∵，∴∴，即數(shù)列是等比數(shù)列。，∴（Ⅱ）證明：，當(dāng)時，；當(dāng)時，∵，∴綜上，（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.（Ⅰ）證明：連接BD，交AC于點(diǎn)F，連接EF.∵ABCD為矩形，∴F為BD中點(diǎn)，又∵E為PD中點(diǎn)，∴EF為△BDP的中位線.由，可得PB∥平面AEC.（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，∴設(shè)平面DAE，平面CAE的法向量分別為，，由及可得，，代入解得.∴1（本小題滿分12分）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：，解：（Ⅰ）由題可知，∴關(guān)于的線性回歸方程為.（Ⅱ）令，代入，（千元）∴2015年農(nóng)村居民家庭人均收入約為6800元。（本小題滿分12分）設(shè),分別是橢圓C:的左,右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且與x軸垂直，直線與C的另一個交點(diǎn)為N.（Ⅰ）若直線MN的斜率為，求C的離心率；（Ⅱ）若直線MN在y軸上的截距為2，且，求a,b.解：（Ⅰ）對于，令，解得，∴，直線MN的斜率.∵，∴，即，解得，∴C的離心率是.（Ⅱ）解：過點(diǎn)N作NQ⊥軸于點(diǎn)Q，易知∽，∴，可得，∴，因?yàn)镹在橢圓上，∴，又，聯(lián)立解得.（本小題滿分12分）已知函數(shù)=（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)時，,求的最大值；（Ⅲ）已知，估計ln2的近似值（精確到0.001）解：（Ⅰ），∵，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等式成立，∴，即為R上的單調(diào)增函數(shù)。（Ⅱ）易知時，，①若，則，∴在（0，+∞）單調(diào)遞增，由，可得，符合題意；②若，令，解得，可知時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增. ∴，與矛盾，不符合題意，∴b的最大值為2。（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，.當(dāng)時，，解得，當(dāng)