《圖形認(rèn)識(shí)初步》知識(shí)點(diǎn)串講及考點(diǎn)透視

------------------------------------------------------------------------《圖形認(rèn)識(shí)初步》知識(shí)點(diǎn)串講及考點(diǎn)透視《圖形認(rèn)識(shí)初步》知識(shí)點(diǎn)串講及考點(diǎn)透視江蘇劉頓請同學(xué)們先看一看如圖1的幾幅圖案：圖1圖1通過觀察，同學(xué)們一定會(huì)體會(huì)到我們生活在圖形的世界里.我們剛學(xué)過的《圖形認(rèn)識(shí)初步》不都是我們生活中所見到過的嗎？為了能讓我們一起再去光顧一下《圖形認(rèn)識(shí)初步》，從而進(jìn)一步欣賞豐富多彩的圖形世界，體會(huì)更多的立體圖形與平面圖形，了解立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系，希望你還喜歡.一、目標(biāo)要求1，經(jīng)歷觀察、測量、折疊、模型制作與圖案設(shè)計(jì)等活動(dòng)，進(jìn)一步發(fā)展空間概念；能從生活周圍熟悉的物體入手，加深對物體的形狀的認(rèn)識(shí)，并從感性逐步上升到抽象的幾何圖形，并通過從不同方向看立體圖形和展開立體圖形，初步認(rèn)識(shí)立體圖形與平面圖形的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)一些簡單的平面圖形——直線、射線、線段和角.2，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)角，以及角的表示方法，角的度量，角的畫法.角的比較，補(bǔ)角和余角等內(nèi)容.會(huì)進(jìn)行線段或角的比較，能估計(jì)一個(gè)角的大小，會(huì)進(jìn)行角的單位的簡單換算.3，從實(shí)物出發(fā)，感受到圖形世界的無處不在，引起學(xué)習(xí)的興趣.能區(qū)分直線、射線、線段的概念，并體會(huì)它們的一些性質(zhì)，結(jié)合生活情景認(rèn)識(shí)角并知道周角、平角等概念.4，能借助三角尺、量角器、方格紙等工具，會(huì)畫角、線段、垂線，能進(jìn)行簡單的圖案設(shè)計(jì)，并能了解直線、線段等有關(guān)性質(zhì)；積累操作活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展有條理的思考與表達(dá)，經(jīng)歷在操作活動(dòng)中探索圖形性質(zhì)的過程豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功體驗(yàn).二、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)角和平分線角和平分線等角的補(bǔ)角相等等角的余角相等角的度量角的大小比較與運(yùn)算余角和補(bǔ)角角從不同方向看立體圖形展開立體圖形平面圖形幾何圖形點(diǎn)、線、面、體立體圖形平面圖形直線、射線、線段線段大小的比較兩點(diǎn)確定一條直線兩點(diǎn)之間、線段最短二、要點(diǎn)解讀（一）知識(shí)總攬本章內(nèi)容都是研究的簡單的基本圖形，是以后學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，其中如何結(jié)合立體圖形與平面圖形的互相轉(zhuǎn)化的學(xué)習(xí)，來發(fā)展空間觀念以及一些重要的概念、性質(zhì)等是本章的重點(diǎn)；建立和發(fā)展空間觀念是空間與圖形學(xué)習(xí)的核心目標(biāo)之一，能由實(shí)物形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實(shí)物形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的相互轉(zhuǎn)化是培養(yǎng)空間觀念的重要方面，更有利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng).（二）疑點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn)這一章內(nèi)容的概念比較多，概念之間的聯(lián)系又比較密切，因此，如何從具體事物中抽象出幾何圖形，把握幾何圖形的本質(zhì)特征，區(qū)分一些相近的概念，對圖形的表示方法以及對幾何語言的認(rèn)識(shí)與運(yùn)用，都復(fù)習(xí)的疑點(diǎn)和易錯(cuò)點(diǎn).具體地說：1，通常畫一個(gè)立體圖形要分別從正面看、從左面看、從上面看.如從不同方向看圖2就可得到圖3中的三個(gè)圖形.同樣由圖3的三個(gè)圖形也可以畫出圖2.如果不能認(rèn)真的觀察分析立體圖形的特征，就不能正確畫出相應(yīng)的平面圖形.從正面看從左面看從上面看從正面看從左面看從上面看圖3圖圖22，在研究直線、線段、射線的有關(guān)概念時(shí)，容易出現(xiàn)延長直線或延長射線之類的錯(cuò)誤，在用兩個(gè)大寫字母表示射線時(shí)，忽視第一個(gè)字母表示的是這條射線的頂點(diǎn).3，直線有這樣一個(gè)重要性質(zhì)：經(jīng)過兩點(diǎn)有一條直線，并且只有一條直線.即兩點(diǎn)確定一條直線.線段有這樣一條重要性質(zhì)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.簡單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短.這兩個(gè)性質(zhì)是研究幾何圖形的基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)抓住性質(zhì)中的關(guān)鍵性字眼，不能出現(xiàn)似是而非的錯(cuò)誤.4，注意線段的中點(diǎn)是指把線段分成相等的兩條線段的點(diǎn)；而連結(jié)兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離.這里應(yīng)特別注意線段與距離的區(qū)別是，即距離是線段的長度，是一個(gè)量；線段則是一種圖形，它們之間是不能等同的.5，在復(fù)習(xí)角的概念時(shí)，應(yīng)注意理解兩種方式來描述，即一種是從一些實(shí)際問題中抽象地概括出來，即有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形，叫做角；另一種是用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)來定義，即一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形叫做角.角的兩種定義都告訴我們這樣一些事實(shí)：（1）角有兩個(gè)特征：一是角有兩條射線，二是角的兩條射線必須有公共端點(diǎn)，兩者缺一不可；（2）由于射線是向一方無限延伸的，所以角的兩邊無所謂長短，即角的大小與它的邊的長短無關(guān)；（3）當(dāng)角的大小一旦確定，它的大小就不因圖形的位置、圖形的放大或縮小而改變.如一個(gè)37°的角放在放大或縮小若干倍的放大鏡下它仍然是37°不能誤認(rèn)為角的大小也放大或縮小若干倍.另外對角的表示方法中，當(dāng)用三個(gè)大寫字母來表示時(shí)，頂點(diǎn)的字母必須寫在中間，在角的兩邊上各取一點(diǎn)，將表示這兩個(gè)點(diǎn)的字母分別寫在頂點(diǎn)字母的兩旁，兩旁的字母不分前后.6，在研究互為余角和互為補(bǔ)角時(shí)，容易混淆這兩個(gè)概念.常常誤認(rèn)為互為余角的兩個(gè)角的和等于180°，互為補(bǔ)角的兩個(gè)角的和等于90°.三、思想方法復(fù)習(xí)《圖形認(rèn)識(shí)初步》這部分內(nèi)容除了要注意基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固和典型習(xí)題的訓(xùn)練，還要注意數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練與運(yùn)用.具體地說：一、分類思想.在過平面上若干點(diǎn)可以畫多少條直線，應(yīng)注意這些點(diǎn)的分情況討論；或在畫其它的圖形時(shí)，應(yīng)注意圖形的各種可能性.例1兩條相交直線與另外一條直線在同一平面內(nèi)，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3或2D.1或2或3分析由于題設(shè)條件中并沒有明確這三條直線的具體位置，所以應(yīng)分情況討論.圖5解依題意可以畫出如圖4的三種情況.故應(yīng)選D.圖5圖4圖4二、方程思想.在處理有關(guān)角的大小，線段大小的計(jì)算時(shí)常需要通過列方程來解決.例2如果一個(gè)角的補(bǔ)角是150°，求這個(gè)角的余角.分析若設(shè)這個(gè)角的大小為x°，則這個(gè)角的余角是90°－x，于是由這個(gè)角的補(bǔ)角是150°可列出方程求解.解設(shè)這個(gè)角為x°，則這個(gè)角的余角是90°－x，根據(jù)題意，得180°－x＝150°，解得：x＝30°，即90°－x＝60°.故這個(gè)角的余角是60°.三、圖形變換思想.在研究角的概念時(shí)要充分體會(huì)對射線旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識(shí)，在處理圖形時(shí)應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，如立體圖形與平面圖形的互相轉(zhuǎn)化的學(xué)習(xí).例3請畫出正六棱柱表面展開圖.分析要將一個(gè)立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，只要按照立體圖形的折疊原理即可求解.解正六棱柱表面展開圖如圖5所示四、化歸思想.在進(jìn)行線段、射線、直線、角以及相關(guān)圖形的計(jì)數(shù)時(shí)總要化歸到公式的具體運(yùn)用上來.例4若點(diǎn)C、D、E、F是線段AB上的四個(gè)點(diǎn).則這個(gè)圖形中共有多少條線段？分析已知線段上除了端點(diǎn)外，還有4個(gè)點(diǎn)，即這條線段共有6個(gè)點(diǎn)，這樣要求這個(gè)圖形中共有多少條線段，則由代數(shù)式即求.解因?yàn)橐李}意已知線段上共有6個(gè)點(diǎn)，所以這個(gè)圖形中共有線段的為：＝＝15.四、考點(diǎn)解密（所選例題均出自2006年全國部分省市中考試卷）考點(diǎn)1從不同方向看立體圖形例5（河北?。﹫D1中幾何體的主視圖是如圖7所示中的（）正面正面圖6C.A.D.Ｂ.圖7分析主視圖是從下面看的，由于圖6中的圖形是由兩個(gè)部分組成的，上面是一個(gè)球，球的下面是一個(gè)長方體，這樣問題就簡單了.解因?yàn)橐嫵龅氖菑恼婵吹降闹饕晥D，而已知的立體圖形是由兩個(gè)部分組成的，上面是一個(gè)球，球的下面是一個(gè)長方體，所以我們從正面看到的上面是一個(gè)圓，下面是一個(gè)長方形.又因?yàn)樵Ⅲw圖形中上面的球是放在中間的，所以正確的平面圖形應(yīng)該是C.故應(yīng)選C.說明要畫出從不同方向看到的平面圖形，通常畫出分別從正面看、從左面看、從上面看一個(gè)立體圖形的平面圖形.考點(diǎn)2立體圖形的側(cè)面展開圖例2（嘉興市）如圖8所示的圖形中，不能經(jīng)過折疊圍成正方體的是（B）ABCDABCD圖8分析觀察這四個(gè)平面圖形，A、C、D能圍成一個(gè)正方體，只有B不能圍成正方體.解應(yīng)選B.說明判斷一個(gè)圖形能否圍成正方體，關(guān)鍵是要看這個(gè)平面圖形是否是某一個(gè)正方體的側(cè)面展開圖，如果是，即能圍成一個(gè)正方體，否則就不是.另外，一個(gè)立體圖形可以有不同的平面展開圖.也就是說，同一個(gè)立體圖形，按不同方式展開得到的平面展開圖是不一樣的.反之，一些平面圖形也可以圍成立體圖形，就是說，平面圖形可以圍成立體圖形.但要注意，并不是所有的平面圖形都能夠圍成多面體.考點(diǎn)3確定平面圖形的個(gè)數(shù)例3（紹興市）若有一條公共邊的兩個(gè)三角形稱為一對“共邊三角形”，則如圖9中以BC為公共邊的“共邊三角形”有（）A.2對B.3對C.4對D.6對分析要知道有多少“共邊三角形”，只要能依據(jù)圖形寫出所有的滿足題意的三角形即可.解結(jié)合圖形，滿足題意的三角形是：△ABC與△DBC，△DBC與△EBC，△EBC與△ABC，共3對.故應(yīng)選B.PQTSR圖10圖9說明求解本題一定要注意抓住PQTSR圖10圖9考點(diǎn)4圖形角度大小的計(jì)算例4（大連市）如圖10，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ.則∠SQT等于（）A.42°B.64°C.48°D.24°分析要求∠SQT的大小，由于SQ⊥QR，QT⊥PQ，可知∠PQS＝∠RQT，進(jìn)而即可求得.解因?yàn)镾Q⊥QR，QT⊥PQ，所以∠PQS+∠SQT＝∠SQT+∠RQT＝90°，即∠PQS＝∠RQT，又∠PQS+∠SQT+∠RQT＝138°，所以∠PQS＝∠RQT＝48°，所以∠SQT＝138°－2×48°＝42°.故應(yīng)選A.說明在進(jìn)行圖形的有關(guān)計(jì)算時(shí)，除了要能靈活運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)外，還要能從圖形中捕捉求解的信息.考點(diǎn)5互為余角與互為補(bǔ)角例5（內(nèi)江市）一個(gè)角的余角比它的補(bǔ)角的少20°.則這個(gè)角為（）A.30°B.40°C.60°D.75°分析若設(shè)這個(gè)角為x，則這個(gè)角的余角是90°－x，補(bǔ)角是180°－x，于是構(gòu)造出方程即可求解.解設(shè)這個(gè)角為x，則這個(gè)角的余角是90°－x，補(bǔ)角是180°－x.則根據(jù)題意，得(180°－x)－(90°－x)＝20°.解得：x＝40°.故應(yīng)選B.說明處理有關(guān)互為余角與互為補(bǔ)角的問題，除了要弄清楚它們的概念，通常情況下不要引進(jìn)未知數(shù)，構(gòu)造方程求解.考點(diǎn)6平面圖形的操作問題例6（旅順口區(qū)）如圖11，將一塊正方形紙片沿對角線折疊一次，然后在得到的三角形的三個(gè)角上各挖去一個(gè)圓洞，最后將正方形紙片展開，得到的圖案是如圖12所示的（）圖11圖11圖12分析要想知道展開后得到的圖案是什么，可以依據(jù)題意，結(jié)合正方形的圖形特征，發(fā)揮想象即可求解.解因?yàn)閷⒄叫窝貙蔷€折疊一次，然后在得到的三角形的三個(gè)角上各挖去一個(gè)圓洞，就是說這個(gè)正方形上共有6個(gè)小圓，其中分成3組關(guān)于正方形的對角線即折痕對稱，且1對圓在兩個(gè)直角的頂點(diǎn)上，2對圓位于對角線即折痕的兩側(cè).故應(yīng)選C.說明這種圖形的操作問題的求解一定要在靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，充分發(fā)揮想象，并能大膽地歸納與推斷.考點(diǎn)7平面圖形的面積問題例7（臨安市）如圖13，正方形硬紙片ABCD的邊長是4，點(diǎn)E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，若沿左圖中的虛線剪開，拼成右圖的一座“小別墅”，則圖中陰影部分的面積是（）A.2B.4C.8D.分析要求圖中陰影部分的面積，由于由剪到拼可知陰影部分的面積應(yīng)是原正方形面積的四分之一，于是即求.解根據(jù)題意“小別墅”的圖中陰影部分的面積應(yīng)等于正方形面積的四分之一，而正方形的面積是16，所以陰影部分的面積應(yīng)等于4.故應(yīng)選B.說明本題的圖形在操作過程中，雖然形狀發(fā)生了改變，但是圖形的面積卻沒有變化，抓住這一點(diǎn)問題就可以簡潔求解.圖13a圖13a圖15bab圖14圖14考點(diǎn)8拼圖問題例8（煙臺(tái)市）如圖14，有三種卡片，其中邊長為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的矩形卡片6張，邊長為b的正方形卡片9張.用這16張卡片拼成一個(gè)正方形，則這個(gè)正方形的邊長為＿＿＿.分析16張卡片，拼成一個(gè)正方形，而邊長為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的矩形卡片6張，邊長為b的正方形卡片9張，由此可知正方形的每邊上應(yīng)有4張，而且這個(gè)正方形的邊長應(yīng)為a+3b.解因?yàn)檫呴L為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的矩形卡片6張，邊長為b的正方形卡片9張，而用這16張卡片拼成一個(gè)正方形，所以正方形的每邊上應(yīng)有4張，而且這個(gè)正方形的邊長應(yīng)為a+3b.但拼得的正方形的形式是不一樣的，如圖15就是其中的一種.說明這是一道結(jié)論開放型問題，只要符合題意且結(jié)論正確的都可以.考點(diǎn)9規(guī)律探索問題圖16例9（江西?。┯煤诎變煞N顏色的正方形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸加1的規(guī)律拼成如圖16圖16（1）第4個(gè)圖案中有白色紙片＿＿＿張；（2）第n個(gè)圖案中有白色紙片＿＿＿張.分析要解答這兩個(gè)問題，只要能求出第n個(gè)圖案中有白色紙片的張數(shù)即可，由于第1個(gè)圖案中有白色紙片1張，第2個(gè)圖案中有白色紙片7張，第3個(gè)圖案中有白色紙片10張，…，由此可以得到第n個(gè)圖案中有白色紙片3n+1張，從而求解.解因?yàn)榈?個(gè)圖案中有白色紙片1張，第2個(gè)圖案中有白色紙片7張，第3個(gè)圖案中有白色紙片10張，…，所以可以得到第n個(gè)圖案中有白色紙片3n+1張.于是（1）當(dāng)n＝4時(shí)，3n+1＝13；（2）3n+1.說明這種利用幾何圖形探索規(guī)律型問題是近年各地中考的熱點(diǎn)，同學(xué)們在求解時(shí)一定要通過認(rèn)真的觀察、歸納、猜想、驗(yàn)證，才能正確地獲解.練習(xí)題：1，（十堰市）觀察如圖17甲，從左側(cè)正對長方體看到的結(jié)果是圖乙中的（）圖圖17（圖甲）ABCD（圖乙）2，（衡陽市）如圖18所示的圖形中，不是正方體平面展開圖的是（）圖圖183，（江陰市）如圖19，把一個(gè)邊長為1的正方形經(jīng)過三次對折后沿中位線(虛線)剪下，則右圖展開得到的圖形的面積為（）